. Исследование движения самолета методами качественной теории дифференциальных уравнений
Основным математическим аппаратом, на основе которого обычно производится анализ динамики самолета, являются аппарат теории линейных дифференциальных уравнений, метод преобразований Лапласа, частотные методы и т. д. Для исследования динамики летательного аппарата в общей постановке, т. е. когда учитываются большие возмущения и рассматриваются нелинейные уравнения движения, эти методы становятся неприемлемыми. В настоящее время нет аналитических методов, позволяющих находить решения нелинейных уравнений движения летательного аппарата. Для описания основных свойств решений этих уравнений и выявления их особенностей в настоящей работе будут привлечены методы качественной теории дифференциальных уравнений. Необходимо, однако, отметить, что методы качественной теории дифференциальных уравнений используются главным образом для анализа уравнений второго порядка и значительно меньше они разработаны для дифференциальных уравнений более высокого порядка. В настоящей работе делается попытка использовать некоторые из имеющихся в этом направлении результатов, главным образом, с целью проведения классификации возможных видов пространственных движений самолета. К таким результатам, в первую очередь, можно отнести общие представления о структуре решений нелинейных дифференциальных уравнений, понятия особых точек, сепаратрисных поверхностей и т. д. Все необходимые сведения и формулировки в рамках используемого в работе математического аппарата приводятся в настоящей главе.
Будем считать, что за рассматриваемое время скорость и высота полета самолета практически не изменяются и влиянием действия гравитационных сил на движение самолета относительно центра масс можно пренебречь. Если дополнительно предположить, что на рассматриваемом интервале времени рули находятся в некотором неизменном положении, то правые части уравнений движения самолета будут зависеть только от параметров движения и не будут в явном виде зависеть от времени. Такие системы уравнений относятся к так называемым автономным или динамическим системам, анализ свойств решений которых возможен
с использованием методов качественной теории дифференциальных уравнений [2, 4, 10, 19, 20].
Методы качественной теории дифференциальных уравнений позволяют представить возможные виды движения, описываемые нелинейными уравнениями, в частности, выявить все возможные установившиеся движения и зависимость движения от начальных условий по фазовым координатам. Знание свойств возможных видов движений для различных сочетаний отклонений органов управления (на постоянную величину) позволяет представить характер движения самолета при простейших законах управления — путем ступенчатых отклонений органов управления. Знание закономерностей движения самолета при таких управлениях позволяет более правильно построить методику расчетов на ЦВМ произвольного управления самолетом.