Параметры потоков требований на восстановление готовности самолетов к полету и среднее время обслуживания (размеры требований)

Поток требований на подготовку к полету. 1. Каждый летный день можно рассматривать как требование на случай­ные затраты рабочего времени, потребные для проведения предварительной, предполетной, послеполетной подготовок и подготовки к последующим вылетам в летиый день. Случай­ный характер размера каждого требования на подготовку к и (следующим полетам обусловлен случайным числом само — іиов, участвующих в летном дне и случайным временем, по — іцсбиьім для выявления и устранения отказов. Это время яв — чім-тся частью времени, потребного на проведение предвари — іГ’іміои н послеполетной подготовок. Размер среднего требо­вании (в часах работы) который несет каждый летный •и ш., можно вычислить по формуле

-Л д — ki т, 4- т2 — ф т3 -f — (к> — І) т4 — Г (4.1)

і и /.| — коэффициент, учитывающий среднее число предвари — П.’П. ПЫХ подготовок в году. Учет делается в связи с тем, что

число предварительных подготовок в году, как правило, не равно числу летиых дней в году; — число вылетов группы самолетов в летный день с учетом числа подготовок к по вторному (последующему) вылету за летный день; — сред­нее время предварительной подготовки; Ч— среднее время предполетной подготовки; ч— среднее время послеполетноп подготовки; ч—среднее время подготовки к последующим (повторным) полетам; т5 — среднее время выполнения работ, не связанных непосредственно с обслуживанием авиационной техники.

2. Параметр потока требований на подготовку к полету?-лд получим из формулы

} _ Злз

3 Среднее число летных дней 2Лд, за планируемый ка­лендарный период t, равно

Ср

obN ‘

где Ср — суммарный налет группы самолетов за плаиируе мый календарный период /; а — средняя продолжительность полета самолета; в — среднее число вылетов группы самолетов за лет­ный день;

N — число самолетов в группе.

Если планируемый период равен одному году, то /=8760 час. Тогда

*лд«*Лд8760.

4. Интенсивность обслуживания рлд в канале подготовок к полету.

1

’■л д

где хЛА — средняя продолжительность подготовки к полету, полученная из опыта технического обслуживания самолетов.

Поток требований иа выполнение регламентных работ. Ус­ловимся все регламентные работы, выполняемые на самолете подразделять по видай:

— первый вид — это регламентные работы, выполняемые через наименьший интервал наработки нз числа интервалов

между регламентными работами всех видов;

— второй вид — это регламентные работы, выполняемые через интервал больший (часто кратный) интервала между регламентными работами первого вида;

— третий вид — это регламентные работы, выполняемые через интервал больший (часто кратный) интервала между регламентными работами второго вида;

— старший я-й вид — это регламентные работы, выпол­няемые через наибольший интервал наработки из числа ин­тервалов между регламентными работами всех видов.

Напрймер, на летательном аппарате выполняются 50-, 100- и 200-часовые регламентные работы (т. е. через интервалы наработки в 50, 100 и 200 час). Регламентными работами пер­вого вида будут 50-часовые регламентные работы, а старшего вида — 200-часовые. 200-часовые регламентные работы будут кратными 100- и 50-часовым регламентным работам. Или на летательном аппарате выполняются 100-, 200-, 400-, 600- и 1200-часовые регламентные работы. Регламентными работами первого вида будут 100-часовые, а старшего вида — 1200-ча­совые, которые будут кратными всем видам регламентных ра­бот, выполняемых на этом летательном аппарате. 400-часовые регламентные работы будут кратными 100- и 200-часовым рег­ламентным работам, а 600-часовые будут кратными только 100- и 200-часовым регламентным работам.

При выполнении регламентных работ всех видов старше первого выполняются также те младшие по видам регламент­ные работы, по отношению к которым старший является крат­ным.

1. Размер каждого требования иа выполнение регламент­ных работ трр является случайной величиной, среднее значе­ние которой определяется как среднее значение времени, по­гребного для выполнения каждого вида регламентных работ (100-. 200-, 400-часовых и т. д.).

