Потоки обслуженных требований (процессы восстановления)

В процессе обеспечения надежности авиационной техники возникают задачи, решение которых требует специального ис­следования потоков обслуженных требований, так называе­мых выходных потоков. К числу таких задач следует отнести: — определение интервалов эксплуатации бортовых систем, в пределах которых появление п отказов однотипных элемен­тов является событием практически невозможным:

Рис. 4.4. Престой процесс восстановления; ‘< — момент отказа-восстановления

— определение необходимого числа запасных элементов для обеспечения летной работы строевой части на заданный период;

— определение числа восстановлений работоспособности какого-либо элемента бортовой системы в заданный период;

— определение директивного времени восстановления ра­ботоспособности элементов и систем в целом.

Выходные потоки с ограниченным последействием, у кото рых интервалы между требованиями являются независимы­ми одинаково распределенными случайными величинами с одной и той же плотностью распределения, называются прос­тыми процессами восстановления (рис. 4.4). Следуя этому оп­ределению, потоки внезапных отказов элементов и последую­щие за ними устранения отказов (восстановлений) образую! простые процессы восстановления, так как интервалы времени
между внезапными отказами распределены по одному и тому же закону. Примером простого процесса восстановления явля­ется поток первых отказов однотипных элементов (систем) ле­гате л ьных аппаратов. В таком потоке, как известно, интерва­лы времени между отказами распределены по показательно­му закону.

В условиях эксплуатации авиационной техники распрост­ранен случай, когда элемент, используемый в момент /=0, (см. рис. 4.4) не является новым (например, участок II на рис. 3.9) и понятие простого процесса восстановления может быть обобщено до так называемого общего процесса восста­новления.

Общим процессом восстановления называется такой про­цесс, когда выполнены все условия для простого процесса за исключением того, что длительность эксплуатации t от нача­ла t0 — 0 (см. рис. 4.4) до первого отказа t=t имеет распреде­ление, отличное от распределения для всех других интерва­лов безотказной работы. Общий процесс восстановления мо­жет быть записан в следующем виде. Пусть отказы происхо­дят в моменты времени ti, t +6, ^І-Мг-Мз» ■ ■ ■ , еде tlt 4, ••• ЯВ­ЛЯЮТСЯ независимыми неотрицательными непрерывными слу­чайными величинами, 1 имеет плотность распределения /(/]), и t2, 4, — • О все имеют одну и ту же плотность распределе­ния /(/). Примером общего процесса восстановления является поток внезапных отказов-восстановлений какого-либо элемен­та (бортовой системы). В таком потоке интервалы времени до первых отказов распределены по показательному закону, а интервалы между 1-м и і-{-1-м отказами (г=1, 2, …, п) рас­пределены по произвольному закону (отличному от показа — юльного).

Рассмотрим теперь некоторые случайные величины пуассо­новских процессов восстановления с интенсивностью о>, кото­рые могут быть полезными для решения перечисленных задач.

1. Длительность до п~го отказа-восстановления

Ln — 2 4 — t 4* — f — … + tn.

І =-1

Для простого процесса восстановления плотность распре­деления случайной величины Ln равна

и является специальным распределением Эрланга порядка п.

Функция распределения длительности работы устройства до п отказа-восстановления Fn (t) есть вероятность события Ln^t. Для определения значения Fn(t) рассмотрим любой ординарный поток случайных событий (в нашем случае число отказов-восстановлений п). Для такого потока несовмест- ьых, образующих полную группу событий справедливы ща равенства:

»«0

Т„ (<) = ( Fn-і « — т)У (?) dт ~ ґ„_, (s) /(s) > 1 — „ (0 — f, (()■

Таким образом, вероятность появления за время t п-крат­ных отказов Fn (/) будет равна

0,(4 = 1~2ііг<г"’

/-0 11

2. Число отказов-восстановлений Nt за время t. Чтобы определить число — Л^, воспользуемся соотношением между дискретной случайной величиной Nf и непрерывной случай­ной величиной L, v Из рис. 4.5 видно, что /V, < п тогда, когда Ln > t. Следовательно, согласно формуле (4.37)

P(Nt < п) = P(L„ >0=1 — FM — 2 ; (4.38)

Р (Nt > п) ~ 1-P(/V,<«) = 2 . (4.38.1)

р (Nt = п) = Fn (t) — Fn+1 (0- (4.39)

Для /г(ї) = 1—е процесс восстановления будет образовы­

вать пуассоновский поток со следующими характеристиками:

/=0

P(W,>«) = I;

І—7?

pw = «і = f„ (/) — F„+, (0 — 2(-^- il nf — e~"’;

/=я і=л+1 ■

ИЛИ

P(N, = «) => F. it)F, m, <*) — «’

P(/V, = 0) = P(£) = .

