ПРОДОЛЬНОЙ оси

Рассмотрим устойчивость движения самолета при вращении с постоянной угловой скоростью относительно продоль­ной оси. Решение этой модельной задачи было впервые выполнено Филлипсом [49] и независимо от него, но значительно позже, авторами в работе 112]. Исследование этого случая движения самолета следует выделить, так как оно послужило базой, на

основе которой была развита в дальнейшем теория пространствен­ного движения.

Рассмотрим устойчивость движения самолета при вращении его относительно продольной оси ОХ с постоянной угловой ско­ростью крена со* = Q = const. Будем считать, что в процессе установившегося вращения с угловой скоростью Q скорость по­лета остается неизменной (V = const), и угол тангажа самолета не успевает существенно измениться, так что можно приближенно принять cos # ^ 1,0.

Для исследования устойчивости «в малом» преобразуем урав­нения (2.9) к уравнениям в вариациях, линеаризовав их относи­тельно некоторого установившегося движения, особенностью ко­торого является наличие угловой скорости крена со* = Q, и обозначим параметры этого режима индексом нуль. При малых отклонениях от установившегося режима параметры движения можно представить в следующем виде:

а == а0 + Да; сог = со20 + Дсог;

Р == Ро ~~ Д^; (5.1)

со* = Q = const; у = pQx.

Параметры а0, р0, со20 и т. д. являются известными функциями времени, определяемыми из уравнений исходного движения. Под­ставим значения выражений (5.1) в основную систему уравнений (2.9) и произведем их линеаризацию. Система уравнений для исходного режима установившегося вращения имеет следующий вид:

са _ са аг

По =——- cto + ]MOz0 — jixQpo——— У- l’ u COS у;

(b’zo = —iAQG>y о + т% a0 + "he®z +

po — + tnQ(ao -j — ocr) -|—po H———- 2— I—^~2— s*n (5*2)

6*c — pfiQcOzo — j — m% -f — myy(dyo Ч- H;

©іо = mxx9. + rfi% -f thxv<j)y0 + + mxa63.

Из (5.2) следует, что для получения установившегося вращения

с со* = £2 необходимо в общем случае переменное по времени отклонение органов управления, чтобы скомпенсировать влияние изменений параметров движения самолета. Уравнение моментов,

Устойчивость Движения При (|>V — const

действующих на самолет относительно оси ОХ, может автомати­чески удовлетворяться при 6Э = const в случае, если

(5.3)

Этот случай фактически и рассматривается далее.

Система уравнений в вариациях после пренебрежения членами второго порядка малости будет иметь вид

(Знак приращения Д для сокращения записи — опущен).

Отметим, что в систему уравнений в вариациях (5.4) не вошли значения параметров исходною режима полета и члены от грави­тационных сил. Таким образом, независимо от вида управляемого движения самолета, описываемого решением системы уравнений (5.2), если выполняются соотношения (5.3), устойчивость его дви­жения определяется системой линейных уравнений (5.4) с по­стоянными коэффициентами.

Преобразуем уравнения (5.4) к системе двух уравнений вто­рого порядка для переменных а и |3. Выполнив элементарные преобразования, получим уравнения возмущенного движения самолета:

Из уравнений (5.5) видно, что вращение самолета с постоянной угловой скоростью крена Q — const привело к взаимосвязи воз­мущенных движений по углу атаки и скольжения, степень которой возрастает пропорционально квадрату угловой скорости крена. При малых угловых скоростях крена уравнения с точностью

до величин второго порядка разделяются на независимые урав­нения для угла атаки и угла скольжения.

Определим условия устойчивости решений системы уравнений

(5.5) . Произведя необходимые выкладки, получим выражение для характеристического уравнения системы уравнений движения

(5.5) в следующем виде:

> 4 + Л3р + ЛД2 -I — ЛД + Л0 = О,

где коэффициенты Л3, Л2, Ах и Л0 являются функциями величины угловой скорости вращения по крену Q и аэродинамических характеристик самолета:

(5.7)

 

Для устойчивости движения необходимо, чтобы все действи­тельные части корней характеристического уравнения (5.6) были отрицательными. На основании критерия Рауса — Гурвица можно записать условия устойчивости движения

Л3>0; Л>0; Л>0; Л0>0;

R = Аз (А2А1 —- Л3Л0) — Л2 > 0.

Из выражений (5.7) и (5.8) следует, что для устойчивого самолета условия Л3 > 0 и Ао > 0 выполняются при всех значениях угло­вой скорости крена. Расчеты также показывают, что в этом случае и условие R > 0 также обычно выполняется для всех значений Q. Остается единственное условие устойчивости Л о > 0, которое в зависимости от величины Q может либо удовлетворяться, либо не удовлетворяться. Это условие, поскольку оно связано со знаком свободного члена, является условием апериодической устойчи —

www. vokb-la. spb. ru — Самолёт своими руками

45

вости движения самолета при вращении с постоянной угловой скоростью относительно продольной оси и подробно будет анали­зироваться ниже. При А0 < 0 неустойчивое движение самолета имеет апериодический характер.