2. Параметр потока требований на выполнение регламент­ных работ >’ГР равен

і ш t — планируемое календарное время.

3. Среднее число регламентных работ гр. р/ кажд0го (кро — м» я-го) вида за планируемый календарный период і, при ye­лрвии, что старшие регламентные работы кратны каждому виду регламентных работ, будет равно

t k t t

_ *пл, _ V ПЛ> „ __ пд1

t, /ті t,+,’ №< t, ’

а среднее число регламентных работ всех к видов за плани­руемый календарный период t получим из формулы

к

zp р ~ 2 2р • і=і

где tn,4— средний налет за планируемый календарный пе­риод t на каждый самолет; t — период наработки между ре­гламентными работами /-го вида; tk — период наработки между регламентными работами k-то вида.

Среднее число регламентных работ всех к видов за плани­руемый календарный период / может быть рассчитано также по формуле

2 = >- t

«р р f’p р1•

4. Средняя интенсивность выполнения регламентных работ Ррр согласно формуле (2.3) будет равна

1 k

р = ~ » хр р = 2 ^ тр рі *

“р р ■ i=

где трр — средняя продолжительность выполнения регламент­ных работ всех видов; трр< — средняя продолжительность вы: полнеиия регламентных работ /-го вида.

Для решения многих задач планирования организации восстановления неисправной авиационной техники могут быть использованы решения диффереициально-разностиых уравне­ний, описывающих функционирование следующих систем мас­сового обслуживания:

— системы с неограниченным источником требований и без ожидания обслуживания;

— системы с неограниченным источником требований и с ожиданием обслуживания;

—системы с ограниченным источником требований и с ожиданием обслуживания.

Рассмотрим эти решення.

Система с неограниченным источником требований и без ожидания обслуживания. Подготовки к полету самолетов авиационного подразделения (при полном комплекте техниче­ского состава подразделения) или устранение отказов борто­вых систем силами технических экипажей будут примерами функционирования такой одиокаиальной системы массового обслуживания. Подготовки к полету самолетов авиационных подразделений, расположенных на одном аэродроме, также пример функционирования такой системы, но. уже многока­нальной.

Анализ работы системы массового обслуживания обычно начинают с рассмотрения возможных состояний, в которых может находиться система. Система с неограниченным источ­ником требований и без ожидания обслуживания в любой мо­мент времени может обслуживать требования или быть сво­бодной. Таким образом, система X будет иметь следующее множество состояний: хо — все каналы свободны, ни одно тре­бование не обслуживается; Х — в систему поступило одно требование и происходит его обслуживание; а:,.—в систему. поступило к требований и все оии одновременно обслужива­ются; хп— в систему поступило п требований и все они одно­временно обслуживаются (все каналы системы функциони­руют) .

Определим вероятности указанных состояний системы PK{t) (*={), 1, 2, …, п) для любого момента времени t. По­скольку рассматриваемая система обслуживания будет нахо­диться только в одном нз я+1 состояний, то для любого МО-

п

мента времени / очевидно равенство ^ PH(t) = 1-

О

Прежде чем приступить к составлению дифференциальных уравнений для всех вероятностей P*to найдём некоторые вероятности перехода из одного состояния системы в другое. Для этого разложим функцию £-аЛ/ в ряд:

nw I (*AtY МО3 . , ( V (адty

Полученное равенство с точностью до величии высшего порядка малости можно заменить следующими приближен­ными равенствами:

е~*А‘я? — аД/ и 1-<ГзЛ’^аД t.

Для нашего случая

<ГХА#«1 -ХД£; і ~<?-аА^иДг;

1 — ^ к р А £; g{—v-M)H^ j „ Кц Д£,

где X — интенсивность потока требований; р—интенсивность обслуживания каждым каналом; 1—ХД£— вероятность того, что за интервал времени в систему не поступит ни одного требования; рД£— вероятность того, что за интервал време­ни A £ будет в системе обслужено одно требование; Я р Л £ — вероятность того, что за интервал времени Л£ в системе бу­дет обслужено к требований; I— к у. At —вероятность того, что за интервал времени А £ в системе ие будет обслужено к требований.

