ОПТИМАЛЬНОЕ РЕЗЕРВИРОВАНИЕ В СИСТЕМЕ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ КОМПЛЕКСОВ
Рассмотрим задачу оптимизации числа резервных элементов (ПУ или каких-либо агрегатов) в системе ЛК при следующих условиях. Пусть система ЛК включает в себя п одновременно работающих однотипных основных элементов, каждый из которых выполняет задачу самостоятельно с вероятностью Р. В системе имеется k одинаковых резервных элементов, используемых при отказе основных, причем допустима только однократная замена отказавшего основного элемента резервным. Будем полагать, что вероятность Рр выполнения задачи резервным элементом в общем случае не равна вероятности Р, причем отказы основных и резервных элементов независимы.
В этих условиях необходимо найти рациональную схему резервирования, а также оптимальное по какому-либо критерию количество резервных элементов. При условии, что допустима только однократная замена отказавших основных элементов, можно предложить две схемы резервирования: каждый из k резервных элементов дублирует заранее определенный основной элемент: каждый из k резервных элементов резервирует любой из основных (скользящий резерв).
Для выбора схемы резервирования и количества резервных элементов в качестве критерия можно принять среднюю вероятность выполнения задачи одним из п основных элементов при наличии k резервных
Рср = -^-(Р1 + Р2+…+РП), (8.121)
где Рл, Р2. …, Рп — вероятности выполнения задачи п элементами с учетом резервирования.
Для первой схемы резервирования с учетом независимости отказа
зов в соответствии с (2.160) для каждого из к дублированных элементов вероятность выполнения задачи составит Р | (I — Р)Рр, а для п — к нерезервированных — Р. Тогда средняя вероятность
Pop = — {/г IP + (1 — Р) Рр] + (п — к) Р} = Р + ± (1 — Р) Р„.
П 11
(8.122)
Сложнее найти величину Рср для случая скользящего резервирования, так как при этом необходимо: составить полную группу событий, включающих успешное А или неуспешное А выполнение задачи основным элементом; дополнить эти события возможными исходами А’, А’ использования резервных элементов с учетом однократной замены; найти вероятности этих событий и по ним рассчитать Рср с учетом общего числа успешно выполнивших задачу элементов (от 1 до п). Поясним эту схему примером для случая п = 5 и к = 3.
События и их вероятности представлены в табл. 8.2. Так как ус-
Таблица 8.2
|
пешное или неуспешное выполнение задачи любым из основных или резервных элементов равноценно, та события объединены в группы, отличающиеся только количеством отказов основных и резервных элементов.
В общем случае с учетом Рср 1см- (8.121)1 можно получить следующую зависимость для случая скользящего резервирования:
Сравнение выражений (8.122) и (8.123) показывает, что скользящее резервирование при сформулированных условиях и выбранном критерии (максимум величины Рср) всегда выгоднее, чем схема с жестким дублированием.
Перейдем далее к решению второй части поставленной задачи — определению оптимального количесґва резервных элементов. Полагаем, что известны СТОИМОСТИ С ОДНОҐ0 основного И Ср одного резервного элементов. В качестве критерия оптимальности примем минимум функции L(k) средней стоимости одного успешного решения задачи системой, включающей в себя п осн<2ВНЬ1Х и к резервных элементов. Функцию L(k) можно представить к0к отношение стоимости системы Сп + Ср/е к математическому ожид0нию числа успешных решений задачи Pcp(k)n:
V (k) = (Сп + Ct>k)/(PcP (*) п). (8.124)
Введем относительную стоимости одного резервного элемента Ср = Ср/С, при этом нормированная по С критериальная функция принимает вид
V С>Г(1- РрУ’Л; № J I п — і при s« 1 п — s + ^ * |
U (к)!С = L(k) = (1 +С„к/п)1РсР (к). (8.125)
Анализ задачи (8.126) показываем> что резервирование целесообразно по принятому критерию тогдЯ > когда средняя стоимость ус
пешного выполнения задачи в резервированной системе меньше, чем соответствующая стоимость в нерезервированной, где Р(.,,(/<: = 0) = = Р, т. е. при выполнении условия
(1 + Cvk/n)/Pcp (ft) < 1 IP. (8.127)
На рис. 8.8 показано изменение функции Рср(/г), рассчитанной по (8.123) при п = 9; Р = 0,90; Pv = 0,8 (пунктирная) и Рр = 0,9 (сплошная линия).
