УРАВНЕНИЯ БОКОВОГО ДВИЖЕНИЯ. в неспокойной атмосфере

Подпись: т Подпись: dVRz at Подпись: tn^gyVgx — ^Z,

Уравнения динамики изолированного бокового движения са­молета в связанных осях имеют вид [26, 27]:

Подпись: (2.18)

УРАВНЕНИЯ БОКОВОГО ДВИЖЕНИЯ. в неспокойной атмосфере УРАВНЕНИЯ БОКОВОГО ДВИЖЕНИЯ. в неспокойной атмосфере УРАВНЕНИЯ БОКОВОГО ДВИЖЕНИЯ. в неспокойной атмосфере

, dag* г d,"gy * dt *У dt

где Vgx, V — проекции путевой скорости самолета на оси х и г;

uigr, o)gy— проекции угловой скорости самолета относи­тельно земли на оси хну;

Iх, 1у—моменты инерции самолета относительно осей хну;

IХу— центробежный момент инерции;

ЕZ— сумма проекций внешних сил на ось г;

ЕМД., ЕМу— суммы проекций моментов внешних сил отно­сительно осей хну;

Суммы проекций внешних сил и моментов в боковом движе­нии определяются соотношениями:

EZ=G sin y+Z (З, 8Н, V, М, P)=G sinv+C^-^-,

ЕМХ=МЯ$, 5Э, 8„, (u,, (uy, V, М, р)=-rnxlS-^Y, } (2.19)

Шу=Му$, оэ, 8„, «>г, Wy, V, М, o)^mytS

В (2.19) обозначено:

Р — угол скольжения;

6Э — угол отклонения элеронов;

бп — угол отклонения руля направления;

/ — размах крыльев;

Cz — коэффициент боковой силы;

тх — коэффициент аэродинамического момента относитель­но оси х;

ту — коэффициент аэродинамического момента относитель­но оси у.

Заметим, что сила и моменты бокового движения зависят от некоторых параметров продольного движения (V, М, р). Однако при изолированном изучении бокового движения эту связь учесть нельзя.

Уравнения (2.18) должны быть дополнены следующими кине­матическими соотношениями:

йч, db. d’b л. db

<0_„= —!——- 2— sin b. «)_v = —±- cos VCOS ft-I cosv,

gx dt ‘ dt ’ gy dt ‘ dt M

Подпись: (2.201dZg

—- = — Vgx sin Ц* —J— Vgz cos Y cos <|>,

где zg — боковое отклонение центра тяжести самолета по оси zv земной системы координат.

Подпись: V = Vg = Vgx=const,

Выберем в качестве невозмущенного режима прямолинейный и равномерный полет без крена и скольжения при отсутствии ветра, характеризующийся следующими значениями параметров:

dt* ~xy —

УРАВНЕНИЯ БОКОВОГО ДВИЖЕНИЯ. в неспокойной атмосфере

Для малых отклонений от исходного невозмущенного режима на основании (2.18) и (2.20) получим систему уравнений:

где Pg — угол скольжения, определяемый по вектору путевой скорости.

Перейдем к рассмотрению правых частей первых трех урав­нений системы (2.21). Сила и моменты определяются движением самолета относительно воздуха, а не относительно земли. Чтобы облегчить анализ изменения сил и моментов в боковом движении самолета, летящего в возмущенной атмосфере, введем некоторые дополнительные соотношения, которые справедливы лишь при указанных ниже ограничениях:

(2.22)

УРАВНЕНИЯ БОКОВОГО ДВИЖЕНИЯ. в неспокойной атмосфереВ уравнениях (2.22) отсутствие дополнительного индекса ука­зывает на то, что соответствующий параметр характеризует бо­ковое движение самолета относительно подвижной воздушной среды; параметры с индексом g характеризуют движение отно­сительно земли и, следовательно, относительно неподвиж-

Wz 1 то.

