Расчет верояїностей безотказной работы резервных соединений с дробной и целой кратностью
Рассмотрим систему Sen резервно соединенными одно — пшными подсистемами., время между отказами которых распределено по показательному закону. Формула для расчета вероятности безотказной работы резервных соединений с любой дробной кратностью имеет следующий вид:
1р + дГ = У, с.рн-V—C (3.31)
і-О
г іе р — вероятность безотказной работы подсистемы (элемен — іи) резервного соединения; q — вероятность отказа подсистемы (элемента) резервного соединения; і—число отказавших подсистем (элементов).
Решим пример пользования формулой (3.31). Введем следующие обозначения:
!. Условие работоспособности системы с п резервно соединенными элементами / < т — или п — і > т — 1.
2.Условие отказа системы с п резервно соединенными элементами і’&т или п — і Cm.
Пример 3.1. Дана система трех резервно соединенных однім ипных подсистем. Параметр потока отказов каждой подси — I гемы ю — 0,01. Система является бортовой системой самолете максимальная продолжительность полета которого равна Они — Ю час. Отказ системы происходит при отказе трех подпитом. Определить вероятность безотказной работы системы ш время полета и время обслуживания.
Решение. Условием работоспособности этой системы является / 2, а вероятность этого условия Рс (/ < 2) равна
Рс(«<2) = рй + 3р^/ + 3р^;
/?(10)~£"°’Л’1о*=0,90+
Подставляя значение р( 10) =0,9 в формулу (З. ЗП, получаем
Рс = 0,732 + 0,240 -1- 0,027 = 0,999;
Qc = і — Рс — 0,00+
Это значит, что за 1000 самолето-вылетов по 10 час каждый произойдет один отказ системы, т. е. откажут все три подсистемы. Однако для того чтобы летать с такой высокой безотказностью, требуется после каждого вылета осматривать систему, выявлять отказавшие подсистемы и устранять отказы. Всего предстоит выполнить 1000 осмотров (после каждого вылета). Количество ремонтов, замен отказавших подсистем можно определить из рассмотрения значений Рс и Qc в уравнениях (3.31а) и (3.316).
Из 1000 самолето-вылетов в 732 ни одна из подсистем не откажет (р3=0,732), в 240 вылетах будут отказы по одной подсистеме (Зр2<7—0,240), в 27 вылетах будут отказы сразу двух подсистем (Зр^2 —0,027) и в одном вылете откажут три подсистемы qz. Всего число отказавших подсистем будет равно 297 (240 + 54+3 = 297). Если условно принять время одной проверки 10 минут, а время замены (или ремонта) одной подсистемы 20, то суммарное время обслуживания систем для поддержания заданной надежности Рс—0,999 будет составлять 15940 мин
(10-1000 + 297-20 = 104 + 5940 = 15940 мин).
Однако обслуживание систем с резервно соединенными подсистемами можно производить по другой схеме: не проверять систему и устранять отказы после каждого вылета, а летать до тех пор, когда откажет вся система (три подсистемы). Для определения времени обслуживания по такой схеме найдем среднее время работ системы до ее отказа по формуле
Для «<=0,01 1 ‘чаг —у
+ 33 = 183 час. и 2"’ **
За 1000 самолето-вылетов суммарная наработка будет равна 1000*10=10000 час. Следовательно, за 10 000 час на-
10000 1аЛЛ лета произойдет —Г55— =54 отказа, т. е. из 1000 самолето-вы-
ІОО
летов 946 будут удачными, а в 54 вылетах произойдут отказы систем (откажут все три подсистемы).
Всего будет отремонтировано 54-3=162 подсистемы, а время обслуживания составит 162 * 20 = 3240 мин, т. е. в пять раз меньше, чем обслуживание по первой схеме. Однако такое обслуживание можно допустить только для систем, отказ которых не грозит безопасности полета.
Пример 3.2. Рассмотрим систему, состоящую из пяти резервно соединенных однотипных подсистем (рис. 3.22). Определить кратность резервирования К и вероятность безотказной рабо — 1Ы системы за время 7, если условием работоспособности всей системы является одна, или дне, или три, или четыре работоспособных подсистем.