Таким образом, распределение случайных величин Ln и /V, может быть определено для всех значений п. Для этого используют и таблицы распределения Пуассона, и таблицы и скопленных-сумм распределения Пуассона, которые приво­дятся в табл. VI и VII [10]. Особенно равенство (4.39) очень удобно для расчета распределения величин Nt и Ln при ма­лых значениях п. Кроме того, распределение Пуассона дает верхнюю оценку вероятности появления не менее п отказов в интервале [0, /], когда t не превышает среднего времени без — и і казной работы отдельного элемента. Следовательно, нера­венство-равенство

P(N, > п) < 2 -0р~ е~"Л (4.39 а)

i—n

можно использовать для расчета Р (/V* > п) процесса восста­новления,. отличного от пуассоновского.

Расчеты вероятностей Р (P’t ^ Р ^ п)> Р (£« < /), P(LH > t) производят по табл. VII [10]. В этих таблицах при­ведены значения функций [3]V (*’■> Iі)» гЛе

‘Г(л:Р) = я{х>л5=|;-^-е ’~~рх

X — Nt или X^*L,

(4.39 б)

Р{Х<х) = W (х; р) — Р W < л) = P{Ln > І);

Р {X > х) * ¥ (*; рХ= I — ф (*; у) = р (N, > п) = Р (/.„ < f).

Пусть, например, нам нужно определить наименьшее число отказов щ, которые с вероятностью, не меньшей Р, могут по­явиться за время эксплуатации элементов t. Также нужно определить наименьшее время эксплуатации, за которое мо­гут появиться п отказов. Интенсивность отказов данных эле­ментов равна <о. Таким образом, значение п определяем из условия

P{Nt > пi) > Р или Р(А/Г/ < пл) < 1 — Р. (4.39 в)

Затем по известным значения Р и u — ast в табл. VII [10] на­ходим соответствующее этим значениям значение п.

3. Особо важное значение при изучении процесса восста­новления играет функция восстановления или среднее значе­ние числа отказов-восстановлений Nt% происшедших за ин­тервал времени функционирования устройства (0, t). Функ­ция восстановления H(t), определяемая как Л1 (Nt) — N(cp,

может быть рассчитана по формуле математического ожида­ния дискретной случайной величины

Hit) = М(ЛУ = 2 « [рп(0 — Fn+л «>1 = 2 nF„(t) —

ИЛИ

H(t) = 2 Fn(t).

п=А

Математическое ожидание числа отказов-восстановлений в интервале можно также представить в виде интегрального уравнения теории восстановления

t

И (/) — Р(0 + j И {t-rx)d F(т). (4.40)

о

Уравнение (4.40) получено непосредственно из формулы полного условного математического ожидания, так как пер­вый член суммы в уравнении (4.40) F{t) есть математическое

t

ожидание числа первых отказов, а второй член j* И (t

о

i) dF (т) есть математическое ожидание числа всех 2-, 3-,

п-кратных отказов за период 0, t при условии, что после каждого отказа элементы мгновенно восстанавливаются.

Для случая показательного распределения интервалов меж — цу отказами и мгновенного устранения отказов

H(t) = ix>t:

Л(0 = Я'(0 = <о.

Для случая показательного распределения интервалов меж­ду отказами и показательного распределения времени устра­нения отказов (ремонта или замены отказавших элементов) функция восстановления принимает вид

Распределение Ln и Nt. Если распределение интервалов между отказами элементов имеет среднее tcp и дисперсию о-, то из центральной предельной теоремы, в частности, следует, что суммы независимых случайных величин Ln и Nh рас­пределенные по любому закону, при t со (а следовательно, и п -*■ со) имеют асимптотически нормальное распределение. Средние значения и средние квадратические отклонения вели­чин /.„ и N, будут соответственно равны

Для показательного распределния интервалов между от­казами величины Ln и Nt при t-+ со будут иметь асимпто­тически нормальное распределение со средними значениями и средними квадратическими отклонениями, рассчитанными по формулам (4.42) и (4.43)