Результаты решения задачи оптимизации (8.126) при п = 9; Р — = 0,9; Ср = 0,3 и 0,5; Pv = 0,8 (пунктирная линия) и Рр = 0,9 (сплошная) приведены на рис. 8.9. Из графиков видно, что оптимальный вариант в этих условиях соответствует одному резервному элементу в системе.
1 . р-*»/2 /2- (см. табл. П.2) |
(In г — In *»)* 2т2 Z |
1п Хп и о — — математическое ожидание ^и среднее квадратическое отклонение случайной величины Z; ,2 г 2 тх — хо е ; в* — т* /(тдг/^о)2 —_1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
-Р* (1 —Р)п~х |
= *) .12) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
П. З. Значения функции нормального распределения
X
Фо(А:)=171Г J е~ tm’dt
—оо
Таблица П. З
|
X |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
В |
9 |
|
4,1 |
0,94 |
7934 |
8022 |
8106 |
8186 |
8264 |
8338 |
8409 |
8477 |
8542 |
8605 |
4,2 |
0,94 |
8665 |
8723 |
8778 |
8832 |
8882 |
8931 |
8978 |
9023 |
9066 |
9107 |
4,3 |
0,96 |
1460 |
1837 |
2198 |
2544 |
2876 |
3193 |
3497 |
3788 |
4066 |
4332 |
4,4 |
0,9г, |
4588 |
4832 |
5065 |
5288 |
5502 |
5706 |
5902 |
6089 |
6268 |
6439 |
4,5 |
0,96 |
6602 |
6759 |
6908 |
7051 |
7187 |
7318 |
7442 |
7561 |
7675 |
7784 |
4,6 |
0,96 |
7888 |
7987 |
8081 |
8172 |
8258 |
8340 |
8419 |
8494 |
8566 |
8634 |
4,7 |
0,95 |
8699 |
8761 |
8821 |
8877 |
8931 |
8983 |
9032 |
9079 |
9124 |
9166 |
4,8 |
0,96 |
2067 |
2454 |
2822 |
3173 |
3508 |
3827 |
4131 |
4420 |
4696 |
4958 |
4,9 |
0,96 |
5208 |
5446 |
5673 |
5888 |
6094 |
6289 |
6475 |
6652 |
6821 |
6981 |
5,0 |
0 ,9в |
7134 |
7278 |
7416 |
7548 |
7672 |
7791 |
7904 |
8011 |
8113 |
8210 |
5,1 |
0,96 |
8302 |
8389 |
8472 |
8551 |
8626 |
8698 |
8765 |
8830 |
8891 |
8949 |
5,2 |
0,9, |
004 |
056 |
105 |
152 |
197 |
240 |
280 |
318 |
354 |
388 |
5,3 |
0,97 |
421 |
452 |
481 |
509 |
539 |
560 |
584 |
606 |
628 |
648 |
5,4 |
0,97 |
667 |
685 |
702 |
718 |
734 |
748 |
762 |
775 |
787 |
799 |
5,5 |
0,9, |
810 |
821 |
831 |
840 |
849 |
857 |
865 |
873 |
880 |
886 |
5,6 |
0,9, |
893 |
899 |
905 |
910 |
915 |
920 |
924 |
929 |
933 |
936 |
5,7 |
0,98 |
40 |
44 |
47 |
50 |
53 |
55 |
58 |
60 |
63 |
65 |
5,8 |
0 ,98 |
67 |
69 |
71 |
72 |
74 |
75 |
77 |
78 |
79 |
81 |
5,9 |
0,98 |
82 |
83 |
84 |
85 |
86 |
87 |
87 |
88 |
89 |
90 |
Примечания: 1. Для отрицательных значений аргумента С>0 (— х) =1 — Ф„ (х). 2. Индекс у цифры 9 означает ее повторение, например при х = 3,95 имеем ф„ (х) — = 0.946092 ■= 0,99996092. " ‘ ‘ |
П.4. Значения квантилей нормального распределения
ф° (ы<) 1 е 2 ai=r’ u’-i = — ит