Для расчета вероятности безотказной работы системы при заданных пользуем — формулу (3.31)
(Р + qf «* Р" + 5р4 я -Ь Юр’ Яг + Юр* я* + 5р я4 + я’ = 1.
Уравнение (р + я)* — 1 характеризует 32 возможных состоянии системы из пяти резервно соединенных однотипных подсистем. Одно состояние, когда работоспособны все пять подсистем (р5). Пять состояний, когда работоспособны четыре подсистемы и отказала одна (5р4<7). Десять состояний, когда работоспособны три подсистемы и отказали две ( psq2). Де — инь состояний, когда работоспособны две подсистемы и откатили три (10р2<?3)- Пять состояний, когда работоспособна одна подсистема и отказали четыре (5pq4). Одно состояние, когда
о] казали ізсе пять подсистем яь системы.
1. Для случая, когда для работоспособности системы до — статочно хотя бы одной работоспособной подсистемы, кратность резервирования будет К = 5, и по формуле (3.31) вероятность безотказной работы такой системы за время t будет равна
Рс(0 = P(i : т — 1) = рь 5р’1 д — f Юр4 ф — г Юр2ф + Ър qp
2. Для случая, когда для работоспособности системы достаточно не менее двух работоспособных подсистем, кратность
4
резервирования K=-g-. Вероятность безотказной работы по формуле (3.31) будет равна
Pc(t) — P(i <т~ 1) =* р(і < 3) = /г — р 5 р*д 4- Юр5д2 — f 10ргф
3. Для случая, когда для работоспособности системы достаточно не менее трех работоспособных подсистем, К == — g — ,а
Рс (0 = Р(/ < 2) = ръ + 5р* Ц Jr 10р* ф.
4. Для случая, когда для работоспособности системы достаточно не менее четырех работоспособных подсистем,
К = — j, a Pc(t) = Рс (г == 1) = />5 -f 5pi q.
Таким образом, наиболее эффективным с точки зрений повышения безотказности является первый случай, когда для работоспособности системы достаточно хотя бы одной работоспособной подсистемы. Однако в этом случае требуются наибольшие затраты сил и средств для поддержания такого высокого уровня безотказности в течение времени нолета t.
Пример 3.3. Резервирование силовой установки транспортного самолета (рис. 3.23).
Современный транспортный самолет с четырьмя турбовинтовыми двигателями может совершать горизонтальный полет при любых двух выключенных (отказавших) двигателях. Это значит, что отказ силовой установки самолета, состоящего из четырех резервно соединенных двигателей, возможен только
linn отказе трех и более двигателей. Степень резервирования
шкой системы К — тр Вероятность безотказной работы всей
і. иловой установки Рс у (0 за время t согласно формуле (3.31) будет равна
Рс у (0 = Р (І < 2) = /« + 4PJ (1 — Рд) + 6Я* (1 ~ Рд)2, (3.32)
где Яд— вероятность безотказной работы одного двигателя ы время /.
Допустим, что максимально возможная продолжительность полета этого самолета Лнм — 6 час, наработка на один
—3
внезапный отказ tcp = 1000 час: Тогда Рд (6) — е~ш 6 = 0,9994. Это значит, что на 2500 самолето-вылетов продолжительностью в б час каждый следует ожидать 6 отказов. Используя формулу (3.32), находим вероятность безотказно’ работы всей силовой установки за время полета-, равное ни с ні часам:
Р, * (/) = 0,99944 + 4-0,99948-0,0006 + 6-0,99942-0,0006й =
= 0,9976 + 0.00239 + 0,00000199 = 0,99999.
Следовательно, ожидать даже одного отказа всей силовой установки за 2500 самолето-вылетов маловероятно, так как вероятность этого события равна одной стотысячной. Один Отказ силовой установки реально может иметь место только мри 25000 самолето-вылетах. Конечно, такая высокая безотказность может быть реализована при условии безотказности средств защиты силовой установки с ТВД (система автоматического и ручного флюгирования) и правильных действий летчика в обстановке отказа двигателя.