L -2L	(4.44)
Ч1 U)
.. — J£.	(4.45)
Ш
Nt — w /, rcp >	(4.46)
3 .. *=* у o> t. A,	(4.47)

Таким образом, расчет вероятностей Р(Д^ > nx), P[Nt> > п2), Р(Д2<£,) и P{Ln<tz) для показательного распре­деления интервалов времени между отказами при t~* со (рис. 4.7) может быть произведен по формулам

1 — Р (N, > щ) < 0,5 — Ф„ ; (4.48)

1 -P(Nt>п,) > 0,5 + Фо ; (4-49)

где Пи п2 и *ь t2 разброс случайных величин А7/ и Ln отно­сительно их средних значений, вычисленный в интервале экс­плуатации t с заданной достоверностью Р.

-1fo)t +lltoT.

nf —— *

яср

а)

со со

hi Т/2

1ср~ со

tg ~

5;

Рис. 4.6. К определению «ь «. II С„ »

Значения функции Ф„ f/г) и Ф«(/) приведены » справоч­никах по вероятностным расчетам [10].

Используя формулы (4.48) — (4.51), можно решать сле­дующие задачи:

1. Определять наименьшее п и наибольшее п2 число отка­ти за интересующий нас интервал эксплуатации / (рис. 4.6, а).

2. Определять наименьший /і и наибольший /2 интервалы Ичсплуатации, в которых появляется заданное число отка­ти п (рис. 4.6,6).

Для определения вероятностей Д(Л/< >п1),

Р(/>и < П|) и Р(Ел<яа) по формулам (4.48), (4.49), (4 ои), (4.51) находят критические отношения

/і — tot	(4.52)
1HTt ’
<-i
to	(4.53)
m

Затем по таблицам значений функций Фь(я) и Фо(0 0ПР^’ деляют вероятности событий Nt > «і, и ^ и.

Ln < t2. Если критическое отношение s меньше нуля, то в формулах (4.48), (4.49), (4.50) и (4.51) перед Фо(«) и фо(<) берется знак «—», а если больше нуля, — знак «+»■

Основные свойства функции восстановления fi{t) при t-*■ оо. 1. Для любого закона распределения F(t) при t -> оо среднее число отказов H(t), приходящихся на единицу време­ни /, равно средней наработке на отказ tCf>:

2. Если непрерывная плотность распределения /(О -*0 при t-+ оо, то

lim/г (О = 7—-

<->-00 ®ср

3. Если время между отказами элементов ; распределено непрерывно, то для любого интервала наработки ‘

ІІШ H{t + t) — Н (01 — —

<-*оо *ср

4. Если время между отказами элементов распределено непрерывно, а Я (0 монотонно невозрастающая, интегрируе­мая на 0, со функция, то *

lim 1 Р(І■ ~ т) d Н (х)~ Г Р (л:) dx.

<-00 J fcp J

о о

J

2 ‘

Отсюда следует, что для большого времени t

Примеры пользования расчетными формулами и
таблицами [10]

Пример 4.9. Параметр потока внезапных отказов данного типа элементов = 0,01 І-час. С вероятностью Р~2> 0,99 опре — делить наименьшее пх и наибольшее п2 число отказов за ин­тервал эксплуатации в 400 час (Лдооср—10 £=0,01 • 400=4 опік.).

• Решение. Задачу решаем с использованием накоплен­ных сумм распределения Пуассона (табл. VII [10]).

1 Согласно условию задачи получим

Р( "і) — 0,99;

Я (Л’, > п2) 0,01.

По таблице VII [10] находим значение «і = Л,0о Ср =

= 0,01 -400 — 4; Ч* ^ 0.99. Эти значения ;> = 4 пР> 0,99 соответствуют значению л’=Пі = 0. Значения «»- = 4 и 1—Р 0,01 соответствуют значению х = п2~ 10-Н4 отказа. Это зна­чит, что в течение 400 час эксплуатации элементов могут на­блюдаться от 0 до 9 отказов. Из 1000 случаев эксплуатации -‘тих элементов в течение 400 час будут наблюдаться: 18 слу­чаев безотказной работы элементов; 73 случая — 1 отказ, 147 — 2 отказа; 195 — 3 отказа; 195 — 4 отказа; 156 — 5 отка — юв; 106 — 6 отказов; 60 — 7 отказов; 30 — 8 отказов; 13 — 9 отказов; 5— 10 отказов; 2— 11 отказов; 1 — 12 или 13 или И отказов (данные взяты из табл. VI [10]).

