Расчет верояїностей безотказной работы резервных соединений с дробной и целой кратностью

Рассмотрим систему Sen резервно соединенными одно — пшными подсистемами., время между отказами которых рас­пределено по показательному закону. Формула для расчета вероятности безотказной работы резервных соединений с лю­бой дробной кратностью имеет следующий вид:

1р + дГ = У, с.рн-V—C (3.31)

і-О

г іе р — вероятность безотказной работы подсистемы (элемен — іи) резервного соединения; q — вероятность отказа подсисте­мы (элемента) резервного соединения; і—число отказавших подсистем (элементов).

Решим пример пользования формулой (3.31). Введем сле­дующие обозначения:

!. Условие работоспособности системы с п резервно соеди­ненными элементами / < т — или п — і > т — 1.

2.Условие отказа системы с п резервно соединенными элементами і’&т или п — і Cm.

Пример 3.1. Дана система трех резервно соединенных од­нім ипных подсистем. Параметр потока отказов каждой подси — I гемы ю — 0,01. Система является бортовой системой самоле­те максимальная продолжительность полета которого равна Они — Ю час. Отказ системы происходит при отказе трех под­питом. Определить вероятность безотказной работы системы ш время полета и время обслуживания.

Решение. Условием работоспособности этой системы является / 2, а вероятность этого условия Рс (/ < 2) равна

Рс(«<2) = рй + 3р^/ + 3р^;
/?(10)~£"°’Л’1о*=0,90+

Подставляя значение р( 10) =0,9 в формулу (З. ЗП, полу­чаем

Рс = 0,732 + 0,240 -1- 0,027 = 0,999;

Qc = і — Рс — 0,00+

Это значит, что за 1000 самолето-вылетов по 10 час каж­дый произойдет один отказ системы, т. е. откажут все три под­системы. Однако для того чтобы летать с такой высокой без­отказностью, требуется после каждого вылета осматривать систему, выявлять отказавшие подсистемы и устранять отка­зы. Всего предстоит выполнить 1000 осмотров (после каждо­го вылета). Количество ремонтов, замен отказавших подси­стем можно определить из рассмотрения значений Рс и Qc в уравнениях (3.31а) и (3.316).

Из 1000 самолето-вылетов в 732 ни одна из подсистем не откажет (р3=0,732), в 240 вылетах будут отказы по одной подсистеме (Зр2<7—0,240), в 27 вылетах будут отказы сразу двух подсистем (Зр^2 —0,027) и в одном вылете откажут три подсистемы qz. Всего число отказавших подсистем будет рав­но 297 (240 + 54+3 = 297). Если условно принять время одной проверки 10 минут, а время замены (или ремонта) одной под­системы 20, то суммарное время обслуживания систем для поддержания заданной надежности Рс—0,999 будет состав­лять 15940 мин

(10-1000 + 297-20 = 104 + 5940 = 15940 мин).

Однако обслуживание систем с резервно соединенными подсистемами можно производить по другой схеме: не прове­рять систему и устранять отказы после каждого вылета, а летать до тех пор, когда откажет вся система (три подсисте­мы). Для определения времени обслуживания по такой схе­ме найдем среднее время работ системы до ее отказа по фор­муле

Для «<=0,01 1 ‘чаг —у

+ 33 = 183 час. и 2"’ **

За 1000 самолето-вылетов суммарная наработка будет равна 1000*10=10000 час. Следовательно, за 10 000 час на-

10000 1аЛЛ лета произойдет —Г55— =54 отказа, т. е. из 1000 самолето-вы-

ІОО

летов 946 будут удачными, а в 54 вылетах произойдут отказы систем (откажут все три подсистемы).

Всего будет отремонтировано 54-3=162 подсистемы, а время обслуживания составит 162 * 20 = 3240 мин, т. е. в пять раз меньше, чем обслуживание по первой схеме. Однако такое обслуживание можно допустить только для систем, отказ ко­торых не грозит безопасности полета.

Пример 3.2. Рассмотрим систему, состоящую из пяти ре­зервно соединенных однотипных подсистем (рис. 3.22). Опре­делить кратность резер­вирования К и вероят­ность безотказной рабо — 1Ы системы за время 7, если условием работо­способности всей систе­мы является одна, или дне, или три, или четы­ре работоспособных под­систем.

