Параметры потоков требований на восстановление готовности самолетов к полету и среднее время обслуживания (размеры требований)
Поток требований на подготовку к полету. 1. Каждый летный день можно рассматривать как требование на случайные затраты рабочего времени, потребные для проведения предварительной, предполетной, послеполетной подготовок и подготовки к последующим вылетам в летиый день. Случайный характер размера каждого требования на подготовку к и (следующим полетам обусловлен случайным числом само — іиов, участвующих в летном дне и случайным временем, по — іцсбиьім для выявления и устранения отказов. Это время яв — чім-тся частью времени, потребного на проведение предвари — іГ’іміои н послеполетной подготовок. Размер среднего требовании (в часах работы) который несет каждый летный •и ш., можно вычислить по формуле
-Л д — ki т, 4- т2 — ф т3 -f — (к> — І) т4 — Г (4.1)
і и /.| — коэффициент, учитывающий среднее число предвари — П.’П. ПЫХ подготовок в году. Учет делается в связи с тем, что
число предварительных подготовок в году, как правило, не равно числу летиых дней в году; — число вылетов группы самолетов в летный день с учетом числа подготовок к по вторному (последующему) вылету за летный день; — среднее время предварительной подготовки; Ч— среднее время предполетной подготовки; ч— среднее время послеполетноп подготовки; ч—среднее время подготовки к последующим (повторным) полетам; т5 — среднее время выполнения работ, не связанных непосредственно с обслуживанием авиационной техники.
2. Параметр потока требований на подготовку к полету?-лд получим из формулы
} _ Злз
3 Среднее число летных дней 2Лд, за планируемый календарный период t, равно
obN ‘
где Ср — суммарный налет группы самолетов за плаиируе мый календарный период /; а — средняя продолжительность полета самолета; в — среднее число вылетов группы самолетов за летный день;
N — число самолетов в группе.
Если планируемый период равен одному году, то /=8760 час. Тогда
*лд«*Лд8760.
4. Интенсивность обслуживания рлд в канале подготовок к полету.
1
’■л д
где хЛА — средняя продолжительность подготовки к полету, полученная из опыта технического обслуживания самолетов.
Поток требований иа выполнение регламентных работ. Условимся все регламентные работы, выполняемые на самолете подразделять по видай:
— первый вид — это регламентные работы, выполняемые через наименьший интервал наработки нз числа интервалов
между регламентными работами всех видов;
— второй вид — это регламентные работы, выполняемые через интервал больший (часто кратный) интервала между регламентными работами первого вида;
— третий вид — это регламентные работы, выполняемые через интервал больший (часто кратный) интервала между регламентными работами второго вида;
— старший я-й вид — это регламентные работы, выполняемые через наибольший интервал наработки из числа интервалов между регламентными работами всех видов.
Напрймер, на летательном аппарате выполняются 50-, 100- и 200-часовые регламентные работы (т. е. через интервалы наработки в 50, 100 и 200 час). Регламентными работами первого вида будут 50-часовые регламентные работы, а старшего вида — 200-часовые. 200-часовые регламентные работы будут кратными 100- и 50-часовым регламентным работам. Или на летательном аппарате выполняются 100-, 200-, 400-, 600- и 1200-часовые регламентные работы. Регламентными работами первого вида будут 100-часовые, а старшего вида — 1200-часовые, которые будут кратными всем видам регламентных работ, выполняемых на этом летательном аппарате. 400-часовые регламентные работы будут кратными 100- и 200-часовым регламентным работам, а 600-часовые будут кратными только 100- и 200-часовым регламентным работам.
При выполнении регламентных работ всех видов старше первого выполняются также те младшие по видам регламентные работы, по отношению к которым старший является кратным.
1. Размер каждого требования иа выполнение регламентных работ трр является случайной величиной, среднее значение которой определяется как среднее значение времени, погребного для выполнения каждого вида регламентных работ (100-. 200-, 400-часовых и т. д.).
