Конкретные случаи резервирования систем

До сих пор мы рассматривали резервирование элементов без учета различия отказов, которым они подвержены в соот­ветствии с их конструкцией и выполняемыми ими функциями. Учет этих важных для практики условий возможен только при рассмотрении конкретных систем. Рассмотрим несколько при­меров.

Пример 3.4. Дана система п резервносоединенных подси­стем (рис. 3.27). Требуется, пользуясь формулой (P+Q)n —

я t д

^ Сп Pn Q’ — 1, написать все возможные варианты со-

І-І

Рис. 3.27. Система п резервно соединенных под­систем

гіоянин системы, число вариантов и вероятность г-го состоя­ния системы (/“0, 1, 2, …, /г).

Пример 3.5. Дана сложная система, состоящая нз четырех однотипных одиночно и резервно соединенных между собою

элементов (рнс. 3.28). Требуется вычислить ве­роятность безотказной ра­боты этой системы Рк, если известны вероятно­сти безотказной работы элементов — Ря.

Решение. 1. Для анализа работоспособности системы при отказе каждого из ее элементов составляем матри­цу возможных состояний си­стемы (рис. 3.29).

Условные обозначения матрицы: р — элемент рабо­тоспособен; о —элемент от­казал; I. 2, 3 и 4 — вер­тикальные ряды матрицы.

2. Из матрицы (см. рис. 3.29) видно, что число возможных состояний систе­мы равно 16, нз которых 7 состояний отказа системы

(.*»; 46. 2в, 4в. 2г. Зг. 4г) и 9 работоспособных состояний (1а,

,,«i За,-4а—V16,.26, 1в, Зв, 1г).

3. Вероятность безотказной работы системы вычисляется m формулы

(Л+?,)’= где? s=i р,.

— 1=0

4. Система может находиться в следующих состояниях от­каза:

— из-за совместного отказа двух элементов (состояния «16 л 2в);

— из-за совместного отказа трех элементов (состояния 46, 4в, 2г й Зг);

— из-за совместного отказа четырех элементов (состоя­ние 4г). Следовательно, вероятность отказа системы Qc бу — (ет равна

Qc = 2Fs (1 — Р,)г + 4Р, (1 — Я,)8 + (1 +Р,)‘.

Отсюда

f = J Qc — Pi + 4Я|(1 Рл) + ЄРІ (1 — PJ + 4Р, (1 — P, f+
+ О — РэУ — — 2Р1 (1 ~ PJ*- 4Рл (1 — PBf — (1 — Р9У —

= + 4/»(1 — Р,) + 4Pf (1 PJ2-

Пример 3.6. Резервирование золотников, обратных клапа — N013 и других элементов, имеющих два вида отказов. Рассмот­рим систему однотипных элементов, имеющих два вида отка­зов, на примере клапанов перепуска жидкости. Элементы, имеющие два вида отказов, могут находиться в трех состоя­ниях:

1. Быть работоспособными.

2. Иметь отказ одного типа — «зависание в закрытом по­нижении».

3. Иметь отказ второго типа — «зависание в открытом положении».

Эти три состояния образуют полную группу событий, Т. С.

Pc + Qr3 + Qc0 = 1; Qc, — Ь Qc0 — Qc,

і м* Pc — вероятность безотказной работы системы, имеющей о плазы твух типов, Qc — вероятность отказа этой системы. і

При вычислении вероятности безотказной работу системы в отношении отказа 1-го типа исходят из предположения, что возможны отказы только этого типа. Тогда при одиночном соединении элементов (рис. 3.30, а)

При резервном соединении элементов (рис. 3.30,6)

1 (І-Я*)" И

где Ясэ *— вероятность работы системы без зависания клапа­на в закрытом положении (отказы 1-го типа); Qc3 — вероят­ность отказа системы из-за зависания клапана в закрытом положении; А, а — вероятность независания клапана в за­крытом положении.

Рис. 3.30. К определению Рс системы с элементами, имеющи­ми отказы двух типов- 6 — одиночное соединение элементов с отказами 1-го типа; 6 резервное соединение элементов с отказами 1-го гнпа: в — «одиночное» соединение элементов с отказами 2-го типа; г «резервное» соединение элементов с отказами 2-го типа

Аналогично, при вычислении надежности системы в отно­шении отказов второго типа при «одиночном» соединении эле­ментов (рис. 3.30, в)

‘ — п 1Г — г-

При «резервном» соединении элементов (рис. 3.30, г)

і де fo — вероятность работы системы без зависания клапа­на в открытом положении (отказы 2-го типа); Qc0 — вероят­ность отказа системы из-за зависания клапана в открытом положении; Роо — вероятность независания клапана в откры­том положении.

Для отказа системы достаточно отказа одного элемента. Пользуясь изложенным, можно сразу написать формулу для определения вероятности безотказной работы системы для схемы, изображенной на рис. 3.30,’составленной из однотип­ных элементов: ■’ ‘