УРАВНЕНИЯ БОКОВОГО ДВИЖЕНИЯ. в неспокойной атмосфере
Уравнения динамики изолированного бокового движения самолета в связанных осях имеют вид [26, 27]:
, dag* г d,"gy * dt *У dt
где Vgx, V — проекции путевой скорости самолета на оси х и г;
uigr, o)gy— проекции угловой скорости самолета относительно земли на оси хну;
Iх, 1у—моменты инерции самолета относительно осей хну;
IХу— центробежный момент инерции;
ЕZ— сумма проекций внешних сил на ось г;
ЕМД., ЕМу— суммы проекций моментов внешних сил относительно осей хну;
Суммы проекций внешних сил и моментов в боковом движении определяются соотношениями:
EZ=G sin y+Z (З, 8Н, V, М, P)=G sinv+C^-^-,
ЕМХ=МЯ$, 5Э, 8„, (u,, (uy, V, М, р)=-rnxlS-^Y, } (2.19)
Шу=Му$, оэ, 8„, «>г, Wy, V, М, o)^mytS
В (2.19) обозначено:
Р — угол скольжения;
6Э — угол отклонения элеронов;
бп — угол отклонения руля направления;
/ — размах крыльев;
Cz — коэффициент боковой силы;
тх — коэффициент аэродинамического момента относительно оси х;
ту — коэффициент аэродинамического момента относительно оси у.
Заметим, что сила и моменты бокового движения зависят от некоторых параметров продольного движения (V, М, р). Однако при изолированном изучении бокового движения эту связь учесть нельзя.
Уравнения (2.18) должны быть дополнены следующими кинематическими соотношениями:
йч, db. d’b л. db
<0_„= —!——- 2— sin b. «)_v = —±- cos VCOS ft-I cosv,
gx dt ‘ dt ’ gy dt ‘ dt M
dZg
—- = — Vgx sin Ц* —J— Vgz cos Y cos <|>,
где zg — боковое отклонение центра тяжести самолета по оси zv земной системы координат.
Выберем в качестве невозмущенного режима прямолинейный и равномерный полет без крена и скольжения при отсутствии ветра, характеризующийся следующими значениями параметров:
dt* ~xy — |
Для малых отклонений от исходного невозмущенного режима на основании (2.18) и (2.20) получим систему уравнений:
где Pg — угол скольжения, определяемый по вектору путевой скорости.
Перейдем к рассмотрению правых частей первых трех уравнений системы (2.21). Сила и моменты определяются движением самолета относительно воздуха, а не относительно земли. Чтобы облегчить анализ изменения сил и моментов в боковом движении самолета, летящего в возмущенной атмосфере, введем некоторые дополнительные соотношения, которые справедливы лишь при указанных ниже ограничениях:
(2.22)
В уравнениях (2.22) отсутствие дополнительного индекса указывает на то, что соответствующий параметр характеризует боковое движение самолета относительно подвижной воздушной среды; параметры с индексом g характеризуют движение относительно земли и, следовательно, относительно неподвиж-
Wz 1 то.
ного воздуха. Наконец, индекс w указывает на то, что параметр обусловлен подвижностью воздуха, т. е. ветром. Выражения (2.22) поясняются рис. 2.4. Рис. 2.4, а поясняет первое и третье из отношений (2.22), а рис. 2.4, б — второе. Схематические изображения продольной и нормальной составляющих ветра с постоянным градиентом по размаху крыла, приведенные на рис. 2.4, показывают, что положительный градиент dwy/dz с точки зрения вызываемого им аэродинамического момента эквивалентен положительной угловой скорости самолета относительно оси х, а отрицательный градиент — dwjdz — положительной угловой скорости относительно оси у. При определении знака р,» и угловых скоростей ыц.* и (лХСу, обусловленных движением воздуха, необходимо иметь в виду, что составляющие ветра wx, wy и wt характеризуют направление движения воздуха относительно самолета, тогда как угол рм, и угловые скорости a>wx и соШу должны характеризовать движение самолета относительно воздуха.
Поэтому для правильного учета знака этих приращений направление составляющих скорости ветра до*, wy и до* следует поменять на обратное, что и сделано на рис. 2.4.
Подчеркнем, что учет производных dwjdz и dwvfdz есть б принципе не что иное, как учет влияния размеров самолета на параметры бокового движения.