Пример 4.10. Для условий примера (4.9), но с вероят­ностью не менее 0.95 определить:

1) наименьшее число отказов за время /=ЦЮ0 час;

2) наименьшие интервалы эксплуатации tu в которых воз­можно появление 5, 6 и 7 отказов.

Решение. 1. По таблице VII [10] для значений Р = N1000fp = о t = 0,01 ■ 1000 = 10 и Ч (*; ]х) =~ 0,9707 > 0.95 находим значение *=^=5.

2. Согласно формуле (4.50) запишем исходные условия’ для определения интервалов 0, в которых возможно появле­ние 5, б и 7 отказов:

Отсюда

tl 6,01

—~— / ft 0,01 v

Пример 4.11. Требуется с вероятностью не менее 0,95 оце­пить число запасных элементов (см. рис. 4.6,6), необходимых (,ля бесперебойной работы бортовой системы в течение вре­мени t = 1000 час (условия примера 4.9).

Решение. Вероятность появления не менее П-2 отказов равна не более 0,05, т. е. Р(Л’, > п2) <0,05.

В дальнейшем поступаем так же, как при решении приме­ра 4.10 из табл. VII [10] определяем п2. Для р— 10 и lT(.v;y.)~ = 0,0487

«2 — 16 элементов.

Таким образом, для бесперебойной работы бортовых си­стем в течение технического ресурса с вероятностью не ме­нее 0,95 потребуется не более 16 элементов.

Пример 4.12. Для условий примера 4.9 определить сред­нее число отказов-восстановлений в конце интервала эксплуа­тации /=1000 час, если известно, что интенсивность восста­новления неисправных элементов р =0,1 Ичас.

Р е ш е н и е. По формуле (4.41 а) определяем Н (1000):

Пример 4.13. Для условий примера 4.3, используя формулу (4.41а), определить среднее число летных дней в году, (8760 час), которые технический состав способен обеспечить.

Решение. Определяем среднее число отказов-восстанов­лений $а год при конечном времени восстановления:

Решение по формуле (4.41 а) совпадает с решением по формулам (4.4). Таким образом, формулу (4.41 а) можно ис­пользовать для определения числа обслуженных требований на переходном режиме функционирования систем массового обслуживания.

Пример 4.14. С вероятностью не менее чем 0,95 определить максимально возможное время предварительной подготовки авиационной техники к полету, если из опыта эксплуатации и шестно, что среднее время предварительной подготовки ‘,,, = 10 час, среднее квадратическое отклонение с= 1 час.

При большом числе подготовок, когда t со случайная величина времени предварительной подготовки авиационной техники V| имеет асимптотически нормальное распределение со средним тср и средним квадратическим отклонением з, т. е. для любого фиксированного значения т будет справед­лива следующая формула:

P(7j< т) > 0,5 + Ф„ Г— о—j = 0,95.

Подставляя заданные величины и используя табл. III [10], определяем максимально возможную продолжительность предварительной подготовки:

где 1,645 соответствует

Следовательно, — 1,645 4- 10 = 11,645 час.

* Таким образом, максимально возможной продолжитель­ностью предварительной подготовки, в которой получены дан­ные тср ~ 10 час и з=1 час с вероятностью не менее, чем 0,95, будет і 1,645 час Величину этого времени выбирают за директивное время.

Пример 4.15. Из опыта эксплуатации самолетов 100 летных групп, состоящих в среднем нз 30 самолетов каждая, извест­но, что среднее время между невосстанавливаемыми внезап­ными отказами tCPB = 500 час.

Требуется определить число запасных, исправных гидро­насосов, которое необходимо иметь каждой летной группе для замены внезапно отказавших и выработавших технический ресурс (близких к износу) гидронасосов (оборотный фонд гидронасосов). Планируемый средний налет на каждый само­лет в году 200 час. При таком налете средний интервал меж­ду моментами выработки технического ресурса £СР|| ^ 900 час. На каждом самолете установлены по два однотипных гидро­насоса.

Решение. 1. Определяем общую наработку всех насо­сов, установленных на самолетах группы в планируемом году:

^няс = 30-2-201) — 12 000 час.

2. По формуле (4.41) определяем среднее число внезап­ных отказов гидронасосов данного типа в планируемом году:

ясРп — И (12 000) = ■ = 24 внезапных отказа.