Т а блица П.4
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а
|
оо
ал ~хГ Таблица П.6
|
а |
||||||||||
т |
3,1 |
3,2 |
3,3 |
3,4 |
3,5 |
3,6 |
3,7 |
3,8 |
3,8 |
4.0 |
0 |
1,0000 |
0000 |
0000 |
0000 |
0000 |
0000 |
0000 |
0000 |
0000 |
0000 |
1 |
0,9550 |
9592 |
9631 |
9666 |
9698 |
9727 |
9753 |
9776 |
9798 |
9817 |
2 |
8153 |
8288 |
8414 |
8532 |
8641 |
8743 |
8838 |
8926 |
9008 |
9084 |
3 |
5988 |
6201 |
6406 |
6603 |
6792 |
6973 |
7146 |
7311 |
74 69 |
7619 |
4 |
3752 |
3975 |
4197 |
4416 |
4634 |
4848 |
5058 |
5265 |
5468 |
5665 |
5 |
2018 |
2194 |
2374 |
2558 |
2746 |
2936 |
3128 |
3322 |
3516 |
3712 |
6 |
0943 |
1054 |
1171 |
1295 |
1424 |
1559 |
1699 |
1844 |
1994 |
2149 |
7 |
0388 |
0446 |
0510 |
0579 |
0653 |
0733 |
0818 |
0909 |
1005 |
1107 |
8 |
0142 |
0168 |
0198 |
0231 |
0267 |
0308 |
0352 |
0401 |
0454 |
0511 |
9 |
0047 |
0057 |
0069 |
0083 |
0099 |
0117 |
0137 |
0160 |
0185 |
0214 |
10 |
0014 |
0018 |
0022 |
0027 |
0033 |
0040* |
0048 |
0058 |
0069 |
0081 |
11 |
0004 |
0005 |
0006 |
0008 |
0010 |
0013 |
0016 |
0019 |
0023 |
0028 |
12 13 14 |
0001 |
0001 |
0002 |
0002 0001 |
0003 0001 |
0004 0001 |
0005 0001 |
0006 0002 |
0007 0002 0001 |
0009 0003 0001 |
Продолжение табл. П.6
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Е
к
га
а
о
к
п
CD
п 5
О.
S а
О)
2 Г[(/Ч-1)/2]
^ (k/2)
7 <к *Ц
Яи-хГ-
т |
|||||||||
к |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
0,95 |
0,98 |
0,99 |
0,999 |
і |
1,000 |
1,376 |
1,963 |
3,078 |
6,314 |
12,706 |
31,821 |
63,657 |
636,619 |
2 |
0,816 |
1,061 |
1,336 |
1,886 |
2,920 |
4,303 |
6,965 |
9,965 |
31,598 |
3 |
0,765 |
0,978 |
1,250 |
1,638 |
2,353 |
3,181 |
4,541 |
5,841 |
12,941 |
4 |
0,741 |
0,941 |
1,190 |
1,533 |
2,132 |
2.776 |
3,747 |
4,604 |
8,610 |
5 |
0,727 |
0,920 |
1,156 |
1,476 |
2,015 |
2,571 |
3,365 |
4,032 |
6,869 |
6 |
0,718 |
0,906 |
1,134 |
1,440 |
1,943 |
2,447 |
3,143 |
3,707 |
5,959 |
7 |
0,711 |
0,896 |
1.119 |
1,415 |
1,895 |
2,365 |
2,998 |
2,499 |
5,405 |
8 |
0,706 |
0,889 |
1,108 |
1,397 |
1,860 |
2,306 |
2,896 |
3,355 |
5,041 |
9 |
0,703 |
0,883 |
1,100 |
1,383 |
1,833 |
2,262 |
2,821 |
3,250 |
4,781 |
10 |
0,700 |
0,879 |
1,093 |
1,372 |
1,812 |
2,228 |
2,764 |
3,169 |
4,587 |
12 |
0,695 |
0,873 |
1,08.3 |
1,356 |
1,782 |
2,179 |
2,681 |
3,055 |
4,318 |
14 |
0,692 |
0,868 |
1,076 |
1,345 |
1,761 |
2,145 |
2,624 |
2,977 |
4,140 |
16 |
0,690 |
0,865 |
1,071 |
1,337 |
1 ,746 |
2,120 |
2,583 |
2,921 |
4,015 |
18 |
0,688 |
0,862 |
1,067 |
1,330 |
1,734 |
2,101 |
2,552 |