Подпись: Рис. 2.4. Действие ветра на самолет (боковое движение): а — поперечная составляющая ветра w2 и неравномерное распределение продоль* кой составляющей по размаху; б — неравномерное распределение нормальной составляющей w у по размаху

ного воздуха. Наконец, индекс w указывает на то, что пара­метр обусловлен подвижностью воздуха, т. е. ветром. Выра­жения (2.22) поясняются рис. 2.4. Рис. 2.4, а поясняет пер­вое и третье из отношений (2.22), а рис. 2.4, б — второе. Схема­тические изображения продольной и нормальной составляющих ветра с постоянным градиентом по размаху крыла, приведенные на рис. 2.4, показывают, что положительный градиент dwy/dz с точки зрения вызываемого им аэродинамического момента экви­валентен положительной угловой скорости самолета относительно оси х, а отрицательный градиент — dwjdz — положительной угловой скорости относительно оси у. При определении знака р,» и угловых скоростей ыц.* и (лХСу, обусловленных движением возду­ха, необходимо иметь в виду, что составляющие ветра wx, wy и wt характеризуют направление движения воздуха относительно самолета, тогда как угол рм, и угловые скорости a>wx и соШу дол­жны характеризовать движение самолета относительно воздуха.

Поэтому для правильного учета знака этих приращений направ­ление составляющих скорости ветра до*, wy и до* следует поменять на обратное, что и сделано на рис. 2.4.

Подчеркнем, что учет производных dwjdz и dwvfdz есть б принципе не что иное, как учет влияния размеров самолета на параметры бокового движения.

Геометрические соотношения на рис. 2.4 поясняют, при каких ограничениях справедливы выражения (2.22). Упомянутые огра­ничения заключаются в следующем:

1) выражения (2.22) справедливы лишь при постоянных гра­диентах нормальной и продольной составляющих скорости ветра по размаху крыла;

2) выражения (2.22) получены исходя из неравномерного распределения составляющих ветра до* и до„ по размаху крыла; поэтому они справедливы лишь для крыла; возможность приме­нения этих выражений для других частей самолета (фюзеляж, хвостовое оперение) должна быть рассмотрена дополнительно.

Разлагая функции, входящие в (2.19), в ряд Тейлора по их аргументам и сохранив только член ряда с первой степенью при­ращения аргумента, получим выражения для правых частей уравнений бокового движения:

UZ=Z>*Vg+Z^w+Z-ty+Z“e*<»gx+Z’°"x<»wx+

+ у+Z’Vm. j, + z4H,

+ M>u>wy + AfX+^X,

£му=м№е+м№т+м;етіх+м;^х+м;*теу+

+м;*уа>ау+MX + Af>8H.

Подставляя в (2.18) значения приращений сил и моментов из

(2.23) и учитывая соотношения (2.22), получаем систему урав­нений:

і

mVe ^—Zp*p,-ZVr-fiL — ZTY-(/nK, + Z^y)

= — Ml*

‘* — Zwgy^

УРАВНЕНИЯ БОКОВОГО ДВИЖЕНИЯ. в неспокойной атмосфере УРАВНЕНИЯ БОКОВОГО ДВИЖЕНИЯ. в неспокойной атмосфере УРАВНЕНИЯ БОКОВОГО ДВИЖЕНИЯ. в неспокойной атмосфере Подпись: (2.24)

* dt re dt v e ‘ dt

;* Л _ му У — f Ж’Э8Э+Му«Ь„

УРАВНЕНИЯ БОКОВОГО ДВИЖЕНИЯ. в неспокойной атмосфере Подпись: дг
Подпись: dt Подпись: dt2 Подпись: dt
Подпись: (2.24)

Система уравнений (2.24) может быть несколько упрощена для самолетов обычной аэродинамической схемы. Для таких самолетов можно без внесения существенных погрешностей по­ложить равными нулю следующие величины: Z“r> Z°‘y и 1Ху

Учитывая это упрощение, после несложных преобразований из

d2l I/. X/ d^

t at — r1*

‘* dt
дг

‘* дг

(2.24)

УРАВНЕНИЯ БОКОВОГО ДВИЖЕНИЯ. в неспокойной атмосфере Подпись: (2.25)

получаем:

Формулы для расчета коэффициентов уравнений (2.25) при­ведены в табл. 2.2.

