СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ СЛОЖНОГО ИЗДЕЛИЯ ЗА СЧЕТ ДОРАБОТОК
Модели, описывающие рост надежности ЛА, необходимы для прогнозирования изменения надежности, управления процессом создания ЛА, оценки роста надежности по результатам отработки изделий.
Если будет получена модель роста надежности Pi(t) отдельных агрегатов, то, используя структурные схемы, нетрудно рассчитать и надежность P(t) системы в каждый момент времени. Например, полагая, что отказы в каждом из k агрегатов возникают независимо и отказ любого из них ведет к отказу системы, получим формулу
я(о=гі Рі(0- (5-і)
/-і
В связи с этим можно считать, что отыскивают модель изменения надежности сложного изделия, рассматриваемого в процессе испытаний как элемент.
Процесс изменения надежности изделия связан с проведением испытаний, в ходе которых могут быть установлены причины его отказов. По результатам каждого испытания решают вопрос о целесообразности доработки, вследствие которой можно устранить предполагаемую причину отказа. На основе этих качественных соображений можно заметить, что в силу целенаправленности отработки изделия его надежность имеет тенденцию к росту, однако из-за недостоверности установления причи^ отказов и неоднозначности влияния доработок на надежность процесс является случайным.
Поскольку ход отработки явно связан с последовательностью испытаний..(/=1, 2, 3, …. п), то имеет смысл рассматривать функцию надежности, зависящую не от времени, а от номера испытания P(j)=Pj. Случайная функция Р3- полностью определяется п-мерным законом распределения. Приближенно эту функцию можно было бы характеризовать первыми и вторыми моментами распределения (математическим ожиданием, автокорреляционными функциями и корреляционными функциями связи). Так, если бы в нашем распоряжении имелись результаты испытаний, в ходе которых определялись реализации функции Pi, то нетрудно было бы найти статистические оценки математического ожидания и корреляционных функций. Однако при отработке в каждом испытании участвует, как правило, одно изделие, т. е. отработка является одной реализацией процесса. Это важное положение будет далее нами использовано.
Таким образом, представление Pj в виде случайной функции хотя и является правильным, но практически ничего нам не дает, так как информация для ее оценки отсутствует. В связи с этим попытаемся представить Р, в виде функции случайных аргументов, значения которых могут быть найдены по результатам испытаний данного изделия или аналогичного образца. При таком подходе необходимо установить аналитическую форму функции, т. е. построение модели сводят к получению формулы, описывающей изменение надежности Pj. Эта задача может быть решена различными способами, среди которых самым простым является статистический. Суть статистического способа заключается в том, что в соответствии с какими-либо опытными данными, отражающими процесс Pj, задаются произвольной формулой, аппроксимирующей экспериментальные точки, а затем методами математической статистики находят оценки параметров, входящих в данную функцию.
Таким образом, при статистическом подходе выбор вида аппроксимирующей функции определяют расположением опытных точек. Следовательно, необходимо решить вопрос о том, какую информацию можно рассматривать как результат испытания изделия, т. е. что будет представлять собой экспериментальное значение Pj. При проведении опыта в зависимости от специфики, изделия и принятого плана испытаний (подробнее о планах испытаний см. § 5.6) можно фиксировать различные значения характеристик надежности. Так, при испытании одного невосстанавливаемого образца можно находить, например, реализации его определяющих параметров, время работы до отказа, исход испытания (успех или отказ). В дальнейшем целесообразно при построении модели в качестве опытной информации рассматривать только исходы испытаний, так как они непосредственно связаны с искомой функцией Рз как частость с вероятностью, что упрощает математический аппарат. При этом исключаются линейные преобразования каких — либо характеристик или параметров в оценке вероятности безотказной работы. Кроме того, эта опытная информация может быть получена при любом плане испытаний для любого изделия, в том числе и срабатывающего мгновенно. Исходы испытаний (успех, отказ) содержат меньше информации о надежности изделия, чем все другие характеристики, отражающие время возникновения отказов или изменения параметров в ходе опыта. Однако использование в модели только исходов испытаний не исключает анализа всех других опытных данных для устранения причин отказов изделия и принятия решения о его доработке.
Таким образом, опытные точки (Р, /) могут иметь две ординаты: О — при отказе и 1 — при успешном испытании. Такая информация затрудняет выбор вида наилучшей аппроксимирующей зависимости, так как нелегко угадать ход функции Pj среди последовательности нулей и единиц, в особенности при малом числе испытаний, что характерно для отработки ЛА. Однако если искомая функция
Р.=Р(alt a2,…,as, aq j), (5.2)
где as — неизвестные параметры, то методами математической статистики по результатам испытаний можно найти оценки as параметров а8, их дисперсии о«2 и коэффициенты корреляции р оценок параметров. Кроме того, выбрав несколько различных форм функции (5.2), можно оценить, какая из них лучше аппроксимирует опытные данные.