Составление дифференциальных уравнений для всех веро­ятностей начнем с Ро (*)- Для этого зафиксируем момент вре­мени £ и найдем вероятность Ро(£-}-Л£) того, что в момент £-|-Д£ система будет находиться в состоянии хо (требований нет, все каналы обслуживания свободны). Нахождение систе­мы массового обслуживания в состоянии хо может произойти при одном из двух условий: либо в момент £ система находи­лась в состоянии хо и за время Д£ система не перешла в со­стояние Хи так как ие поступило ни одного требования Р0(£) (1—ХД£), либо в момент £ система находилась в состоя­нии х и за время А £ она перешла в состояние хо, так как было обслужено одно требование Рі (£) р А £. Следуя теореме сложения вероятностей, имеем

P0(t + At)^P0(t)( — РМ> Ы.

В этом приближенном равенстве мы пренебрегаем возмож­ностью перехода системы ИЗ СОСТОЯНИЯ Х<2 В состояние Хо, че­рез хь за малый интервал времени Д £, как величиной высше­го порядка малости по сравнению с вероятностями первого Р0(£) (1—ХД£) и второго Рі(£)рД£ сложных событий. Пере­нося Ро(£) в левую часть, деля иа Д£ и переходя к пределу при Д£~>0, когда приближенные равенства перейдут в точ­ные, получаем дифференциальное уравнение для. Ро(£):

Следующей операцией будет определение вероятности Рк{1). Вероятность PK{t — f A £) того, что в момент £ + Д£ си­стема будет в состоянии хк, вычисляется как вероятность суммы уже ие двух, а трех сложных событий.

1. В момент t система была в состоянии хк (обслужива­лось к требований), а за время At система не перешла ни в состояние — ж*-*! (не поступило ни одного требования), ни в состояние Хк-1 (не выполнено ни одного обслуживания). Ве­роятность этого сложного события будет приблизительно равна

РД*)(1 — ХА/) (1 —к? At).

2. В момент t система находилась в состоянии х,;,,, но за время At было выполнено одно обслуживание и система пе­решла в состояние хк. Вероятность этого сложного события будет приблизительно равна

Рн-гі (t)(K+ 1)рД t.

3.В момент t система находилась в состоянии хк-и но за время At поступило одно требование и система перешла в состояние хн. Вероятность этого также сложного события бу­дет приблизительно равна Рк-1 (£)ХА/.

Следовательно, вероятность Рк(t At) будет приблизи­тельно равна

Рк (f + А *)» Я* 0) [ 1 — (X + * V-) At +

+ Рг+1 (0 (к + 1) Р д t + (/) X Д t.

Перенося PK{t) в левую часть, деля на At и переходя к пределу при Д£~*0, получаем дифференциальное уравнение для PK(t) (0 <к <п)

dPdf] = I Я,_, (0 — ()- + К I.) PK(t) + (к + 1) |1 Яд.,, (<).

Уравнение для Pn(t) составлено аналогичным путем, но нискольку Р„ (t) является вероятностью последнего из со — с гояний функционирования системы хп, то вероятность P„{t—At) того, что в момент t + At система останется в состоянии хп вычисляется как вероятность суммы двух слож­ных событий:

1. В момеш времени t система была в состоянии хп (об — ■ «уживалось п требований), а за время At не выполнено ни і мі ного обслуживания и поэтому система осталась в состоянии
хп. Вероятность этого сложного события приблизительно бу­дет равна

Яп(0(1 — лі* АО-

2, В момент времени t система была в состоянии хп-і, но за время At поступило одно требование и система пере­шла в состояние хп. Вероятность этого сложного события бу­дет приблизительно равна Pn~i{t))<At. Следовательно, Рп (t — Ь A t) Рп (іt){ 1 — п fi A t) — f Pn- (0 ^ A t, поступая так же, как при выводе уравнения для Рк (t), получаем

iiiW (t) — nvPAt).