2,878 |
3,922 |
20 |
0,687 |
0,860 |
1,064 |
1,325 |
1,725 |
2,086 |
2,528 |
2,845 |
3,850 |
25 |
0,684 |
0,856 |
1,058 |
1,316 |
1,708 |
2,060 |
2,485 |
2,787 |
3,725 |
30 |
0,683 |
0,854 |
1,055 |
1,310 |
1,697 |
2,042 |
2,457 |
2,750 |
3,646 |
60 |
0,679 |
0,848 |
1,046 |
1,296 |
1,671 |
2,000 |
2,390 |
2,660 |
3,460 |
ОО |
0,674 |
0,842 |
1,036 |
1,282 |
1,645 |
1,960 |
2,326 |
2,576 |
3,291 |
П. 10. Значения верхнего и нижнего доверительных пределов для оценки параметра Р биномиального распределения с коэффициентом доверия Ті = 0,95 (2п— 1=г = 0,90) |
Таблица П.10
|
Л т |
||||||||||
п—т |
I |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
6 |
0,993 0,479 |
0,954 0,400 |
0,902 0,345 |
0,850 0,304 |
0,800 0,271 |
0,755 0,245 |
0,713 0,224 |
0,675 0,206 |
0,640 0,191 |
0,609 0,178 |
7 |
0,994 0,529 |
0,959 0,450 |
0,913 0,393 |
0,865 0,350 |
0,819 0,315 |
0,776 0,287 |
0,736 0,264 |
0,700 0,244 |
0,666 0,227 |
0,636 0,212 |
8 |
0,994 0,571 |
0,963 0,493 |
0,921 0,436 |
0,877 0,391 |
0,834 0,355 |
0,794 0,325 |
0,756 0,300 |
0,721 0,279 |
0,689 0,260 |
0,659 0,244 |
9 |
0,995 0,606 |
0,967 0,530 |
0,928 0,473 |
0,887 0,427 |
0,847 0,390 |
0,801 0,360 |
0,773 0,334 |
0,740 0,311 |
0,709 0,291 |
0,680 0,274 |
10 |
0,995 0,636 |
0,970 0,562 |
0,934 0,505 |
0,896 0,460 |
0,858 0,423 |
0,822 0,391 |
0,788 0,364 |
0,756 0,341 |
0,726 0,320 |
0,698 0,302 |
11 |
0,996 0,661 |
0,972 0,590 |
0,939 0,534 |
0,903 0,489 |
0,868 0,452 |
0,834 0,420 |
0,801 0,392 |
0,770 0,368 |
0,741 0,347 |
0,714 0,328 |
12 |
0,996 0,864 |
0,974 0,615 |
0,943 0,560 |
0,910 0,516 |
0,876 0,478 |
0,844 0,446 |
0,812 0,418 |
0,783 0,393 |
0,755 0,372 |
0,729 0,353 |
13 |
0,996 0,703 |
0,976 0,637 |
0,947 0,583 |
0,915 0,539 |
0,884 0,502 |
0,852 0,470 |
0,823 0,442 |
0,794 0,417 |
0,767 0,395 |
0,742 0,375 |
14 |
0,997 0,721 |
0,977 0,656 |
0,950 0,604 |
0,920 0,561 |
0,890 0,524 |
0,860 0,492 |
0,832 0,464 |
0,804 0,439 |
0,778 0,417 |
0,754 0,397 |
15 |
0,997 0,736 |
0,979 0,674 |
0,953 0,623 |
0,925 0,581 |
0,896 0,544 |
0,868 0,512 |
0,840 0,484 |
0,814 0,460 |
0,788 0,437 |
0,764 0,417 |
16 |
0,997 0,750 |
0,980 0,690 |
0,956 0,640 |
0,929 0,599 |
0,901 0,563 |
0,874 0,531 |
0,848 0,503 |
0,822 0,478 |
0,798 0,456 |
0,774 0,436 |
17 |
0,997 0,762 |
0,981 0,704 |
0,958 0,656 |
0,932 0,615 |
0,906 0,580 |
0,880 0,549 |
0,854 0,521 |
0,830 0,496 |
0,806 0,474 |
0,783 0,453 |
18 |
0,997 0,773 |
0,982 0,717 |
0,960 0,671 |
0,935 0,631 |
0,910 0,596 |
0,885 0,565 |
0,860 0,538 |