Рассмотрим подробнее методику определения оценок а8. Выбор статистического метода, пригодного для решения подобной задачи, в первую очередь определяют законом распределения наблюдений, а также наличием априорной информации об оцениваемых величинах. В нашем случае целесообразно считать, что доопытная информация о надежности изделия отсутствует, так как данные, полученные на предшествующем этапе отработки, как правило, характеризуют надежность в других условиях и другого образца (см. скачки функции надежности на рис. 5.1). Что касается закона рас
пределения наблюдений, то для принятой нами опытной информации он является биномиальным (см. табл. 1 приложения).
При малом объеме испытаний, что характерно при отработке ЛА, и биномиальном законе распределения наблюдений целесообразно для решения поставленной задачи использовать метод максимума правдоподобия. Суть его заключается в следующем. Из выражения (5.2) ясно, что оценки as определяют искомую оценку функции надежности Р, (аи аг, а6,…, aq/’). Необходимо найти такие оценки as и, следовательно, значения Pj, при которых максимальна вероятность получения результатов испытаний, имевших место в действительности. Эту вероятность называют функцией правдоподобия L, так как она зависит от оценок ds.
Для построения функции правдоподобия представим себе, что все п испытания разбиты на (v—1) серию, в каждой по m опытов, в ходе которых зафиксировано т* отказов (£=0, 1, 2, 3, …, v). При этом мы не потеряли общности рассуждений, так как можно считать, что все Пі= 1, т. е. i—j и =п, а пц=0 (успешное испытание) или ] (отказ). Если все испытания независимы (важное допущение, к обсуждению которого еще вернемся), то вероятность получить ровно Ші отказов в щ испытаниях определяется биномиальным выражением
rht(ni — m,-)l
где Рг — вероятность успеха в каждом опыте t-й серии.
В частности, при t=0 имеем Рі = Ро — начальную надежность, т. е. вероятность успеха в каждом из п0 испытаний, среди которых наблюдалось т0 отказов.
Вероятность получения всей выборки (пу ту t = 0, 1, 2, …,v), т. е. функции правдоподобия L, в силу принятой независимости результатов испытаний определяют произведением вероятностей
(5.3) :.
L = П ——- SL-— рПф~т‘ (1 _ Р. р. (5.4)
;_о тіНпі—гПі) 1
Подставляя в (5.4) выражение модели изменения надежности
(5.2) , получим зависимость функции правдоподобия от искомых параметров:
v
L(as, nit mt)=f] ——————- [Я, (au >s, i)ni~mi X
i_0 Я!(П/-т;) 1
X [ 1 — Pi («1, a2, …. a5) …, aq if1. (5.5)
может быть более одного испытания и нам известна связь
/(/), то в функции правдоподобия можно перейти к другому аргументу для сохранения общности задачи.
Оценками максимального правдоподобия параметров as являются такие значения as, при которых функция правдоподобия при заданной выборке (щ, ті) обращается в максимум, т. е.
L (а1? а2, …,as, aq; nit тг)=гпах. (5.6)
Часто используют удобную функцию In L или — In L, так как максимумы L и InL (минимум —InL), если они имеются, совпадают. Для определения оценок as можно непосредственно отыскивать максимум функции InL от q переменных, решая систему уравнений правдоподобия:
д In L
——— =0 (5=1,2, …, q). (5.7)
das
Дисперсии os2 и коэффициенты корреляции р оценок as могут быть приближенно найдены по матрице А вторых частных производных функции правдоподобия, вычисленной В точке («1, 0,2, …. аЁ, …, &д).
Эта матрица имеет вид
Отрицательная обратная матрица
В= —А-1
— искомая ковариационная матрица, содержащая дисперсии и корреляционные моменты оценок, т. е.
°i
Оценки as имеют существенную корреляцию, так как они определены по одной выборке.
Метод максимума правдоподобия, как видно из приведенных выше формул, связан с большим объемом вычислений, зато приводит к асимптотически несмещенным состоятельным и эффективным оценкам при п-*-оо [20].
Если наблюдаемая в опыте величина имеет нормальный закон распределения, то метод максимума правдоподобия совпадает. с методом наименьших квадратов. При введенных ранее обозначениях после преобразований отрицательная логарифмическая функция правдоподобие
где Pi on — наблюдаемые в 1-й серии опытов значения функции надежности.
Метод наименьших квадратов пригоден для решения поставленной задачи при Пг>20ч-50, т. е. когда биномиальный закон распределения оценки
Я, о„=1— (т,/я,)
сходится к нормальному.