Г1о табл. III [10] 0,49 соответствует числу 2,33. Следова­тельно,

н, в ==» 24 — 4,9-2,33^ 12 отказам-.

пів = 24 -Ь 4,9-2,33 ~ 36 отказам.

Это значит, что в 99 из 100 случаев летной работы группы в году число отказов гидронасосов будет не более 36 и не менее 12.

4. По формуле 4.41 определяем среднее число гидронасо­сов, выработавших технический ресурс в течение календарного года (8760 час):

Лсри “ Н (8760) ^ jo насосов.

5. С вероятностью ^^-0.99 определяем лїп и tun анало­гично п. 3 этого примера:

P(Nem > ) < 0.5 — Ф01 "■■■ JS ) = о. О):

V /гср„ >

nis, ~ 10 — 7,4 ^ 3 отказам:

п2а " № — Ь 7,4^ 18 отказам.

6. Таким образом, если на складе тыловой организации, снабжающей запасными частями 100 летных групп, создать оборотный фонд исправных (новых или отремонтированных) насосов в количестве

100 (дсРв + «сРі1) " 100 (24 4- 10) = 3400 штук,

то этим количеством насосов можно точно обеспечить потреб­ность 100 летных групп в насосах в течение планируемого

года.

Пример 4.16. Группе в 330 транспортных самолетов необ­ходимо в течение 130 час перевезти грузы по заданному марш­руту. При этом средний налет каждого самолета составит 75 час. Требуется определить среднее число самолетов, выра — ботавших межрегламентный ресурс и число резервных само­летов, необходимых для обеспечения плана перевозок.

Регламентные работы производятся в 11 подразделениях, распределенных по одному на группу в 30 самолетов. На са­молетах выполняются три. вида регламентных работ: 600-, 200- ь 100-часовые.

Каждое подразделение способно работать круглосуточно но многоканальной системе массового обслуживания без взаимопомощи между каналами. Время выполнения 600-, 200- и 100-часовых работ равно 48, 20 н ІЗ час соответ­ственно.

Перед началом операции все. подразделения регламентных работ были свободны (самолетов с выработанным межрегла­ментным ресурсом не было) и нивелировка остатков межрег­ламентного ресурса на самолетах не производилась.

Решение. 1. Определяем среднее число регламентных работ, выполняемых на каждом самолете за его наработку 75 час:

среднее число 600-часовых регламентных работ

— среднее число 200-часовых регламентных работ 75

200

среднее число 100-часовых регламентных работ z, = — 0,125 — 025 = 0,375.

2. Определяем «ь *4?, н3 вероятности выполнения 100-, 200- н 600-часовых регламентных работ на каждом самолете. Ве­роятности определяются по формуле (2.7) (см. главу 2)

	и і —	4.87 15.87	0,305:
Щз —	и 2 ~	5	— 0,315;
2*1*# Л=1	15,87
	Из —	о	— 0,38.
	15,87

3. По формуле (2.10) определяем среднее значение време­ни выполнения регламентных работ, на каждом самолете

тср = 0,305-13,0 + 0,315-20 4 0,38-48 = 28,6 час.

4. Определяем параметры каждого подразделения регла­ментных работ*

N = 30; X = = 0,00577 .1}час

»=т=аз48/Мс-

Задаемся числом каналов, по которым выполняются рег­ламентные работы на самолетах л=1, 2, 3, 4, 5 и 6. Отсюда Pi — 6; = 12; б3= 18; р4 = 24; % = 30; 36.

5. По формулам (4.14), (4.16), (4.17) определяем Р0 н /ср для каждого подразделения регламентных работ:

II о	II р
= 0,00058;	Ро4 =0,00413
Ро„ = 0,0076;	Р0„ — 0,0086;
/Ср, = 24;	п* К? "и ОО
сс 11 Gl -Л	1ср, — 8;
І1 £	4р,.=: 4.

Таким образом, если регламентные работы в ходе запла­нированных перевозок всеми 330 самолетами будут выпол­няться в одноканальных подразделениях, то потребуется ре­зерв в 264 самолета, в двухканальных — 198 самолетов, в трехканальных — 132 самолета, в четырехканальных — 77 са­молетов, в пятиканальных — 44 самолета, в шестиканальных— также 44 самолета.

Очевидно, что для данных условий выполнение регламент­ных работ в пятиканальных подразделениях является наи­более эффективным. Такой же подход к выбору числа кана­лов можно применять для обеспечения заданного уровня го­товности авнацнонной техники.