Общие вопросы синтеза линейных законов управления цифровых систем

Под синтезом законов управления понимается такой выбор их структуры, параметров и способа реализации, которые при задан­ных ограничениях на систему обеспечивают удовлетворение задан­ным требованиям. В тех случаях, когда на основании предъявляе­мых требований сформулирован критерий оптимальности, задача синтеза решается как вариационная задача.

Во многих получивших распространение подходах к синтезу цифровых законов управления задача синтеза сводится к надлежа­щему выбору передаточных функций замкнутой Ф(г) или разомкну­той W (z) систем за счет соответствующего выбора передаточных функций корректирующих устройств.

Управляющий сигнал и (рнс. 2.1) при использовании линейных законов управления в общем случае является функцией програм­много или задающего сигнала g, возмущения f, сигнала ошибки х и сигнала у, соответствующего состоянию объекта управления, т. е.

U(z)=D{z) X {z)—4e(z)G (z)— <?f(z)F {z)—4 (,z)Y (z), (2.1)

где D(z), фg(z), <p/(z), ‘Р(.г) — передаточные функции ющих корректирующих устройств.

Наиболее часто для формирования управляющего применяется сигнал ошибки.

Тогда передаточная функция замкнутой системы

Ф(~)_ W(-z) _ £i£lZoi£) — р(^)

1 +W(z) l+D(z)W0(z) Q(z)’

При заданной передаточной функции приведенной непрерывной (неизменяемой) части системы и выбранных Ф(г) или W(z) иско­мая передаточная функция корректирующего устройства D(z) на­ходится из (2.2):

U(z) _ 1_ Ф (г) _ Г (г)

Х{2) W0(z) 1-Ф(*) Щ(г)

В общем виде передаточную функцию D(z) можно представить

следующим образом:

£і£і ат + ат-1£ + Дт-2^2 + — +

X (г) bk + Ьь-г — j — 6ft-2^2 +… + b0zk

где m<k по условию физической реализуемости.

Примем для общности т=к, тогда для Ь$= соответствующее разностное уравнение будет иметь вид:

и п =а0х [я] -(-ахх п — 1] -|-… -(-атх [д — т 4*М [я — Ц 4*

—Ь2и[п — 2] + … + й*и п—k], (2.5)

или

и [я] = Vav. x[/z — v] —^Ьчип— v], (2.6)

о і

где т — число запоминаемых значений сигнала ошибки х k — чис­ло запоминаемых значений выходного сигнала и.

Таким образом, корректирующее устройство представляет собой рекурсивный цифровой фильтр.

Рассмотрим решение задачи синтеза корректирующего устройст­ва D(z) на основе формирования желаемой (надлежащей) переда­точной функции Ф(г) и W(г) по заданной приведенной передаточ­ной функции неизменяемой части системы Wq(z).

В результате факторизации передаточной функции W0(z) она записывается в виде

где В~(г), С~(г)—полиномы степени ||В-|| и ||С~||, нули которых

Р

асположены вне окружности единичного радиуса на плоскости z;

+ (z) и C+(z) полиномы, нули которых расположены внутри ука­занной окружности.

При формировании желаемой передаточной функции учитыва­ются условия физической реализуемости, устойчивости, грубости и обеспечения требуемых качественных показателей.

Условие грубости требует, чтобы функция Ф(г) содержала в ка­честве своих нулей все те нули передаточной функции W0(z), кото­рые расположены вне окружности единичного радиуса на плоскости z (включая границу), а функция [1—Ф(г)]— все полюсы функции WQ (z), расположенные вне окружности единичного радиуса на плос­кости г.

Таким образом для грубости управления желаемая передаточ­ная функция Ф(г) формируется в виде

где M(z), N(z), Q(z) —полиномы, соответствующим выбором кото­рых обеспечивается выполнение требуемых качественных показате­лей в дискретные моменты времени пТ.

Если нужно обеспечить требуемый процесс управления для дру­гих моментов времени и, кроме того, задан астатизм системы г-го порядка по задающему воздействию, то вместо выражений (2.8) ис­пользуются следующие:

Ф(?)— В (г) Мі (г) .

<?(*)

, Л/ ч (г-іГСГИ^і(г)

1 — Ф (Z) =———————

В (г) (г-!)’°C+(*)Cf(*) ’

где Mi(z), N(z), Q(z)—полиномы, соответствующий выбор кото­рых определяет получение требуемого процесса управления, причем астатизм (г—1) порядка обеспечивается за счет непрерывной части системы, т. е. функция Wq(z) должна иметь вид

і де Г0>г— 1.

