Коэффициент готовности К

Для восстанавливаемых систем обычно применяется еще одни коэффициент готовности К,. Коэффициент готовности системы является вероятностью тою, что система с парамет­ром потока отказов, равным ав, и с интенсивностью восста­новления потерянной работоспособности (из-за отказа) р бу­дет готова к эксплуатации в любой момент времени / в про­межуток между регламентными работами.

Для вывода коэффициента Кг сделаем допущение о про­стейших потоках отказов и восстановлений работоспособнос­ти. Тогда

— каждое работоспособное устройство может отказать с вероятностью X A t

— каждое работоспособное устройство может не отказать с вероятностью 1—ХАt

— каждое неработоспособное устройство может быть вос­становлено с вероятностью Х A t

— ^каждое неработоспособное устройство может быть не восстановлено с вероятностью 1—р А/.

Для расчета вероятности того, что устройство будет рабо­тоспособно (готово к выполнению всех возложенных на него функций) в любой интересующий нас момент времени t, рас­смотрим условие работоспособности устройства в интервале времени t, t+ ДА Устройство может быть работоспособно к концу интервала t, t At при выполнении двух условий: либо к началу интервала t, t + At устройство было работо­способно и не отказало до конца этого интервала, либо уст­ройство к началу интервала £, t + At было неработоспособно, но за время t, t— At устройство было восстановлено. Тогда по формуле полной вероятности определим вероятность того, что устройство будет’ работоспособно к моменту времени і + + А*:

Р(М — At)^P(t) (1 — X А -}- [ 1 — P(t) р A t.

Перенося P{t) в левую часть, деля на А/ и переходя к пре­делу при А / -> 0, получаем дифференциальное уравнение для P{t)

— + (5.21)

Окончательно уравнение (5.21) можно представить в виде

Р'(0+(>’•+*!*}/>(*) = !*. (5.22)

Уравнение (5.22) относится к классу линейных дифференци­альных уравнений с постоянными коэффициентами и с правой частью.

‘Решение этого уравнения есть вероятность того, что в мо­мент времени t устройство находится в работоспособном со­стоянии.

Для решения этого уравнения[4] [5] [6] [7] [8] следует исходить из сле­дующих начальных условий при /=0, Р(0) = 1. Р'(0) —0. Тогда

__ Iі, * e-c>.+v)t

X — j — J1 X -}- |JL

Работоспособное и неработоспособное состояния устрой­ства в момент времени t 4- At, как известно, являются проти­воположными событиями. На основании этого вывод Кг(0 можно сделать также из рассмотрения и условий неработо­способности устройства в момент времени 1 + A t.

Очевидно, что устройство может быть неработоспособным б момент времени t — f — A t при двух обстоятельствах: либо в момент времени / оно было работоспособным P{t) и за время Л? отказало ХД t, либо оно в момент времени t было нерабо­тоспособным Q(t) и восстановить работоспособность за время At не удалось 1—рДС

Следовательно,

Q(t + At)^P(l)lAi—Q(t)( 1 — «і Д/J.

Действуя аналогичным образом, получаем дифференциаль­ное уравнение для Q(t)

~ ,At ® ^ ‘1Л *

При At -^0

Q(t) * + >. Q (/) X

или

+ «(<)!>•+ И =

т

При t =* 0; Q(0) ~0

1 — Kr (t)- Q(0= т^711 ‘ (5 24)

Подставляя значения Р(0 н Q(l) в формулы (5.23) и (5.24) получаем

JL — , ‘• €-0-+:>)* , L_

X + |j. г X — р «і X + |х

что нетрудно было заранее представить, так как события го­товности и неготовности к применению различных устройств являются противоположными событиями, сумма вероятностей которых равна единице.

Для практики представляет интерес рассматривать устано­вившийся режим эксплуатации, когда устройства могут отка­зывать и восстанавливаться в процессе достаточно длительно­го времени, например при ({ЮЛ ->■ со. За это сравнительно большое время эксплуатации (наработки) свойства готовнос­ти устройства выявляются достаточно полно. При этом усло­вии вероятность того, что устройство в любой момент време­ни готово выполнять все возложенные на него функции, пере­стает зависеть от времени и становится равной постоянной Iі

величине — Г—; —

X — г Р

В надежности технических устройств эта величина играет важную роль н поэтому имеет специальное название коэффи­циента готовности lim Кг (/) — К, при tnoJ] -> со, а Кг — -7—7—

х + jx

Нетрудно видеть, что коэффициент готовности будет близок к единице, если значение параметра потока отказов Хв на

два и более порядков будет меньше интенсивности восста­новлений р. Учитывая, что и у = ——, получаем

*ср "Ср

1

‘ср

x^j:

г Г f Lcp 1 ср где "Ср — среднее время восстановления; fcp — средняя на­работка на отказ.

Коэффициент Кг характеризует долю времени нахожде­ния элемента (системы) в работоспособном состоянии. Недо­статком коэффициента готовности Кг является то, что по его значению невозможно установить, за какое календарное время можно выполнить летное задание.

