ФОРМУЛА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ ВЕКТОРА В МАТРИЧНОМ ВИДЕ

| При выводе уравнений, описывающих движение самолета, часто возникает не­обходимость пересчета проекций векторов (радиусов-векторов, скоростей, сил и т. д.), заданных в одной системе координат, к проекциям этих же векторов в дру­гой системе координат. Наиболее удобно этот переход выполнять, используя матрич­ные формулы преобразования проекций вектора. J

Рассмотрим использование матричных формул на примере перехода от нор­мальной к связанной системе координат. Взаимное положение осей связанной и нормальной систем координат определяется тремя эйлеровыми углами ф, ©

—►

и у. Предполагаем известными проекции некоторого вектора а в нормальной си­стеме. Требуется выразить проекции этого же вектора в связанной системе через проекции в нормальной. Из векторной алгебры известно, что соответствующие соотношения имеют вид:

ах = cos (х, xg) ■ cixg + cos (х, у8) ■ аи8 + cos (х, г8) ■ azg; аи = cos (у, x8)-axg—ca&(y, у8) ■ avg + cos (у, -г8)-аг8 аг — cos (г, xg)-axg + cos (г, yg)-aug + cos (г, zg)-azg.

В матричной записи формулы будут иметь вид:

‘cos (х, xg) cos (х, yg) cos (х, zg) cos(у, xg) Cos (у, yg) cos(

.cos (г, xg) cos'(2, yg) cos (2, zg)

Косинусы, входящие в (1.10) и (1.11), называются направляющими косинусами. Формулу (1.J1) можно записать в сжатом вйде:

— матрица направляющих косинусов перехода от нормальных к связанным осям.

Верхний индекс х, хв матрицы М ’ 8 означает, что этой матрицей осуще­ствляется переход от системы координат OXgYgZa к системе OXYZ.

Значения направляющих косинусов могут быть выражены через тригономе­трические функции углов Эйлера путем последовательного поворота системы осей OXgYgZg до OXYZ.

совфсов© sin© — віпфсоз©

М*’ Xg = I sin ф sin у—cos ф sin © cos у cos © cos у cos ф sin у + sin ф sin © cos у.

|_sin ф cos y+cos ф sin © sin у —cos © sin у cos ф cos y—sin ф sin © sin у

(1.14)

Заметим, что для обратного перехода от системы OXYZ к OXgYgZg матрицу М*’ достаточно транспонировать, т. е. поменять местами ее строки и столбцы

MV * (М*-

так как в силу четности cos (х, Xg) = cos (xg, х) и т. п.

Аналогично можно записать матрицы перехода между любыми системами ко­ординат, ориентированными друг относительно друга определенной системой углов. Матрицы направляющих косинусов, необходимые при дальнейшем изложении курса, приведены в приложении (табл. I, II).