0,837 0,513 |
0,814 0,490 |
0,792 0,470 |
19 |
0,997 0,784 |
0,983 0,729 |
0,962 0,684 |
0,938 0,645 |
0,914 0,611 |
0,890 0,580 |
0,866 0,553 |
0,843 0,528 |
0,821 0,506 |
0,800 0,486 |
20 |
0,998 0,793 |
0,984 0,741 |
0,964 0,696 |
0,941 0,658 |
0,918 0,625 |
0,894 0,594 |
0,872 0,568 |
0,849 0,543 |
0,828 0,521 |
0,807 0,500 |
22 |
0,998 0,810 |
0,985 0,760 |
0,966 0,718 |
0,945 0,682 |
0,924 0,649 |
0,902 0,620 |
0,881 0,594 |
0,860 0,570 |
0,839 0,548 |
0,820 0,528 |
24 |
0,998 0,824 |
0,986 0,777 |
0,969 0,737 |
0,950 0,702 |
0,930 0,671 |
0,909 0,643 |
0,889 0,617 |
0,869 0,594 |
0,850 0,572 |
0,831 0,552 |
26 |
0,998 0,836 |
0,987 0,792 |
0,971 0,754 |
0,953 0,720 |
0,934 0,690 |
0,915 0,663 |
0,896 0,638 |
0,877 0,615 |
0,859 0,594 |
0,841 0,574 |
28 |
0,998 0,846 |
0,988 0,804 |
0,973 0,767 |
0,956 0,736 |
0,938 0,707 |
0,920 0,681 |
0,902 0,657 |
0,884 0,634 |
0,867 0,614 |
0,850 0,594 |
30 |
0,998 0,856 |
0,989 0,816 |
0,975 0,782 |
0,959 0,751 |
0,942 0,723 |
0,925 0,697 |
0,908 0,674 |
0,891 0,652 |
0,874 0,632 |
0,858 0,613 |
35 |
0,999 0,874 |
0,990 0,839 |
0,978 0,808 |
0,964 0,780 |
0,949 0,755 |
0,934 0,731 |
0,919 0,710 |
0,904 0,689 |
0,889 0,670 |
0,874 0,652 |
Л |
Л т |
|||||||||
п—т |
I |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
У |
К) |
40 |
0,999 |
0,991 |
0,981 |
0,968 |
0,955 |
0,942 |
0,928 |
0,914 |
0,901 |
0,887 |
0,889 |
0,857 |
0,829 |
0,804 |
0,780 |
0,758 |
0,738 |
0,719 |
0,701 |
0,684 |
|
45 |
0,999 |
0,992 |
0,983 |
0,972 |
0,960 |
0,948 |
0,935 |
0,923 |
0,910 |
0,898 |
0,901 |
0,872 |
0,846 |
0,822 |
0,801 |
0,781 |
0,762 |
0,744 |
0,727 |
0,711 |
|
50 |
0,999 |
0,993 |
0,984 |
0,974 |
0,964 |
0,952 |
0,941 |
0,930 |
0,918 |
0,907 |
0,910 |
0,883 |
0,860 |
0,838 |
0,818 |
0,799 |
0,782 |
0,764 |
0,759 |
0,733 |
|
60 |
0,999 |
0,994 |
0,987 |
0,978 |
0,969 |
0,960 |
0,950 |
0,940 |
0,930 |
0,920 |
0,925 |
0,902 |
0,882 |
0 863 |
0,845 |
0,828 |
0,813 |
0,798 |
0,783 |
0,770 |
П.11. Значения нижнего доверительного предела оценки параметра Р биномиального распределения с коэффициентам доверия Хі при п подряд успешных испытаниях |
Таблица П.11
|
г (д )
0, 90864
0,91057
0,91258
0,91467
0,91683
0,91906
0,92137
0,92376
0,92623
0,92877
0,93138
0,93408
0,93685
0,93969
0,94261
0,94561
0,94869
0,95184
0,95507
0,95838
0,96177
0,96523
0,96877
0,97240
0,97610
0,97988
0,98374
0,98768
0,99171
0,99581
1,00000
Г (х) = Г (х + 1)/*; Г (х) = (х — 1) Г (х— 1).
Для х = п целых положительных чисел
І» = (П— 1)!, (0! = Г (I) = 1).