2. Параметр потока требований на выполнение регламентных работ >’ГР равен
і ш t — планируемое календарное время.
3. Среднее число регламентных работ гр. р/ кажд0го (кро — м» я-го) вида за планируемый календарный период і, при yeлрвии, что старшие регламентные работы кратны каждому виду регламентных работ, будет равно
t k t t
_ *пл, _ V ПЛ> „ __ пд1
t, /ті t,+,’ №< t, ’
а среднее число регламентных работ всех к видов за планируемый календарный период t получим из формулы
к
zp р ~ 2 2р • і=і
где tn,4— средний налет за планируемый календарный период t на каждый самолет; t — период наработки между регламентными работами /-го вида; tk — период наработки между регламентными работами k-то вида.
Среднее число регламентных работ всех к видов за планируемый календарный период / может быть рассчитано также по формуле
2 = >- t
«р р f’p р1•
4. Средняя интенсивность выполнения регламентных работ Ррр согласно формуле (2.3) будет равна
1 k
р = ~ » хр р = 2 ^ тр рі *
“р р ■ i=
где трр — средняя продолжительность выполнения регламентных работ всех видов; трр< — средняя продолжительность вы: полнеиия регламентных работ /-го вида.
Для решения многих задач планирования организации восстановления неисправной авиационной техники могут быть использованы решения диффереициально-разностиых уравнений, описывающих функционирование следующих систем массового обслуживания:
— системы с неограниченным источником требований и без ожидания обслуживания;
— системы с неограниченным источником требований и с ожиданием обслуживания;
—системы с ограниченным источником требований и с ожиданием обслуживания.
Рассмотрим эти решення.
Система с неограниченным источником требований и без ожидания обслуживания. Подготовки к полету самолетов авиационного подразделения (при полном комплекте технического состава подразделения) или устранение отказов бортовых систем силами технических экипажей будут примерами функционирования такой одиокаиальной системы массового обслуживания. Подготовки к полету самолетов авиационных подразделений, расположенных на одном аэродроме, также пример функционирования такой системы, но. уже многоканальной.
Анализ работы системы массового обслуживания обычно начинают с рассмотрения возможных состояний, в которых может находиться система. Система с неограниченным источником требований и без ожидания обслуживания в любой момент времени может обслуживать требования или быть свободной. Таким образом, система X будет иметь следующее множество состояний: хо — все каналы свободны, ни одно требование не обслуживается; Х — в систему поступило одно требование и происходит его обслуживание; а:,.—в систему. поступило к требований и все оии одновременно обслуживаются; хп— в систему поступило п требований и все они одновременно обслуживаются (все каналы системы функционируют) .
Определим вероятности указанных состояний системы PK{t) (*={), 1, 2, …, п) для любого момента времени t. Поскольку рассматриваемая система обслуживания будет находиться только в одном нз я+1 состояний, то для любого МО-
п
мента времени / очевидно равенство ^ PH(t) = 1-
О
Прежде чем приступить к составлению дифференциальных уравнений для всех вероятностей P*to найдём некоторые вероятности перехода из одного состояния системы в другое. Для этого разложим функцию £-аЛ/ в ряд:
nw I (*AtY МО3 . , ( V (адty
Полученное равенство с точностью до величии высшего порядка малости можно заменить следующими приближенными равенствами:
е~*А‘я? — аД/ и 1-<ГзЛ’^аД t.
Для нашего случая
<ГХА#«1 -ХД£; і ~<?-аА^иДг;
1 — ^ к р А £; g{—v-M)H^ j „ Кц Д£,
где X — интенсивность потока требований; р—интенсивность обслуживания каждым каналом; 1—ХД£— вероятность того, что за интервал времени в систему не поступит ни одного требования; рД£— вероятность того, что за интервал времени A £ будет в системе обслужено одно требование; Я р Л £ — вероятность того, что за интервал времени Л£ в системе будет обслужено к требований; I— к у. At —вероятность того, что за интервал времени А £ в системе ие будет обслужено к требований.