Таким образом, получена следующая система дифферен­циальных уравнений для вероятностей Po(f), Pj(0» ••-» Рл(0-

dP0{t)

dt

dp$)-=>- Я-. <0 -(»•+* rt Я (Я + (К +1) Ям (%

ЩР = > Я. (і) ~ пг Р„(1).

Уравнения (4.2) называются уравнениями Эрланга. Инте­грирование этой системы уравнений происходит при началь­ных условиях

Ро( 0) = 1; Л(0)«…-Рл(0)«0,

что соответствует случаю, когда система в начальный момент при t—0 свободна. Решение системы уравнений (4.2) при этих начальных условиях удовлетворяет нормировочному условию

і РАП = 1 (^0).

/:=0

Вероятности PK(t) характеризуют изменение средней за­грузки системы обслуживания с течением времени. В частнос-
ти, характеризует полную загрузку, т. е, случай, когда все ка­налы обслуживания заняты. Таким образом, Р„ (t) есть ве­роятность того, что требование, пришедшее в момент /, заста­нет все каналы занятыми.

Задача интегрирования системы уравнений (4.2) связана с громоздкими вычислениями. Если «-канальную систему мас­сового обслуживания рассматривать спустя некоторое время после включения ее в работу, когда переходный процесс зату­хает и переходит в стационарный, то вероятностные характе­ристики перестают зависеть от времени. Определить такое предельное решение гораздо проще, чем проинтегрировать си­стему (4.2).

В теории массового обслуживания доказано, что для пуас­соновских систем с конечным числом состояний всегда сущест­вует стационарный режим работы и при t -+со все вероятнос­ти Ро(0, Р](0> •••» Рц (0 стремятся к постоянным пределам Р0, Pi, ■ — -, а все их производные к нулю.

Для определения предельных вероятностей Ро, Pi, …» Р„, в уравнениях (4.2) заменяют все вероятности Рк (t) (0 < к < п) их пределами Рк, а все производные полагают равными нулю и получают систему алгебраических уравнений

X Р*_| — (X + к р) Рн -}- {к — f — 1) р Рк+1 5=3 0 (0 < К < «);

X Рп -1 — р п Рп = 0.

п

Затем добавляют к системе (4.3) условие 2 Рк — 1 и реша-

«“0

ют эту систему совместно с этим условием относительно неизвестных Р0, Pi, …, Р„. После ряда преобразований ве­роятности указанных состояний системы для установившегося режима функционирования могут быть рассчитаны по следу­ющей формуле:

Преобразуем выражение (4.4) к виду, удобному для вы* числений, С этой целью умножим числитель и знаменатель дроби (4.4) на величину е~а:

Для предельных состояний системы, когда все каналы сво­бодны (Р0) или все каналы одновременно функционируют (Ря), формула (4.4) принимает вид

Для одноканальной системы (ft —1), подставляя в форму-

X

лы (4.4а) и (4.46) значение а — г-, получаем

Здесь Рк— вероятность одновременного функцио­

нирования к каналов системы;

Р0 — вероятность того, что все каналы сво­бодны;

Рп — вероятность того, что все каналы заняты;

X — интенсивность вхотящего потока тре­бований;

«і — интенсивность обслуживания посту­пающих в систему требований;

а — —— среднее число требований, поступаю-

11 щих в систему за среднее время об­служивания одного требования в од­ном канале;^

>1> (к, a), W (к, а) — табличные функции пуассоновского распределения (табл. VI и VII [ТО)).

Система с неограниченным источником требований и с не­ограниченным ожиданием обслуживания. Примером таких си­стем могут служить мастерские или заводы для среднего или восстановительного ремонта авиационной техники.

Система с неограниченным источником требований и с не­ограниченным ожиданием в любой моМеит времени может находиться в одном из следующих состояний: х0— все каналы не функционируют и очереди требований на обслуживание пет; Х — один канал системы функционирует и очереди нет; хн ~к каналов системы функционируют и очереди нет; хп — псе Ъ каналов системы функционируют и очереди нет; х„+і — псе п каналов системы функционируют, одно требование стоит в очереди; хп+г—все п каналов системы функционируют, г требований стоят в очереди.