П. 13. Значения функции ип_2 (у, X), используемой для расчета
доверительных зон линий регрессии
Y = 0,90
Таблица П. 13
х
|
л-2 |
0,55 |
0,60 |
0,65 |
0,70 |
0,75 |
0,80 |
0,85 |
0,90 |
0,95 |
1,00 |
1 |
8,976 |
9,142 |
9,294 |
9,434 |
9,561 |
9,674 |
9,772 |
9,854 |
9,916 |
9,950 |
2 |
3,855 |
3,919 |
3,978 |
4,033 |
4,083 |
4,129 |
4,169 |
4,202 |
4,228 |
4,243 |
3 |
3,015 |
3,061 |
3,105 |
3,146 |
3,184 |
3,218 |
3,248 |
3,274 |
3,294 |
3,305 |
4 |
2,689 |
2,728 |
2,766 |
2,801 |
2,834 |
2,864 |
2,891 |
2,913 |
2,931 |
2,941 |
5 |
2,517 |
2,554 |
2,588 |
2,620 |
2,650 |
2,678 |
2,703 |
2,724 |
2,740 |
2,749 |
6 |
2,412 |
2,446 |
2,478 |
2,509 |
2,538 |
2,564 |
2,587 |
2,607 |
2,623 |
2,632 |
7 |
2,341 |
2,374 |
2,405 |
2,434 |
2,462 |
2,487 |
2,509 |
2,529 |
2,545 |
2,552 |
8 |
2,290 |
2,322 |
2,352 |
2,381 |
2,407 |
2,432 |
2,453 |
2,472 |
2,487 |
2,495 |
9 |
2,252 |
2,283 |
2,312 |
2,340 |
2,366 |
2,390 |
2,411 |
2,430 |
2,444 |
2,452 |
10 |
2,222 |
2,252 |
2,281 |
2,308 |
2,333 |
2,357 |
2,378 |
2,397 |
2,411 |
2,418 |
11 |
2,198 |
2,227 |
2,256 |
2,283 |
2,308 |
2,331 |
2,352 |
2,370 |
2,384 |
2,392 |
12 |
2,178 |
2,207 |
2,235 |
2,262 |
2,287 |
2,310 |
2,330 |
2,348 |
2,362 |
2,369 |
13 |
2,162 |
2,190 |
2,218 |
2,244 |
2,269 |
2,292 |
2,312 |
2,330 |
2,343 |
2,351 |
14 |
2,148 |
2,176 |
2,203 |
2,229 |
2,254 |
2,276 |
2,297 |
2,314 |
2,328 |
2,335 |
15 |
2,136 |
2,164 |
2,191 |
2,217 |
2,241 |
2,263 |
2,283 |
2,301 |
2,314 |
2,322 |
X |
||||||||||
п—2 |
||||||||||
0,55 |
0,60 |
0,65 |
0,70 |
0,75 |
0,80 |
0,85 |
0,90 |
0,95 |
1,00 |
|
16 |
2,125 |
2,153 |
2,180 |
2,206 |
2,230 |
2,252 |
2,272 |
2,289 |
2,303 |
2,310 |
17 |
2,116 |
2,144 |
2,171 |
2,196 |
2,220 |
2,242 |
2,262 |
2,279 |
2,293 |
2,300 |
18 |
2,108 |
2,136 |
2,162 |
2,187 |
2,211 |
2,233 |
2,253 |
2,270 |
2,284 |
2,291 |
19 |
2,101 |
2,128 |
2,155 |
2,180 |
2,203 |
2,225 |
2,245 |
2 262 |
2,276 |
2,283 |
20 |
2,095 |
2,122 |
2,148 |
2,173 |
2,196 |
2,218 |
2,238 |
2,255 |
2,268 |
2,276 |
25 |
2,071 |
2,097 |
2,123 |
2,147 |
2,170 |
2,192 |
2,211 |
2,228 |
2,241 |
2,249 |
ЗЗ1/, |
2,047 |
2,073 |
2,098 |
2,122 |
2,145 |
2,166 |
2,185 |
2,202 |
2,215 |
2,222 |
50 |
2,024 |
2,050 |
2,074 |
2,098 |
2,120 |
2,141 |
2,160 |
2,176 |
2,189 |
2,196 |
100 |
2,002 |
2,026 |
2,050 |
2,074 |
2,096 |
2,116 |
2,135 |
2,151 |
2,164 |
2,171 |
ОО |
1,979 |
2,004 |
2,027 |
2,050 |
2,072 |
2,092 |
2,110 |
2,126 |
2,139 |
2,146 |
7 = 0,95
п—2
|
X |
||||||||||
п-2 |
0,55 |
0,60 |
0,05 |
0,70 |
0,75 |
0,80 |
0,85 |
0,90 |
0,9!» |
1,00 |
1 |
18,025 |
18,355 |
18,661 |
18,941 |
19,195 |
19,422 |
19,619 |
19,782 |
19,907 |
29,975 |
2 |
5 *612 |
5,701 |
5,785 |
5,864 |
5,935 |
6,000 |
6,058 |
6,107 |
6,144 |
6,164 |
з |
4 000 |
4,059 |