Использование более простой зависимости (5.11) вместо (5.5) при определении оценок as возможно лишь при наличии больших серий испытаний, в ходе которых надежность не изменяется. Однак» оценки ds<°>, найденные при обращении функции (5.11) в минимум» т. е. в результате решения системы нормальных уравнений:
-dlnL/da(s0)=0 (s= 1,2, …,?),
где —InL — функция (5.11), часто можно использовать в качестве нулевого приближения при определении оценок максимального правдоподобия as.
Таким образом, статистический подход к определению модели роста надежности заключается в интуитивном выборе вида функциональной зависимости Pj (аь а%, …, as, …, aq j), в определении тем или иным методом по результатам испытаний оценок йв параметров as, их дисперсий os2 и коэффициентов корреляций. При этом возникает задача выбора наилучшего в некотором смысле вида функции надежности, т. е. задача сравнения моделей.
Качество модели можно характеризовать ее точностью, а также сложностью самой функции Pj. При прочих равных условиях целесообразно использовать для аппроксимации алгебраические выражения, включающие несколько неизвестных параметров (обычно от двух до пяти). Задача становится практически трудно разрешимой, если используются рекуррентные или дифференциальные выражения, а также явные функции с большим числом неизвестных величин. Для функции Р і можно подобрать алгебраические выражения. рц коя ‘ : ‘я отыскание оценок й8 [например,
разделяется система уравнений правдоподобия (5.7)]. Однако для функций одного класса с примерно одинаковым количеством неизвестных параметров решающим фактором при выборе наиболее подходящей модели является точность аппроксимации опытных’ данных.
В зависимости от целей, для которых используют модель, можно предъявить различные требования к ее точности. Так, иногда важно с высокой точностью определять только конечное (достигнутое к концу испытаний) значение надежности. Можно также выдвигать требования повышения точности оценивания на каком-либо интервале. Однако в большинстве случаев важно с высокой точностью описать весь процесс.
При использовании метода максимума правдоподобия значение функции L отражает вероятность получения данной выборки. Поэтому в процессе отыскания максимума функции L при определении оценок as можно сравнивать вычисленные с одинаковой точностью величины Lmax при различных видах функции Pj, но при одних и тех же опытных данных. Та функция Pj, при которой обеспечивается наибольшее значение LmaX) лучше аппроксимирует опытные данные. Такой метод выбора прост и не требует даже вычисления ковариационной матрицы (5.10) оценок as.
Следует заметить, что величина Lmax — вероятность наблюдения случайной выборки (п,; пц; t = 0, 1, 2, …. v). При другой серии испытаний можно найти иную случайную выборку, которой будет соответствовать и несколько отличное значение функции правдоподобия. Чтобы исключить неточность сравнения различных моделей, вызванную случайным характером выборки, можно провести моделирование исходов испытаний при заранее выбранном изменении надежности (истинных значениях Pj). Многократное определение оценок as по различным выборкам и расчет соответствующих значений максимумов функции правдоподобия позволяет провести осреднение результатов. При этом ошибки в определении точности аппроксимации выбранного заранее процесса Pj той или иной моделью уменьшаются пропорционально величине где I — число моделируемых выборок.
Если надо сравнить эффективность (точность) оценивания надежности Pj в конечной или какой-либо другой точке, то возникает необходимость вычисления дисперсии оценки функции надежности. Для этого нужно по ковариационной матрице (5.10) оценок as найти дисперсию функции Pj(as), как правило, нелинейной. Рассматривая оценку Pj(ds) как известную функцию случайных аргументов as с известными законами распределения (обычно нормальными или усеченными нормальными), можно методами статистического моделирования найти в любом сечении плотность распределения оценки функции или ее числовые характеристики, в том числе и дисперсию. Оценку функции надежности
Рассматривая отклонения оценок от истинных значений оцениваемых параметров как систему случайных центрированных величин с известной ковариационной матрицей (5.10), можно найти дисперсию о/ оценки Pj функции Pj по зависимости
f s-l s<r
где (oPj/das)о — частная производная функции Pj по параметру as, вычисленная в точке (щ, а…, as, …. aq).
Опыт показывает, что коэффициенты корреляции оценок параметров довольно велики и пренебрегать ими при определении Gj нельзя.
Таким образом, точность определения функции в любой точке зависит не только от значений членов ковариационной матрицы оценок параметров, но и от частных производных dPj/das, или, точнее, от вида самой функции Pj.
В настоящее время в литературе имеется целый ряд предложений по поводу конкретного вида аппроксимирующих функций. Так, в работе [38] предлагается двухпараметрическая зависимость
Pj=Poo-(a/j), (5.18)
где Рос и а — неизвестные параметры модели.