На рис. 5.5 показаны кривые /~* P(tnoJ1), 2 -> 0^п(/пол, тд011), 3—*■ G ("доп)^ 4 ~ Кат(^пол)ї 5 ^ Кл3(^пол) Ч б —> Кг (^по. Л ВЫЧИС — ленные с помощью формул (3.25), (5.8), (5.15), (5.18), (5.20) и (5.23). За исходные данные расчета были приняты следую­щие значения:

^в==0,5-10“3 1;час у — 0,05 1;час; тдоп — 8,2 час,

где — параметр потока отказов элемента Ого типа; у интенсивность устранения отказов элемента О го типа; "доп — предельно допустимое время, отводимое для устранения отка­зов элемента Ого типа.

Кривая 4 коэффициента готовности авиационной техники Кат(0 приближается к линии 3, характеризующей восста­навливаемость, как к своему пределу. Кривая 5 коэффициен­та готовности выполнения летного задания Кл э (Л в пределе приближается к нулю. То же самое для кривой /, характери­зующей изменение вероятности безотказной работы. Для объяснения характера изменения кривых 4 н 5 перейдем к не­которым рассуждениям. Кривая 4 изображает процентное количество элементов /-го типа, которое запланировано быть работоспособным, когда tnол приближается в общем случае к с», а вероятность’ безотказной работы приближается к нулю. Следовательно, любое количество готовых К ПОЛЄТ) элементов /-го типа после продолжительной наработки в по­лете является функцией восстанавливаемости G(-r№II). Так­же вполне очевидно, что количество элементов /-го типа, ко­

торое может быть восстановлено определяется как 1 —е итдоп. Следовательно, это процентное количество становится равным коэффициенту Кат» когда tnQn -► со, что, собственно, н явля­ется условием устойчивого состояния системы восстановления работоспособности авиационной техники.

Рис. 5.5 Графики зависимости от /пюл вероятностей G/t/n (<пол) -*■ 2′, G (тдоп) Ка т (^по. п)"* Кл з (^пол)""*^» Кг(^пол1 построенные для /сРн — 2000 час, тср = 20 час тЛОп = 8.2 час

Кривая 5, характеризующая коэффициент готовности вы­полнения летного задания Кл э (t), определяет то количество полетов (самолето-вылетов), в течение которых будут отказы, устраняемые только за допустимое (или менее) время тД0Т). Кривая 5 отличается от кривой 4 по темпу снижения, так как она связана относительным количеством выполненных поле­тов, в то время как кривая 4 связана с относительным коли­чеством систем (элементов), которые запланированы функ­ционировать в течение времени ^пот» или она характеризует пносительное количество системы (элементов), которые бу­ду» находиться в состоянии готовности к полету.

Очевидно, что при возрастании tn(in кривая 5 приближа — 14си к нулю, так как со временем растет не только количество отказов вообще, но и количество неустраненных отказов. При чиїх условиях и с учетом того, что летное задание может быть полностью выполнено только в том случае, если все отказы будут устранены за время хдоп, коэффициент Клз уменьша­йся, а по мере приближения іП0Яксо будет приближаться h нулю.

В любом случае, независимо от того рассматривается ли К, х или Клз, кривые на рис. 5.5 свидетельствуют о значи­тельном влиянии восстанавливаемости авиационной техники па ее готовность, так как общая готовность авиационной тех­ники, благодаря восстановлению потерянной работоспособпос — іи в ходе операции, гораздо выше, чем можно было бы ожи­дать от влияния только одной безотказности, о чем свидетель­ствует быстрое Приближение Кривой P(tпол) к нулю. Для элементов с пологим течением кривой Р(1пол) (с большой на­работкой на отказ) Кат и Клз фактически равны друг другу. Обычно При Мпол < 0,2 Ка т = Кя 3.

Оба критерия Кат и К. пз фактически служат и критерия­ми безотказности, поскольку они, по сути, являются вероят­ностью безотказной работы, когда отказы, которые устраня­ются в течение Son или меньшего времени, не рассматрива­ются как критически важные отказы, т. е. отказы, которые вызывают снижение готовности (ниже заданного — уровня). Это становится очевидным, если принять хлоп — 0. В этом слу­чае уравнение (5.18) преобразуется в уравнение Кат(0 — = е ~х#лол j а уравнение (5.20) — в уравнение Кд9 (£) “ е~У*поп. Как известно, оба эти уравнения являются обычными уравне­ниями вероятности безотказной работы. Следовательно, когда рассматриваются невосстанавливаемые системы, для которых восстановление неработоспособных технических устройств си­лами и средствами летных частей и подразделений невозмож­но (хлоп — 0), уравнения Ка7(0 и Клзй преобразуются в уравнение P(t).

Таким образом, основное различие между Кат(0 и Клз (О При их сравнении с P(t) состоит в том, что первый Кат (0 учитывает полностью влияние предельно допустимого времени тдоп > 0, в то время как второй КлДО учитывает только фактическое время восстановления т < тдоп, так как в случае х > хяап полное восстановление элементов i-vо типа невозможно.