В табл. 2.2 приняты следующие обозначения: ix=4Ixjml2—безразмерный момент инерции относительно оси х;

iy — 4IyjmP — безразмерный момент инерции относительно оси у,

V-e=2mlpeSl — относительная плотность самолета в боковом _ движении;

wjc—wJI2Ve — безразмерная угловая скорость относительно оси х

о)у=о)у//2Ке—безразмерная угловая скорость относительно оси у.

Коэффициенты правых частей уравнений системы (2.25), от­меченные штрихом, имеют ту же структуру, что и соответствую­щие коэффициенты левых частей, но значения входящих в них частных производных от коэффициентов силы и моментов может быть иным, чем у коэффициентов левой части уравнений. По этой

Коэф­

фици­

ент

Формула

Размер­

ность

н

СЄК~~1

кт

glVe

СЄК~~1

^11

— фі*е

сек-‘

h

— т1нЬ11х

СЄК—Ї

1•

»xX/Vx

сек-1

7

-*l/v/Vx

сек~~1

сек—2

СЄК-2

п»

— myHhlh

СЄК—2

П-

7

— millet у

сек—1

ЛФ

-яуУЫ,

сек—1

ПЭ

— «у^б/’Ф’у

сек-2

Пн

сек—2

причине каждый из коэффициентов нуждается в специальном рассмотрении его физической природы. При этом вначале будем полагать, что самолет попадает в единичный порыв ветра с по­стоянной скоростью или с постоянным градиентом по размаху крыла. В этом случае боковой ветер оказывается эквивалентным (если не учитывать время входа самолета в порыв) углу сколь­жения, и штрихи у коэффициентов в уравнениях (2.25) можно убрать, считая эти коэффициенты равными коэффициентам левой части. К такому выводу можно прийти и при рассмотрении коэф­фициентов /.• и п^ . Наличие постоянного градиента по оси г у нормальной составляющей ветра wv (рис. 4,6) эквивалентно угловой скорости (о№* для всего самолета. Следовательно, коэф­фициенты I — и я- должны быть равны коэффициентам и п^, и необходимость отмечать их штрихом отпадает. Для упро­щения расчетов без внесения существенной погрешности можно

коэффициент п^ в правой части третьего уравнения (2.25) по-* дожить равным нулю, так как на летных углах атаки он во много раз (более чем на порядок) меньше других коэффициентов пра­вых частей уравнений бокового движения. При анализе специаль­ных режимов (посадка, полет на высоте, близкой к потолку) необходимость учета члена с коэффициентом в правой части третьего уравнения (2.25) должна быть подвергнута специаль­ному анализу.

Рассмотрим коэффициенты и nj. Как следует из схемы на рис. 2.4, а, наличие постоянного градиента продольной состав-‘ ляющей ветра wx по оси г эквивалентно угловой скорости отно­сительно оси у лишь для крыла, но не для фюзеляжа и хвостового оперения, имеющих незначительную протяженность вдоль оси 2, но довольно значительную — по оси х. Поэтому в производных

‘ (|) ‘ О)

тх и ту у следует учитывать лишь ту часть момента, которая создается крылом. В работе [29] показано, что на летных углах атаки производная т’уУ обусловлена влиянием хвостового опе­рения и фюзеляжа, а роль крыла ничтожна. Поэтому производ­ную т’у’у и, следовательно, коэффициент можно прибли­женно принять равными нулю. Что касается производной т’/у» то, чтобы указать на необходимость при ее расчете учитывать лишь вклад крыла, отметим ее индексом «к», т. е.