Составление дифференциальных уравнений для всех вероятностей начнем с Ро (*)- Для этого зафиксируем момент времени £ и найдем вероятность Ро(£-}-Л£) того, что в момент £-|-Д£ система будет находиться в состоянии хо (требований нет, все каналы обслуживания свободны). Нахождение системы массового обслуживания в состоянии хо может произойти при одном из двух условий: либо в момент £ система находилась в состоянии хо и за время Д£ система не перешла в состояние Хи так как ие поступило ни одного требования Р0(£) (1—ХД£), либо в момент £ система находилась в состоянии х и за время А £ она перешла в состояние хо, так как было обслужено одно требование Рі (£) р А £. Следуя теореме сложения вероятностей, имеем
P0(t + At)^P0(t)( — РМ> Ы.
В этом приближенном равенстве мы пренебрегаем возможностью перехода системы ИЗ СОСТОЯНИЯ Х<2 В состояние Хо, через хь за малый интервал времени Д £, как величиной высшего порядка малости по сравнению с вероятностями первого Р0(£) (1—ХД£) и второго Рі(£)рД£ сложных событий. Перенося Ро(£) в левую часть, деля иа Д£ и переходя к пределу при Д£~>0, когда приближенные равенства перейдут в точные, получаем дифференциальное уравнение для. Ро(£):
Следующей операцией будет определение вероятности Рк{1). Вероятность PK{t — f A £) того, что в момент £ + Д£ система будет в состоянии хк, вычисляется как вероятность суммы уже ие двух, а трех сложных событий.
1. В момент t система была в состоянии хк (обслуживалось к требований), а за время At система не перешла ни в состояние — ж*-*! (не поступило ни одного требования), ни в состояние Хк-1 (не выполнено ни одного обслуживания). Вероятность этого сложного события будет приблизительно равна
РД*)(1 — ХА/) (1 —к? At).
2. В момент t система находилась в состоянии х,;,,, но за время At было выполнено одно обслуживание и система перешла в состояние хк. Вероятность этого сложного события будет приблизительно равна
Рн-гі (t)(K+ 1)рД t.
3.В момент t система находилась в состоянии хк-и но за время At поступило одно требование и система перешла в состояние хн. Вероятность этого также сложного события будет приблизительно равна Рк-1 (£)ХА/.
Следовательно, вероятность Рк(t At) будет приблизительно равна
Рк (f + А *)» Я* 0) [ 1 — (X + * V-) At +
+ Рг+1 (0 (к + 1) Р д t + (/) X Д t.
Перенося PK{t) в левую часть, деля на At и переходя к пределу при Д£~*0, получаем дифференциальное уравнение для PK(t) (0 <к <п)
dPdf] = I Я,_, (0 — ()- + К I.) PK(t) + (к + 1) |1 Яд.,, (<).
Уравнение для Pn(t) составлено аналогичным путем, но нискольку Р„ (t) является вероятностью последнего из со — с гояний функционирования системы хп, то вероятность P„{t—At) того, что в момент t + At система останется в состоянии хп вычисляется как вероятность суммы двух сложных событий:
1. В момеш времени t система была в состоянии хп (об — ■ «уживалось п требований), а за время At не выполнено ни і мі ного обслуживания и поэтому система осталась в состоянии
хп. Вероятность этого сложного события приблизительно будет равна
Яп(0(1 — лі* АО-
2, В момент времени t система была в состоянии хп-і, но за время At поступило одно требование и система перешла в состояние хп. Вероятность этого сложного события будет приблизительно равна Pn~i{t))<At. Следовательно, Рп (t — Ь A t) Рп (іt){ 1 — п fi A t) — f Pn- (0 ^ A t, поступая так же, как при выводе уравнения для Рк (t), получаем
‘iiiW (t) — nvPAt).