4,114 |
4,166 |
4,216 |
4,258 |
4,297 |
4,330 |
4,356 |
4,371 |
4 |
3,422 |
3,469 |
3,514 |
3,556 |
3,596 |
3,632 |
3,664 |
3,692 |
3,714 |
3,727 |
5 |
3,132 |
3,173 |
3,212 |
3,249 |
3,284 |
3,316 |
3,345 |
3,371 |
3,390 |
3,402 |
6 |
2,958 |
2,995 |
3,031 |
3,065 |
3,097 |
3,127 |
3,154 |
3,178 |
3,197 |
3,207 |
7 |
2,842 |
2,877 |
2,911 |
2,943 |
2,974 |
3,002 |
3,028 |
3,051 |
3,068 |
3,078 |
8 |
2’760 |
2,793 |
2,826 |
2,856 |
2,886 |
2,913 |
2,938 |
2,959 |
2,976 |
2,986 |
9 |
2,699 |
2,731 |
2,762 |
2,792 |
2,820 |
2,846 |
2,870 |
2,891 |
2,908 |
2,918 |
10 |
2,650 |
2,681 |
2,712 |
2,741 |
2,768 |
2,794 |
2,818 |
2.838 |
2,855 |
2,865 |
11 |
2,613 |
2,643 |
2,673 |
2,701 |
2,728 |
2,753 |
2,777 |
2,797 |
2,813 |
2,823 |
12 |
2,582 |
2,612 |
2,641 |
2,669 |
2,695 |
2,720 |
2,743 |
2,763 |
2,779 |
2,788 |
13 |
2,557 |
2,586 |
2,614 |
2,642 |
2,668 |
2,692 |
2,715 |
2,734 |
2,750 |
2,759 |
14 |
2,536 |
2,564 |
2,592 |
2,619 |
2,645 |
2,669 |
2,691 |
2,710 |
2,726 |
2,735 |
15 |
2,517 |
2,545 |
2,573 |
2,599 |
2,625 |
2,649 |
2,671 |
2,690 |
2,706 |
2,714 |
16 |
2,501 |
2,529 |
2,556 |
2,583 |
2,608 |
2,631 |
2,653 |
2,672 |
2,688 |
2,696 |
17 |
2,487 |
2,515 |
2,542 |
2,568 |
2,593 |
2,616 |
2,638 |
2,657 |
2,672 |
2,680 |
18 |
2,475 |
2,502 |
2,529 |
2,555 |
2,579 |
2,603 |
2,624 |
2,643 |
2,658 |
2,666 |
19 |
2,464 |
2,491 |
2,518 |
2,543 |
2,568 |
2,591 |
2,612 |
2,631 |
2,646 |
2,654 |
20 |
2,455 |
2,481 |
2,508 |
2,533 |
3,557 |
2,580 |
2,601 |
2,620 |
2,635 |
2,643 |
25 |
2,418 |
2,444 |
2,470 |
2,494 |
2,518 |
2,540 |
2,561 |
2,579 |
2,594 |
2,602 |
33 і/., |
2,383 |
2,408 |
2,432 |
2,456 |
2,479 |
2,501 |
2,521 |
2,539 |
2,554 |
2,562 |
50 “ |
2,348 |
2,372 |
2,396 |
2,419 |
2,442 |
2,463 |
2,483 |
2,501 |
2,515 |
2,523 |
100 |
2,314 |
2,338 |
2,361 |
2,384 |
2,405 |
2,426 |
2,446 |
2,463 |
2,477 |
2,485 |
ОО |
2,281 |
2,304 |
2,327 |
2,349 |
2,370 |
2,390 |
2,409 |
2,426 |
2,440 |
2,448 |
^ Тчг ^ ^ Тгв * • • ^ bt ^ НВ ^ ^тВ ^
О tj іц t2 t2g t(i-‘i)g t-Li i/n tmB ^
Рис. 2.13. Модель функционирования элемента, восстанавливаемого за конечное время
становления имеет конечные случайные значения, зависящие как от свойств элемента, так и от характеристик персонала, ведущего восстановление, организации работ, наличия ЗИП и других объективных и субъективных факторов. Заметим, что при описании показателей надежности элементов с конечным временем восстановления нельзя ограничиться только использованием характеристик техники или вооружения, но нужно знать параметры организационной системы, включающей технику и эксплуатирующих ее людей. Этот факт часто игнорируют в руководящих документах, в частности в ГОСТ 13377—75 (см. 124]), определяющем надежность как свойство только техники.