«>=(«;*),. (2.26)

Отсюда вытекает формула для расчета коэффициента :

4 = — Ку)к/У,. (2.27)

Данные для расчета производной (/и“.у)к можно найти, на­пример, в работе [27]. Расчеты показывают, что у самолетов обычной аэродинамической схемы при нормальных летных углах

атаки всегда выполняется соотношение (fflx-v)K ^ пгхх’ Следо­вательно, в создании момента крена неравномерность в распре­делении по размаху крыла продольной составляющей ветра играет незначительную роль по сравнению с неравномерностью по размаху нормальной составляющей (при малых углах атаки). На основании этих данных, в дальнейших расчетах будем счи­тать, что /ф =0.

При анализе движения самолета в неспокойном воздухе чле — иы k„6Ht /н6„, пэ6э будем также считать равными нулю вследствие их малости по сравнению с другими членами правых частей урав­нений (2.25).

3-2008 6S

T <)*

z — п„Ьи,

УРАВНЕНИЯ БОКОВОГО ДВИЖЕНИЯ. в неспокойной атмосфере Подпись: (2.28.

С учетом приведенных выше соображений относительно коэф­фициентов правых частей уравнений (2.25) последние для рас­сматриваемого случая воздействия на самолет порыва с постоян­ной скоростью или с постоянным градиентом по размаху должнь быть записаны в форме:

-=vmp,—a-

При анализе движения самолета без автопилота в уравнения.4:

(2.28) следует положить 68=6Н=0. Четвертое уравнение оказы­вается изолированным. Оно может быть использовано для опре­деления бокового отклонения центра тяжести самолета от исход­ной прямолинейной траектории, вызываемого порывом ветра Это уравнение можно использовать и для определения бокової! перегрузки в земных осях.

Для анализа управляемого полета уравнения (2.28) должны быть дополнены уравнениями автопилота. Эти уравнения в об­щем случае связывают углы отклонения элеронов и руля на­правления с координатами р, у, ф и zg. Благодаря уравнениям автопилота система (2.28) становится замкнутой.

В настоящее время наиболее широко используются автопило­ты, в законы управления которых не вводится сигнал бокового отклонения zg центра тяжести самолета от заданной траектории. В этом случае четвертое уравнение системы (2.28) остается изо­лированным и при наличии автопилота.

При изучении законов управления боковым движением огра­ничимся рассмотрением автопилотов с жесткой обратной связью. В настоящее время используются две различные структурны^ схемы автопилотов для стабилизации углов рыскания и крена: і перекрестной связью и без нее.

Перекрестная связь вводится для устранения отклонений о! прямолинейного полета с помощью координированных доворотог. Поэтому при рассогласовании по любому из углов (рыскания илі’ крена) отклоняются оба рулевых органа — элероны и руль на­правления.

При отсутствии перекрестной связи руль направления откло­няется только при рассогласовании по углу рыскания, а элеро­ны— по углу крена.

имеют вид:

Подпись: Уравнения идеального автопилота с перекрестной связью

8»=ЧУ + + h (t3 — И

Подпись:»н“/тї-Л».-+)+/* ^

где ф3 — заданное значение угла рыскания.

Если в уравнениях (2.29) положить іф=/т =0, то они превра­тятся в законы управления автопилота без перекрестных связей. Поэтому для сокращения объема работы анализ динамики систе­мы самолет — автопилот проведем с уравнениями автопилота с перекрестной связью (2.29). Все полученные аналитические вы­ражения будут справедливыми и для самолета с автопилотом без перекрестной связи, если в них положить равными нулю пере­даточные числа і ф и /т.

, (к+Ш — + чку+к Ш=

dtt * 1 Т97 dt 1 ‘ 9Г 1 * dt *

Подпись: tit Подпись: dl УРАВНЕНИЯ БОКОВОГО ДВИЖЕНИЯ. в неспокойной атмосфере Подпись: (2.30)

В результате объединения (2.28) и (2.29) получаем уравнения системы самолет — автопилот, находящейся под воздействием неспокойной атмосферы:

= -~ »« + /фЛнФв,

if£

dt

Уравнения (2.28) и (2.30) позволяет провести анализ бокового движения самолета без автопилота и самолета с автопилотом при воздействиях боковых порывов ветра, а также нормальных порывов, имеющих определенный градиент по размаху крыла.