Для рассматриваемых систем установившийся режим су­ществует при к <л, т. е. когда среднее число требований, по­ступающих в систему за время обслуживания одного требова­ния одним каналом, меньше числа каналов системы. Для этого случая (а < д) вероятности указанных состояний системы и средние значения ее параметров в установившемся режиме ф>нкциоиирования рассчитываются по формулам (4.5) — (4.10).

Вероятность Ро того, что все каналы свободны, равна

Вероятность РА, того, что занято точно к каналов обслу­живания, при условии, что общее число требований, находя­щихся на обслуживании, не превосходит числа обслуживаю­щих каналов, равна

Вероятность Рп-гГ того, что в системе находится п + г тре­бований, из иих п на обслуживании, а г(г > 0)в очереди, бу­дет равна

„П-тГ

V-

Вероятность 7г того, что все каналы обслуживания заняты. Событие, когда заняты все каналы обслуживания, может быть тогда, когда в системе находятся я+1, «+2, п + г требований одновременно. Эти события независимы, поэтому вероятность того, что все каналы обслуживания заняты, мо­жет быть найдена как сумма вероятностей Рп+и — . —

Рп+г} Ря+ое, тогда

«О n-tr

2 2 <4-8>

к=«+1 кг=/г+1

Среднее — число требований, находящихся’в очереди, будет

Среднее время ожидания (исключая время обслуживания) равно

(4.Ю)

Система обслуживания с неограниченным источником тре­бований и с ограничением по длине очереди. В ранее рас­смотренных системах требование, поступившее в систему для обслуживания, могло ее покинуть тогда, когда обслуживание требования было полностью закончено (системы с неограни­ченным временем ожидания).

Кроме этих двух типов систем, интерес представляют и си­стемы, имеющие дополнительные условия, которые и опреде­ляют, остается ли очередное требование в системе или нет.

В системах обслуживания с ограничением по длине очере­ди очередное требование остается в системе при условии, что число требований, ожидающих обслуживания, ие больше оп­
ределенной величины т. Если число требований в очереди рав­но т, то требование, прибывшее последним (/я-И), в очередь не становится и покидает систему необслуженным. Так же как тля систем с неограниченным временем ожидания приве­дем только формулы для расчета вероятностей Я0, Р,., Р„+г, Рп-гт возможных состояний системы для ее стационарного состояния.

Вероятность Рн того, что занято точно к каналов (вклю­чая также состояние хо, когда все каналы свободны) при ус­ловии, что общее число требований, находящихся иа обслу­живании, не превосходит числа обслуживающих каналов, будет равно

Вероятность Рп+г того, что в системе находится точно п+г требований, или, что то же самое, вероятность того, что в очереди стоит точно г требований, равна

(для КгС/я). (4.12)

Вероятность Рп+т того, что требование покинет систему необслуженным, так как — в очереди уже стоят т требова­ний, будет

(4.13)

Системы с ограниченным источником требований и ожида­нием обслуживания. К таким системам относятся системы, в которых число источников требований ограничено и интен­сивность поступления требований зависит от состояний источ­ников, обусловленных работой самой системы. Впервые эти і истомы были рассмотрены в работах Пальма и Такача. При­мерами подобных систем могут служить группы обслужива­
ния авиационных подразделений, ремонтирующие или подго­тавливающие к полету несколько самолетов, а также группы регламентных работ, выполняющие регламентные работы на самолетах в случайной последовательности (в случайные мо­менты календарного времени). В приведенных примерах са­молеты являются источниками требований на обслуживание.

Таким образом, имеется N однотипных самолетов, каждый из которых будет через некоторые случайные интервалы ка­лендарного времени (или наработки) нуждаться в обслужива­нии (осмотры, устранение неисправностей, выполнение регла­ментных работ). Следует уточнить, что выполнение регла­ментных работ, замена двигателей после выработки техниче­ского ресурса происходят через случайные интервалы кален­дарного времени, но через детерминированные интервалы на­работки. Устранение отказов происходит через случайные ин­тервалы наработки. Поток требований на обслуживание пуассоновский с интенсивностью X. Каждый самолет может обслуживаться одним из п каналов. Интенсивность обслужи­вания каждым каналом — р. Время обслуживания распреде­лено по показательному закону. Если к моменту появлення требования все каналы будут заняты, то самолет будет ожи­дать обслуживания, как правило, в порядке очереди.