Таким образом, получена следующая система дифференциальных уравнений для вероятностей Po(f), Pj(0» ••-» Рл(0-
dP0{t)
dt
dp$)-=>- Я-. <0 -(»•+* rt Я (Я + (К +1) Ям (%
ЩР = > Я. (і) ~ пг Р„(1).
Уравнения (4.2) называются уравнениями Эрланга. Интегрирование этой системы уравнений происходит при начальных условиях
Ро( 0) = 1; Л(0)«…-Рл(0)«0,
что соответствует случаю, когда система в начальный момент при t—0 свободна. Решение системы уравнений (4.2) при этих начальных условиях удовлетворяет нормировочному условию
і РАП = 1 (^0).
/:=0
Вероятности PK(t) характеризуют изменение средней загрузки системы обслуживания с течением времени. В частнос-
ти, характеризует полную загрузку, т. е, случай, когда все каналы обслуживания заняты. Таким образом, Р„ (t) есть вероятность того, что требование, пришедшее в момент /, застанет все каналы занятыми.
Задача интегрирования системы уравнений (4.2) связана с громоздкими вычислениями. Если «-канальную систему массового обслуживания рассматривать спустя некоторое время после включения ее в работу, когда переходный процесс затухает и переходит в стационарный, то вероятностные характеристики перестают зависеть от времени. Определить такое предельное решение гораздо проще, чем проинтегрировать систему (4.2).
В теории массового обслуживания доказано, что для пуассоновских систем с конечным числом состояний всегда существует стационарный режим работы и при t -+со все вероятности Ро(0, Р](0> •••» Рц (0 стремятся к постоянным пределам Р0, Pi, ■ — -, а все их производные к нулю.
Для определения предельных вероятностей Ро, Pi, …» Р„, в уравнениях (4.2) заменяют все вероятности Рк (t) (0 < к < п) их пределами Рк, а все производные полагают равными нулю и получают систему алгебраических уравнений
X Р*_| — (X + к р) Рн -}- {к — f — 1) р Рк+1 5=3 0 (0 < К < «);
X Рп -1 — р п Рп = 0.
п
Затем добавляют к системе (4.3) условие 2 Рк — 1 и реша-
«“0
ют эту систему совместно с этим условием относительно неизвестных Р0, Pi, …, Р„. После ряда преобразований вероятности указанных состояний системы для установившегося режима функционирования могут быть рассчитаны по следующей формуле:
Преобразуем выражение (4.4) к виду, удобному для вы* числений, С этой целью умножим числитель и знаменатель дроби (4.4) на величину е~а:
Для предельных состояний системы, когда все каналы свободны (Р0) или все каналы одновременно функционируют (Ря), формула (4.4) принимает вид
Для одноканальной системы (ft —1), подставляя в форму-
X
лы (4.4а) и (4.46) значение а — г-, получаем
Здесь Рк— вероятность одновременного функцио
нирования к каналов системы;
Р0 — вероятность того, что все каналы свободны;
Рп — вероятность того, что все каналы заняты;
X — интенсивность вхотящего потока требований;
«і — интенсивность обслуживания поступающих в систему требований;
а — —— среднее число требований, поступаю-
11 щих в систему за среднее время обслуживания одного требования в одном канале;^
>1> (к, a), W (к, а) — табличные функции пуассоновского распределения (табл. VI и VII [ТО)).
Система с неограниченным источником требований и с неограниченным ожиданием обслуживания. Примером таких систем могут служить мастерские или заводы для среднего или восстановительного ремонта авиационной техники.
Система с неограниченным источником требований и с неограниченным ожиданием в любой моМеит времени может находиться в одном из следующих состояний: х0— все каналы не функционируют и очереди требований на обслуживание пет; Х — один канал системы функционирует и очереди нет; хн ~к каналов системы функционируют и очереди нет; хп — псе Ъ каналов системы функционируют и очереди нет; х„+і — псе п каналов системы функционируют, одно требование стоит в очереди; хп+г—все п каналов системы функционируют, г требований стоят в очереди.