Вид характеристического полинома Q(z) и полиномов M(z), N (z) или ЛІ і (z), N](z) выбирается на основании показателей каче­ства, предъявляемых к системе.

2.2. Синтез по критерию быстродействия

Здесь кратко рассмотрим особенности синтеза при требовании, чтобы переходный процесс в системе имел конечную и минимально возможную длительность.

Задаемся видом характеристического полинома замкнутой сис­темы

Q(z)=Zl, (2.11)

где I — целое положительное число, причем минимально возможная степень этого полинома IIQIImin=/min Для функций (2.8) равна

IMU„=/mln = l|Ci| + ||5-||, (2.12)

а для функций (2.9)

|IQLin=/m, n=llcr|l+||S||+r. (2.13)

Полиномы M(z) и N(z) желаемой передаточной функции (2.8) определяют из полиномиального уравнения

В~ (z) М (z)—C~ (z) N (z)=Q(z) (2.14)

развертыванием его в систему алгебраических уравнений и прирав­ниванием коэффициентов при одинаковых степенях z, причем

\N\>\B-\ и ||МЦ>||С-||-1. (2.15)

Полиномы Ліі (г) hIVi(z) функции (2.9) определяются аналогич­но из полиномиального уравнения

5(z)Mi(z) + (z — 1)ГСГ (z)Nl (z)=Q(z), (2.16)

где

\Ni\>№, ІИ1||>||СГЦ + г+ 1. (2.17)

Следует отметить, что минимальные степени полиномов M(z), N(z) и M(z), N{z) находятся по выражениям

ІМІНІДІІ, |1^|| = ||С-1||-1. (2.18)

Тогда

|M||-I|5||, И,|1-||С-‘Ц + г-1. (2.19)

Передаточные функции искомого корректирующего устройства для случая (2.8) или (2.9) соответственно определяются по выра­жениям:

D(z)= С+(г)ЛІ(г)., (2.20)

В+(г)К(г)

или *

(*-!)’•-‘С,+ (*) Л1, (2)

ЛТ((2)

При синтезе систем, оптимальных по быстродействию, может оказаться, что системы, имеющие конечную и минимально возмож­ную длительность переходного процесса, обладают малым запасом устойчивости. Поэтому следует делать оценку имеющегося запаса устойчивости. Если он окажется недостаточным, то величина ||QI| = =1 выбирается большей, чем I]Qllmln=^mln-

Естественно, что это приводит к повышению длительности пере­ходного процесса, хотя он сохраняется конечным, и необходимости увеличения степеней полиномов (2.18) и (2.19). Повышение запаса устойчивости достигается надлежащим выбором появляющихся при этом дополнительных коэффициентов.

Если отказаться от конечной длительности переходного процес­са, то характеристический полином замкнутой системы должен фор­мироваться не в виде (2.11), а, например, в виде

Q{z)=Zl~x(z — а),

или

Q(z) = (z— а)’,

где |а| <1.

Выбором а можно существенно повысить запас устойчивости за счет увеличения длительности переходного процесса. В качестве примера рассмотрим определение закона управления из условия, что система имеет конечную минимально возможную длительность переходного процесса и астатизм первого порядка по отношению к заданному воздействию. Передаточная функция приведенной не­прерывной (неизменяемой) части системы имеет вид yoW, 1.85 (^+°,18)

01 (г -1) (г-0,37)

і с минимально возможное время пере — Рис. 2.2. Схема переход — іі того процесса равно двум периодам ного процесса

пн крстности Т.

Ни пшомнальное уравнение типа (2.16) составляем в виде 1,85 (z + 0,18) /ге0+ (z — 1) (nxz +я0)=г2,

і и1 /Но, По, П — коэффициенты полиномов Mi(z) и N(z), миннмаль- м |,и степени которых в соответствии с (2.19)

ІМІМІСГЦ + Г — 1=0, 11^,11=11511= 1.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях г, находим i/hі -0,46, я0=0,15, «1=1, т. е. Мх (z) =0,46 и N(z) =z + 0,15.

Оікуда передаточная функция корректирующего устройства (•21)

D(z)- °’46 (г~°’37>

1 г +0,15

Передаточная функция всей замкнутой системы (2.9) ч_ 1,85-0,46 (г т 0,18) _ 0,85 (г +0,18)

г2

І Іереходньїй процесс рассматриваемой системы при ступенчатом inn и йствии на входе и нулевых начальных условиях показан на

рік 2.2.