Для расчета вероят­ности безотказной рабо­ты системы при заданных пользуем — формулу (3.31)

(Р + qf «* Р" + 5р4 я -Ь Юр’ Яг + Юр* я* + 5р я4 + я’ = 1.

Уравнение (р + я)* — 1 характеризует 32 возможных состоя­нии системы из пяти резервно соединенных однотипных под­систем. Одно состояние, когда работоспособны все пять под­систем (р5). Пять состояний, когда работоспособны четыре подсистемы и отказала одна (5р4<7). Десять состояний, когда работоспособны три подсистемы и отказали две (psq2). Де — инь состояний, когда работоспособны две подсистемы и отка­тили три (10р2<?3)- Пять состояний, когда работоспособна одна подсистема и отказали четыре (5pq4). Одно состояние, когда

о] казали ізсе пять подсистем яь системы.

1. Для случая, когда для работоспособности системы до — статочно хотя бы одной работоспособной подсистемы, крат­ность резервирования будет К = 5, и по формуле (3.31) веро­ятность безотказной работы такой системы за время t будет равна

Рс(0 = P(i : т — 1) = рь 5р’1 д — f Юр4 ф — г Юр2ф + Ър qp

2. Для случая, когда для работоспособности системы до­статочно не менее двух работоспособных подсистем, кратность

4

резервирования K=-g-. Вероятность безотказной работы по формуле (3.31) будет равна

Pc(t) — P(i <т~ 1) =* р(і < 3) = /г — р 5 р*д 4- Юр5д2 — f 10ргф

3. Для случая, когда для работоспособности системы до­статочно не менее трех работоспособных подсистем, К == — g — ,а

Рс (0 = Р(/ < 2) = ръ + 5р* Ц Jr 10р* ф.

4. Для случая, когда для работоспособности системы до­статочно не менее четырех работоспособных подсистем,

К = — j, a Pc(t) = Рс (г == 1) = />5 -f 5pi q.

Таким образом, наиболее эффективным с точки зрений повышения безотказности является первый случай, когда для работоспособности системы достаточно хотя бы одной рабо­тоспособной подсистемы. Однако в этом случае требуются наибольшие затраты сил и средств для поддержания такого высокого уровня безотказности в течение времени нолета t.

Пример 3.3. Резервирование силовой установки транспорт­ного самолета (рис. 3.23).

Современный транспортный самолет с четырьмя турбовин­товыми двигателями может со­вершать горизонтальный полет при любых двух выключенных (отказавших) двигателях. Это значит, что отказ силовой уста­новки самолета, состоящего из четырех резервно соединенных двигателей, возможен только
linn отказе трех и более двигателей. Степень резервирования

3

шкой системы К — тр Вероятность безотказной работы всей

і. иловой установки Рс у (0 за время t согласно формуле (3.31) будет равна

Рс у (0 = Р (І < 2) = /« + 4PJ (1 — Рд) + 6Я* (1 ~ Рд)2, (3.32)

где Яд— вероятность безотказной работы одного двигателя ы время /.

Допустим, что максимально возможная продолжитель­ность полета этого самолета Лнм — 6 час, наработка на один

—3

внезапный отказ tcp = 1000 час: Тогда Рд (6) — е~ш 6 = 0,9994. Это значит, что на 2500 самолето-вылетов продол­жительностью в б час каждый следует ожидать 6 отказов. Ис­пользуя формулу (3.32), находим вероятность безотказно’ работы всей силовой установки за время полета-, равное ни с ні часам:

Р, * (/) = 0,99944 + 4-0,99948-0,0006 + 6-0,99942-0,0006й =

= 0,9976 + 0.00239 + 0,00000199 = 0,99999.

Следовательно, ожидать даже одного отказа всей силовой установки за 2500 самолето-вылетов маловероятно, так как вероятность этого события равна одной стотысячной. Один Отказ силовой установки реально может иметь место только мри 25000 самолето-вылетах. Конечно, такая высокая безот­казность может быть реализована при условии безотказности средств защиты силовой установки с ТВД (система автомати­ческого и ручного флюгирования) и правильных действий лет­чика в обстановке отказа двигателя.