Для рассматриваемых систем установившийся режим существует при к <л, т. е. когда среднее число требований, поступающих в систему за время обслуживания одного требования одним каналом, меньше числа каналов системы. Для этого случая (а < д) вероятности указанных состояний системы и средние значения ее параметров в установившемся режиме ф>нкциоиирования рассчитываются по формулам (4.5) — (4.10).
Вероятность Ро того, что все каналы свободны, равна
Вероятность РА, того, что занято точно к каналов обслуживания, при условии, что общее число требований, находящихся на обслуживании, не превосходит числа обслуживающих каналов, равна
Вероятность Рп-гГ того, что в системе находится п + г требований, из иих п на обслуживании, а г(г > 0)в очереди, будет равна
„П-тГ
V-
Вероятность 7г того, что все каналы обслуживания заняты. Событие, когда заняты все каналы обслуживания, может быть тогда, когда в системе находятся я+1, «+2, п + г требований одновременно. Эти события независимы, поэтому вероятность того, что все каналы обслуживания заняты, может быть найдена как сумма вероятностей Рп+и — . —
Рп+г} Ря+ое, тогда
«О n-tr
2 2 <4-8>
к=«+1 кг=/г+1
Среднее — число требований, находящихся’в очереди, будет
Среднее время ожидания (исключая время обслуживания) равно
Система обслуживания с неограниченным источником требований и с ограничением по длине очереди. В ранее рассмотренных системах требование, поступившее в систему для обслуживания, могло ее покинуть тогда, когда обслуживание требования было полностью закончено (системы с неограниченным временем ожидания).
Кроме этих двух типов систем, интерес представляют и системы, имеющие дополнительные условия, которые и определяют, остается ли очередное требование в системе или нет.
В системах обслуживания с ограничением по длине очереди очередное требование остается в системе при условии, что число требований, ожидающих обслуживания, ие больше оп
ределенной величины т. Если число требований в очереди равно т, то требование, прибывшее последним (/я-И), в очередь не становится и покидает систему необслуженным. Так же как тля систем с неограниченным временем ожидания приведем только формулы для расчета вероятностей Я0, Р,., Р„+г, Рп-гт возможных состояний системы для ее стационарного состояния.
Вероятность Рн того, что занято точно к каналов (включая также состояние хо, когда все каналы свободны) при условии, что общее число требований, находящихся иа обслуживании, не превосходит числа обслуживающих каналов, будет равно
Вероятность Рп+г того, что в системе находится точно п+г требований, или, что то же самое, вероятность того, что в очереди стоит точно г требований, равна
(для КгС/я). (4.12)
Вероятность Рп+т того, что требование покинет систему необслуженным, так как — в очереди уже стоят т требований, будет
(4.13)
Системы с ограниченным источником требований и ожиданием обслуживания. К таким системам относятся системы, в которых число источников требований ограничено и интенсивность поступления требований зависит от состояний источников, обусловленных работой самой системы. Впервые эти і истомы были рассмотрены в работах Пальма и Такача. Примерами подобных систем могут служить группы обслужива
ния авиационных подразделений, ремонтирующие или подготавливающие к полету несколько самолетов, а также группы регламентных работ, выполняющие регламентные работы на самолетах в случайной последовательности (в случайные моменты календарного времени). В приведенных примерах самолеты являются источниками требований на обслуживание.
Таким образом, имеется N однотипных самолетов, каждый из которых будет через некоторые случайные интервалы календарного времени (или наработки) нуждаться в обслуживании (осмотры, устранение неисправностей, выполнение регламентных работ). Следует уточнить, что выполнение регламентных работ, замена двигателей после выработки технического ресурса происходят через случайные интервалы календарного времени, но через детерминированные интервалы наработки. Устранение отказов происходит через случайные интервалы наработки. Поток требований на обслуживание пуассоновский с интенсивностью X. Каждый самолет может обслуживаться одним из п каналов. Интенсивность обслуживания каждым каналом — р. Время обслуживания распределено по показательному закону. Если к моменту появлення требования все каналы будут заняты, то самолет будет ожидать обслуживания, как правило, в порядке очереди.
