ОПТИМАЛЬНОЕ РЕЗЕРВИРОВАНИЕ В СИСТЕМЕ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ КОМПЛЕКСОВ

Рассмотрим задачу оптимизации числа ре­зервных элементов (ПУ или каких-либо агрегатов) в системе ЛК при следующих условиях. Пусть система ЛК включает в себя п одно­временно работающих однотипных основных элементов, каждый из которых выполняет задачу самостоятельно с вероятностью Р. В сис­теме имеется k одинаковых резервных элементов, используемых при отказе основных, причем допустима только однократная замена от­казавшего основного элемента резервным. Будем полагать, что ве­роятность Рр выполнения задачи резервным элементом в общем слу­чае не равна вероятности Р, причем отказы основных и резервных элементов независимы.

В этих условиях необходимо найти рациональную схему резер­вирования, а также оптимальное по какому-либо критерию коли­чество резервных элементов. При условии, что допустима только однократная замена отказавших основных элементов, можно пред­ложить две схемы резервирования: каждый из k резервных элементов дублирует заранее определенный основной элемент: каждый из k резервных элементов резервирует любой из основных (скользящий резерв).

Для выбора схемы резервирования и количества резервных эле­ментов в качестве критерия можно принять среднюю вероятность выполнения задачи одним из п основных элементов при наличии k резервных

Рср = -^-(Р1 + Р2+…+РП), (8.121)

где Рл, Р2. …, Рп — вероятности выполнения задачи п элементами с учетом резервирования.

Для первой схемы резервирования с учетом независимости отка­за

зов в соответствии с (2.160) для каждого из к дублированных эле­ментов вероятность выполнения задачи составит Р | (I — Р)Рр, а для п — к нерезервированных — Р. Тогда средняя вероятность

Pop = — {/г IP + (1 — Р) Рр] + (п — к) Р} = Р + ± (1 — Р) Р„.

П 11

(8.122)

Сложнее найти величину Рср для случая скользящего резер­вирования, так как при этом необходимо: составить полную группу событий, включающих успешное А или неуспешное А выполнение задачи основным элементом; дополнить эти события возможными исходами А’, А’ использования резервных элементов с учетом одно­кратной замены; найти вероятности этих событий и по ним рассчитать Рср с учетом общего числа успешно выполнивших задачу элементов (от 1 до п). Поясним эту схему примером для случая п = 5 и к = 3.

События и их вероятности представлены в табл. 8.2. Так как ус-

Таблица 8.2

№ групп событий

Группа событий

Число событий в группе

Вероятность группы событий

Общее ЧИСЛО не отказав­ших элемен­тов

1

ААААА

4=1

4ps

5

2

АААААА’

С| = 5

с! р*(1-Р)Рр

5

3

ІААААА’

4 = 5

С5Р4 (1 — 8) (1 — Рр)

4

4

АААААА’А’

4 = ю

4р3(1 —Р)-Р 1

5

5

АААААА’А’

2С =20

2С|р3 (1 — Р)3 Рр(1-Рр)

4

6

А АЛ А АЛ А’

С? =10

С|Р3(1 — Р)3(1—Рр)3

3

7

АААААА’А’А’

ЗС3=Ю

с|р2 ( 1 — Р)3 рЗ

5

8

АААААА’А’А’

ЗС| =30

ЗСІ-Р2 (1 — Р)3 Рр (1 — Рр)

4

9

АААААА’А’А’

ЗС3 =30

зф2(1 — Р)3Рр(1 — Рр)2

3

10

АААААА’А’АТ

С53=10

С3р2(1_р)3(1_рр)3

2

11

АААААА’А’А’

4 = 5

4р(| — Р)4Р^

4

12

АААААА’А’А’

ЗС5 =15

ЗС5Р (1 — Р)4рр (1 — Рр)

3

13

АААААА’А’А’

IC5 =15

З^Р(1-Р)«Рр(1-Рр)3

2

14

aaaaaT’a’a’

65 = 5

СдР (1 — Р)4 (1 —- Рр)3

1

15

АААААА’А’А’

cf=l

4(i—р)5 Рр

3

16

АААААА’А’А’

set = 3

з4(1-р)5р2(1-рр)

2

17

АААААА’А’А’

зс| = з

з4(і-р)5 Pp(i-Pp)2

1

18

АААААА’А’ А!

4=1

4 (і — р)5 (і — р р)3

0

пешное или неуспешное выполнение задачи любым из основных или резервных элементов равноценно, та события объединены в группы, отличающиеся только количеством отказов основных и резервных элементов.

image215,image216 Подпись: (8.123)

В общем случае с учетом Рср 1см- (8.121)1 можно получить сле­дующую зависимость для случая скользящего резервирования:

Сравнение выражений (8.122) и (8.123) показывает, что скользя­щее резервирование при сформулированных условиях и выбранном критерии (максимум величины Рср) всегда выгоднее, чем схема с жестким дублированием.