Геометрические соотношения на рис. 2.4 поясняют, при каких ограничениях справедливы выражения (2.22). Упомянутые ограничения заключаются в следующем:
1) выражения (2.22) справедливы лишь при постоянных градиентах нормальной и продольной составляющих скорости ветра по размаху крыла;
2) выражения (2.22) получены исходя из неравномерного распределения составляющих ветра до* и до„ по размаху крыла; поэтому они справедливы лишь для крыла; возможность применения этих выражений для других частей самолета (фюзеляж, хвостовое оперение) должна быть рассмотрена дополнительно.
Разлагая функции, входящие в (2.19), в ряд Тейлора по их аргументам и сохранив только член ряда с первой степенью приращения аргумента, получим выражения для правых частей уравнений бокового движения:
UZ=Z>*Vg+Z^w+Z-ty+Z“e*<»gx+Z’°"x<»wx+
+ у+Z’Vm. j, + z4H,
+ M>u>wy + AfX+^X,
£му=м№е+м№т+м;етіх+м;^х+м;*теу+
+м;*уа>ау+MX + Af>8H.
Подставляя в (2.18) значения приращений сил и моментов из
(2.23) и учитывая соотношения (2.22), получаем систему уравнений:
і
mVe ^—Zp*p,-ZVr-fiL — ZTY-(/nK, + Z^y)
= — Ml* |
‘* — Zwgy^ |
* dt re dt v e ‘ dt
;* Л _ му У — f Ж’Э8Э+Му«Ь„ |
Система уравнений (2.24) может быть несколько упрощена для самолетов обычной аэродинамической схемы. Для таких самолетов можно без внесения существенных погрешностей положить равными нулю следующие величины: Z“r> Z°‘y и 1Ху
Учитывая это упрощение, после несложных преобразований из
d2l I/. X/ d^ t at — r1* |
‘* dt |
‘* дг |
(2.24)
получаем:
Формулы для расчета коэффициентов уравнений (2.25) приведены в табл. 2.2.
В табл. 2.2 приняты следующие обозначения: ix=4Ixjml2—безразмерный момент инерции относительно оси х;
iy — 4IyjmP — безразмерный момент инерции относительно оси у,
V-e=2mlpeSl — относительная плотность самолета в боковом _ движении;
wjc—wJI2Ve — безразмерная угловая скорость относительно оси х
о)у=о)у//2Ке—безразмерная угловая скорость относительно оси у.
Коэффициенты правых частей уравнений системы (2.25), отмеченные штрихом, имеют ту же структуру, что и соответствующие коэффициенты левых частей, но значения входящих в них частных производных от коэффициентов силы и моментов может быть иным, чем у коэффициентов левой части уравнений. По этой
Коэф фици ент |
Формула |
Размер ность |
н |
— |
СЄК~~1 |
кт |
glVe |
СЄК~~1 |
^11 |
— фі*е |
сек-‘ |
h |
— т1нЬ11х |
СЄК—Ї |
1• |
»xX/Vx |
сек-1 |
7 |
||
-*l/v/Vx |
сек~~1 |
|
/э |
сек—2 |
|
/н |
— |
СЄК-2 |
п» |
— myHhlh |
СЄК—2 |
П- 7 |
— millet у |
сек—1 |
ЛФ |
-яуУЫ, |
сек—1 |
ПЭ |
— «у^б/’Ф’у |
сек-2 |
Пн |
сек—2 |
причине каждый из коэффициентов нуждается в специальном рассмотрении его физической природы. При этом вначале будем полагать, что самолет попадает в единичный порыв ветра с постоянной скоростью или с постоянным градиентом по размаху крыла. В этом случае боковой ветер оказывается эквивалентным (если не учитывать время входа самолета в порыв) углу скольжения, и штрихи у коэффициентов в уравнениях (2.25) можно убрать, считая эти коэффициенты равными коэффициентам левой части. К такому выводу можно прийти и при рассмотрении коэффициентов /.• и п^ . Наличие постоянного градиента по оси г у нормальной составляющей ветра wv (рис. 4,6) эквивалентно угловой скорости (о№* для всего самолета. Следовательно, коэффициенты I — и я- должны быть равны коэффициентам и п^, и необходимость отмечать их штрихом отпадает. Для упрощения расчетов без внесения существенной погрешности можно
коэффициент п^ в правой части третьего уравнения (2.25) по-* дожить равным нулю, так как на летных углах атаки он во много раз (более чем на порядок) меньше других коэффициентов правых частей уравнений бокового движения. При анализе специальных режимов (посадка, полет на высоте, близкой к потолку) необходимость учета члена с коэффициентом в правой части третьего уравнения (2.25) должна быть подвергнута специальному анализу.