Представим модель функционирования элемента (рис. 2.13) в следующем виде: работоспособный в момент t — 0 элемент функционирует в течение случайного времени Xj до первого отказа, фиксируемого достоверно в момент ti = хь затем в течение случайного времени т)в восстанавливается полностью до состояния, в котором находился и момент t = 0, и работает случайное время т2 до второго отказа, фиксируемого достоверно в момент ^2 = ті + чв + т2, затем восстанавливается за случайное время х2в до начального состояния, и т. д. Моменты
— т! + Т1в + т2 + Г2к + ■ ■ ‘ + тг + тгв + ■ • ■ + Гт (т= 1,2, … )
(2.125)
составляют поток отказов, а моменты
Лвв : “Г т1в -]- Т2 Х2в — Г • •• ~Т ti ~1~ ^гв ""Ь ••• “Ь tm — f — TmB
(т = 1,2,…) (2:126)
образуют поток восстановлений элемента.
Будем полагать, что все случайные величины rt = т и тгв = тв (i = 1, 2, …, т) независимы, а также что у всех величин хг = х одинаковый закон распределения F(t) — Я(х< t) с математическим ожи — данием Mir] = Tt и средним квадратическим отклонением Oi = l/’ Dir], а также все величины х*в — хв распределены одинаково с
[3]я=»2 (2.20ц
1=1
элементов.
Если все основные и резервные элементы в обеих системах имеют одинаковые надежности и отказы их возникают независимо, то вторая система, у которой масштаб скользящего резервирования больше, имеет и большую надежность.
Получим формулы для расчета надежности этих с истей для случая нагруженного резерва в предположении, что надежности всех основных и резервных элементов равны Pi. Для первой схемы в соответствии с (2.197) надежность і-й подсистемы
[4] (a 1) (Pl2*2 Pljtr,) — j — (b 1) (1 P21P12) ^3 _
A
«
= 1 + [(«— l)(Pi2^ + PiJb)+{b— 1)(1 — PvPitW/A — (7.167)
В качестве средних затрат в единицу времени ПМП можно рассмат-
1q> — + (b — 1) ( 1 — РщАмпп) ТВ
тмпп + Лін + тв _ Рмпп [твРпп + "пп (1—^ппі/^г + “з)]
(7.169)
Для рассматриваемой задачи (7.169) с учетом обозначений (7.155)—
(7.157) зависит от характеристик процесса тМпп, тв, тПп, ю4, со2, «з, образующих вектор X оптимизируемых параметров. От этих же величин зависят вероятности р, — р5, определяемые выражениями (7.159)—
(7.163) .
Прежде чем сформировать функцию (7.104) или (7.108) ограничений GPi(X)], і — 1,2 5, и поставить задачу оптимизации, проанали
зируем характер изменения вероятностей Pt и целевой функции С от оптимизируемых параметров.
Вероятность pt пребывания одноканального ЛК в работоспособном состоянии, в готовности к применению представляет собой в соответствии с определением, данным в § 3.2, коэффициент готовности комплекса /С пп, учитывающий процесс проведения ПП. Поскольку в данной задаче рассматриваются состояния, связанные только с проведением ПП, и не учтены возможные снижения готовности для устранения неисправностей при РП, то величина /Сгпп несколько больше, чем полный коэффициент готовности ЛК [величина Кг (3.21)], в котором учитываются все внеплановые снижения готовности ЛК. Таким образом, величина Pi = /Сгпп может задаваться непосредственно как одно из возможных ограничений.
Важная характеристика системы ПП — вероятность Р3 пребывания в состоянии 3 (в) восстановления ЛК. Чем выше вероятность Р3, гем меньше коэффициент готовности ЛК, однако величина Р3 определяет не столько готовность ЛК к применению, сколько загруженность персонала, ведущего эксплуатацию, ремонтно-восстановительными работами. Поэтому вероятность Ps может рассматриваться как самостоятельное ограничение.
Вероятность Р4 пребывания в состоянии скрытого отказа линейно связана с величиной /Сгпп [см. (7.159) и (7.162)], поэтому ее можно исключить из функции ограничений, оставив только ограничение на величину Pi.