Величина Рсс по существу является предельной надежностью, которая может быть достигнута при /—»-оо. Подставив в функцию правдоподобия (5.5) выражение (5.18), после некоторых допущений и преобразований можно получить два уравнения, корни которых являются искомыми оценками Poo, а параметров Роо, а:
V
где С= V-L ^ In (v+0,5)+0,577.
1=1
В качестве аппроксимирующих зависимостей используют также модели вида
или при Роо = 1
а также где Э, /+ 73 ос, а, Ь, с — неизвестные параметры.
Несколько отличный от рассмотренных выше, но тоже статистический прием построения модели надежности предлагается в работе [6]. Полагают, что каждое испытание может иметь три исхода: успех; случайный отказ, причина которого не установлена; отказ, причина которого достоверно известна и устраняема, из-за чего и повышается надежность. В ходе п испытаний, разбитых на v серий (t = = 1, 2, …. v), фиксируются числа: случайных отказов т/, устраняемых отказов ГПг" И успехов (Пі—ті—пц") в каждой серии, состоящей из Пі опытов. По этим данным находят оценки максимального правдоподобия вероятности q0 случайного отказа, которую принимают постоянной для всех испытаний, и вероятностей qt устраняемых отказов в 1-й серии. Естественно, что оценку вероятности успеха ь і-й серии определяют зависимостью
Рі= І — Чо — Яі, (5-25)
которая по существу и является моделью надежности.
Поскольку при таком подходе возможны три исхода испытаний, то при построении функции правдоподобия используют триномиальный закон. С учетом введенных обозначений по аналогии с (5.4) получим
L~n— ——
^ i mi 1 (nL— ml—!
На основании (5.26) нетрудно получить два уравнения правдоподобия (5.7) ДЛЯ Определения ОЦеНОК g0 И Qi‘
— Яо )mi/{nt — m’i). (5.28)
Как видно из выражения (5.26), оценка q0— частость случайных отказов, a qi — несколько видоизмененная частость устраняемых отказов в 1-й серии.
Среднее квадратическое отклонение функции Pi (5.25)
api—^a90+off’ + 2p0iae0o</i,
где Oqo, Oqi, p0і — средние квадратические отклонения оценок q0, qi и коэффициент корреляции этих оценок. Средние квадратические отклонения оценок <7о и qi как частостей можно найти по формулам:
°«о= Y ^о(1-9о)/«; V =V Я і (*-ЯіУІПі — т’і).
Отсюда следует, что точность оценивания функции Pi (5.25) будет лимитироваться дисперсией оценки qi, определяемой по меньшей выборке, так как п±—т/<^п.
Таким образом, при малых т модель (5.25) неэффективна. В практике отработки Л А чаще всего п» =1-4-2, в этом случае модель использовать невозможно. Структура выражения (5.25) не позволяет связать воедино результаты всех испытаний, что и сказывается на низкой эффективности оценивания.
В заключение заметим, что остановились на анализе модели
(5.25) , предложенной Р. Барлоу и Э. Шойером только потому, что в последнее время были предприняты попытки использовать ее в практике оценки надежности ЛА по результатам испытаний с доработками.
Изменение надежности изделия при его поэтапном испытании можно также оценить статистически, используя прием, предложенный в [38]. Оценку надежности после і-й серии (этапа) испытаний образцов одного и того же изделия в одних и тех же условиях при постоянной надежности определяют по зависимости
Рг=аР; + (1-а)Я,._11 (5.29)
«
где а — коэффициент, характеризующий вес каждой оценки; Pi— оценка надежности по результатам только і-й серии испытаний; Рі~, — оценка надежности по результатам всех испытаний, проведенных до t-й серии.
Так, при а=1 полностью исключают результаты всех испытаний, проведенный’ то t-й серин, а при а=0 не учитывают данные последней серии. При двух исходах испытаний в каждой серии может быть найдена как частость успехов оценка
Pi — I — (т,/«г). (5.30)
Однако статистические пути определения параметра а неясны, так как рекуррентное соотношение (5.29) трудно ввести в функцию правдоподобия (5.5). Произвольное же задание величины а предопределяет низкую эффективность оценки Pi.
Характеризуя в целом рассмотренные статистические методы получения различных моделей роста надежности, следует отметить, что они отличаются сравнительно невысокой эффективностью. Эта вызвано тем, что при построении таких моделей не учитывают не только физику, но и логику процесса опытной отработки изделия. Однако некоторые из рассмотренных методов позволяют довольно просто найти искомые оценки. Поэтому целесообразность использования тех или иных аппроксимирующих зависимостей, а также выражений типа (5.25) и (5.29) следует определять при решении той или иной конкретной задачи. Что же касается приведенного аппарата математической статистики, с помощью которого можно вычислять оценки параметров и их дисперсии, то он будет с успехом использован при оценке надежности изделий по моделям, полученным другими методами.