В этом случае состояния системы следует связать с числом самолетов, подлежащих обслуживанию (т. е. отказавших, поврежденных, выработавших межрегламентный ресурс и т. д): хк — к самолетов подлежат обслуживанию и находятся на обслуживании; хt=n+r — ^ самолетов подлежит обслуживанию, из них п обслуживается, а г ожидает очереди.
В соответствии с перечисленными состояниями уравнения стационарного режима работы системы будут иметь вид
Лар0 = рЯ1;
X |(Д/ — к) + к р] Рк = X {N — к + 1) /Vi — f (К + О Р
(л: = 1, 2, л — 1);
[(ЛГ-я)Х + ир]Ял=ОУ-и+ 1)X/V_| +пу. Рп-и;
((Л/ — п — г) X + /1р] Рп+Г — (М-я-г4-1)* Яя+г-1 +п? Рп+г+|
(г — 1, 2, -•*> й);
«pPv = ХЯдг-ь
число самолетов с выработанными межрегламентными ресурсами; scp —среднее число самолетов, находящихся на обслуживании; г — среднее число самолетов, ожидающих очереди обслуживания; К пр —коэффициент простоя самолетов (вероятность того, что самолет будет простаивать); £1КП —коэффициент использования самолетов (или вероятность того, что самолет будет с запасом межрегламентного ресурса); /ср— средний интервал между регламентными работами самолета; /Српр —среднее время простоя самолета; /СРоч —среднее вре-
Л
мя пребывания самолета в очереди; ос = — — среднее число
і
требований, поступающих в систему за среднее время обслуживания одного требования в одном канале;
л* 3і
і _R
— табличные функции пуассоновского распределения (определяются по таблицам накопленных сумм [10], табл. VI и VII);
р = ~ — среднее. число обслуженных требований всеми каналами системы за средний интервал времени между требованиями.
Для одноканальной системы (п=1) многие формулы значительно упрощаются;
°“WP)’
р‘ ^’ wdr u==0>1’2……………………………
‘с — N — 9 (1 — ft):
/Cep ■— S(p — 1 Bo.
Гер = /ер — Sep = /V — (3 + 1) (1 — P„);
-Яо);
, J____ ^cp
Cp, T u ‘ 1 — P~ ’
f. _ 1 »ер
г4сч ~ a ‘ 1 — PQ ■
В практике часто встречается обслуживание с полной взаимопомощью между каналами. Например, если требование застанет все п каналов свободными, то оно обслуживается всеми п каналами одновременно. Если вновь прибывшее требование застанет в системе одно требование, то оно принимается на обслуживание. В этом случае часть каналов продолжают обслуживать первое требование, а остальные каналы обслуживают вновь прибывшее требование. Если прибывшее новое требование застанет в системе два обслуживаемых требования, то все каналы распределяются по всём трем требованиям. Наконец, если вновь прибывшее требование застанет на обслуживании п требований, то оно становится в очередь. Таким образом, сколько бы не было требований на обслуживание все п каналов участвуют в обслуживании произвольно перераспределяясь между требованиями. В этом суть обслуживания с полной взаимопомощью между каналами.
Вероятности |
состояний системы определяются по |
форму- |
лам |
_____ ‘ S < & -> II CL |
(4.31) |
k 0, 1, 2, |
т |
|
n 0|/V~(« + r),P| l~n’Vr ~ У (N> р) |
(4.32) |
|
г — 0, 1. 2, …, |
N ~ п; |
|
^нсп ” 0 Р0) ■ |
(4.33) |
|
Средние значения параметров системы определяются но |
||
формулам |
/ср = /V — Р(1 Р„); |
(4.34) |
, 1 Ср"Р “ «и 1-Р0* |
(4.35) |