Рассмотрим коэффициенты и nj. Как следует из схемы на рис. 2.4, а, наличие постоянного градиента продольной состав-‘ ляющей ветра wx по оси г эквивалентно угловой скорости относительно оси у лишь для крыла, но не для фюзеляжа и хвостового оперения, имеющих незначительную протяженность вдоль оси 2, но довольно значительную — по оси х. Поэтому в производных
‘ (|) ‘ О)
тх и ту у следует учитывать лишь ту часть момента, которая создается крылом. В работе [29] показано, что на летных углах атаки производная т’уУ обусловлена влиянием хвостового оперения и фюзеляжа, а роль крыла ничтожна. Поэтому производную т’у’у и, следовательно, коэффициент можно приближенно принять равными нулю. Что касается производной т’/у» то, чтобы указать на необходимость при ее расчете учитывать лишь вклад крыла, отметим ее индексом «к», т. е.
«>=(«;*),. (2.26)
Отсюда вытекает формула для расчета коэффициента :
4 = — Ку)к/У,. (2.27)
Данные для расчета производной (/и“.у)к можно найти, например, в работе [27]. Расчеты показывают, что у самолетов обычной аэродинамической схемы при нормальных летных углах
атаки всегда выполняется соотношение (fflx-v)K ^ пгхх’ Следовательно, в создании момента крена неравномерность в распределении по размаху крыла продольной составляющей ветра играет незначительную роль по сравнению с неравномерностью по размаху нормальной составляющей (при малых углах атаки). На основании этих данных, в дальнейших расчетах будем считать, что /ф =0.
При анализе движения самолета в неспокойном воздухе чле — иы k„6Ht /н6„, пэ6э будем также считать равными нулю вследствие их малости по сравнению с другими членами правых частей уравнений (2.25).
3-2008 6S
T <)* z — п„Ьи, |
С учетом приведенных выше соображений относительно коэффициентов правых частей уравнений (2.25) последние для рассматриваемого случая воздействия на самолет порыва с постоянной скоростью или с постоянным градиентом по размаху должнь быть записаны в форме:
-=vmp,—a-
При анализе движения самолета без автопилота в уравнения.4:
(2.28) следует положить 68=6Н=0. Четвертое уравнение оказывается изолированным. Оно может быть использовано для определения бокового отклонения центра тяжести самолета от исходной прямолинейной траектории, вызываемого порывом ветра Это уравнение можно использовать и для определения бокової! перегрузки в земных осях.
Для анализа управляемого полета уравнения (2.28) должны быть дополнены уравнениями автопилота. Эти уравнения в общем случае связывают углы отклонения элеронов и руля направления с координатами р, у, ф и zg. Благодаря уравнениям автопилота система (2.28) становится замкнутой.
В настоящее время наиболее широко используются автопилоты, в законы управления которых не вводится сигнал бокового отклонения zg центра тяжести самолета от заданной траектории. В этом случае четвертое уравнение системы (2.28) остается изолированным и при наличии автопилота.
При изучении законов управления боковым движением ограничимся рассмотрением автопилотов с жесткой обратной связью. В настоящее время используются две различные структурны^ схемы автопилотов для стабилизации углов рыскания и крена: і перекрестной связью и без нее.
Перекрестная связь вводится для устранения отклонений о! прямолинейного полета с помощью координированных доворотог. Поэтому при рассогласовании по любому из углов (рыскания илі’ крена) отклоняются оба рулевых органа — элероны и руль направления.
При отсутствии перекрестной связи руль направления отклоняется только при рассогласовании по углу рыскания, а элероны— по углу крена.
имеют вид:
8»=ЧУ + + h (t3 — И
»н“/тї-Л».-+)+/* ^
где ф3 — заданное значение угла рыскания.
Если в уравнениях (2.29) положить іф=/т =0, то они превратятся в законы управления автопилота без перекрестных связей. Поэтому для сокращения объема работы анализ динамики системы самолет — автопилот проведем с уравнениями автопилота с перекрестной связью (2.29). Все полученные аналитические выражения будут справедливыми и для самолета с автопилотом без перекрестной связи, если в них положить равными нулю передаточные числа і ф и /т.
, (к+Ш — + чку+к Ш= dtt * 1 Т97 dt 1 ‘ 9Г 1 * dt * |
В результате объединения (2.28) и (2.29) получаем уравнения системы самолет — автопилот, находящейся под воздействием неспокойной атмосферы:
= -~ »« + /фЛнФв,
if£
dt
Уравнения (2.28) и (2.30) позволяет провести анализ бокового движения самолета без автопилота и самолета с автопилотом при воздействиях боковых порывов ветра, а также нормальных порывов, имеющих определенный градиент по размаху крыла.