В этом случае состояния системы следует связать с чис­лом самолетов, подлежащих обслуживанию (т. е. отказавших, поврежденных, выработавших межрегламентный ресурс и т. д): хк — к самолетов подлежат обслуживанию и находятся на обслуживании; хt=n+r — ^ самолетов подлежит обслужива­нию, из них п обслуживается, а г ожидает очереди.

В соответствии с перечисленными состояниями уравнения стационарного режима работы системы будут иметь вид

Лар0 = рЯ1;

X |(Д/ — к) + к р] Рк = X {N — к + 1) /Vi — f (К + О Р

(л: = 1, 2, л — 1);

[(ЛГ-я)Х + ир]Ял=ОУ-и+ 1)X/V_| +пу. Рп-и;

((Л/ — п — г) X + /1р] Рп+Г — (М-я-г4-1)* Яя+г-1 +п? Рп+г+|

(г — 1, 2, -•*> й);

«pPv = ХЯдг-ь

число самолетов с выработанными межрегламентными ресур­сами; scp —среднее число самолетов, находящихся на обслу­живании; г — среднее число самолетов, ожидающих очереди обслуживания; К пр —коэффициент простоя самолетов (веро­ятность того, что самолет будет простаивать); £1КП —коэф­фициент использования самолетов (или вероятность того, что самолет будет с запасом межрегламентного ресурса); /ср— средний интервал между регламентными работами самолета; /Српр —среднее время простоя самолета; /СРоч —среднее вре-

Л

мя пребывания самолета в очереди; ос = — — среднее число

і

требований, поступающих в систему за среднее время обслу­живания одного требования в одном канале;

л* 3і

і _R

— табличные функции пуассоновского распределения (опре­деляются по таблицам накопленных сумм [10], табл. VI и VII);

р = ~ — среднее. число обслуженных требований всеми кана­лами системы за средний интервал времени между требова­ниями.

Для одноканальной системы (п=1) многие формулы зна­чительно упрощаются;

»(Л, р) ,

°“WP)’

р‘ ^’ wdr u==0>1’2……………………………

‘с — N — 9 (1 — ft):

/Cep ■— S(p — 1 Bo.

Гер = /ер — Sep = /V — (3 + 1) (1 — P„);

-Яо);

, J____ ^cp

Cp, T u ‘ 1 — P~ ’

f. _ 1 »ер

г4сч ~ a ‘ 1 — PQ ■

В практике часто встречается обслуживание с полной вза­имопомощью между каналами. Например, если требование застанет все п каналов свободными, то оно обслуживается всеми п каналами одновременно. Если вновь прибывшее тре­бование застанет в системе одно требование, то оно прини­мается на обслуживание. В этом случае часть каналов про­должают обслуживать первое требование, а остальные кана­лы обслуживают вновь прибывшее требование. Если прибыв­шее новое требование застанет в системе два обслуживаемых требования, то все каналы распределяются по всём трем тре­бованиям. Наконец, если вновь прибывшее требование заста­нет на обслуживании п требований, то оно становится в оче­редь. Таким образом, сколько бы не было требований на об­служивание все п каналов участвуют в обслуживании произ­вольно перераспределяясь между требованиями. В этом суть обслуживания с полной взаимопомощью между каналами.

Вероятности

состояний системы определяются по

форму-

лам

_____

‘ S

< &

->

II

CL

(4.31)

k 0, 1, 2,

т

n 0|/V~(« + r),P| l~n’Vr ~ У (N> р)

(4.32)

г — 0, 1. 2, …,

N ~ п;

^нсп ” 0 Р0) ■

(4.33)

Средние значения параметров системы определяются но

формулам

/ср = /V — Р(1 Р„);

(4.34)

, 1

Ср"Р “ «и 1-Р0*

(4.35)