Перейдем далее к решению второй части поставленной задачи — определению оптимального количесґва резервных элементов. Пола­гаем, что известны СТОИМОСТИ С ОДНОҐ0 основного И Ср одного резерв­ного элементов. В качестве критерия оптимальности примем минимум функции L(k) средней стоимости одного успешного решения задачи системой, включающей в себя п осн<2ВНЬ1Х и к резервных элементов. Функцию L(k) можно представить к0к отношение стоимости системы Сп + Ср/е к математическому ожид0нию числа успешных решений задачи Pcp(k)n:

V (k) = (Сп + Ct>k)/(PcP (*) п). (8.124)

Введем относительную стоимости одного резервного элемента Ср = Ср/С, при этом нормированная по С критериальная функция принимает вид

V С>Г(1- РрУ’Л;

J

I п — і при s«

1 п — s + ^ *

ОПТИМАЛЬНОЕ РЕЗЕРВИРОВАНИЕ В СИСТЕМЕ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ КОМПЛЕКСОВ

U (к)!С = L(k) = (1 +С„к/п)1РсР (к). (8.125)

Анализ задачи (8.126) показываем> что резервирование целесооб­разно по принятому критерию тогдЯ > когда средняя стоимость ус­

пешного выполнения задачи в резервированной системе меньше, чем соответствующая стоимость в нерезервированной, где Р(.,,(/<: = 0) = = Р, т. е. при выполнении условия

(1 + Cvk/n)/Pcp (ft) < 1 IP. (8.127)

image217 image218

На рис. 8.8 показано изменение функции Рср(/г), рассчитанной по (8.123) при п = 9; Р = 0,90; Pv = 0,8 (пунктирная) и Рр = 0,9 (сплошная линия).

Результаты решения задачи оптимизации (8.126) при п = 9; Р — = 0,9; Ср = 0,3 и 0,5; Pv = 0,8 (пунктирная линия) и Рр = 0,9 (сплошная) приведены на рис. 8.9. Из графиков видно, что опти­мальный вариант в этих условиях соответствует одному резервному элементу в системе.

1 . р-*»/2 /2-

(см. табл. П.2)

(In г — In *»)*

2т2

Z

1п Хп и о — — математическое ожидание ^и среднее квадратическое отклонение случай­ной величины Z;

,2

г

2

тх — хо е ;

в* — т* /(тдг/^о)2 —_1

ОПТИМАЛЬНОЕ РЕЗЕРВИРОВАНИЕ В СИСТЕМЕ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ КОМПЛЕКСОВ

Таблица П.1

 

ОПТИМАЛЬНОЕ РЕЗЕРВИРОВАНИЕ В СИСТЕМЕ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ КОМПЛЕКСОВ

Математическое ожидание величины х тх = (а + Ь)/2;

ее среднее квадратическое отклонение ах = (Ь — а)/2 ]/^3;

(а, 6) — интервал распределения

 

Равномерное

 

ОПТИМАЛЬНОЕ РЕЗЕРВИРОВАНИЕ В СИСТЕМЕ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ КОМПЛЕКСОВ

. 1

І(Х) ь-а

 

а ь х

 

т и о — параметры исходного нормального

распределения;

х, и х2 —точки усечения.

При усечении только слева х2 — 00! при усечении только справа = 00!

тх = т + Во;

 

/с (х) = 0 при х « хг и х > х2

 

Усеченное нормальное

 

при хх < х <■ х2
с = [©„(^-ФоКі)]"1. г«е

 

ях = с У 1 — В2 — c[t2f (t2)—tif (<!); В = с[М<і)-Н<ї)Ь где f W =

 

J*

е“ 2 dt

 

Ф0(х)

 

(см. табл. П. З);

image225

Z = In X;

 

Логарифмически нормальное

 

f (х) = 0 при х < 0;

 

ОПТИМАЛЬНОЕ РЕЗЕРВИРОВАНИЕ В СИСТЕМЕ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ КОМПЛЕКСОВ

fix) =

 

при х > О

 

image219image220image221image222image223image224

Подпись: 342

Распределение

Плотность (функция) вероятностей распределения

Параметры и моменты распределения

у} (хи-квад f(X)

О

рат)

V 2

X

/(*) = 0 при х < 0;

—1

/(*> ~ 2Г (-L) W 6 2 ПРИ *>0

(см. табл. П. 8)

k—число степеней свободы:

Шх — k ах = V2k

Г(дг) — гамма-функция (см. табл. П. 12)

Стьюдента

f(X)

J X,

v(k+\ _fe±l

(см. табл. П. 9)

k — число степеней свободы;

тх — 0;

1

/ /е/2—2

Г(дг) — гамма-функция (см. табл. П. 12)

Релея f(X) 0

X

f(x) = 0 при jc < 0; _*2

}{х) = е 2о! при JC > 0

о — параметр распределения;- тх = oj/ic/S; ах — 0 Ґ 2 — я/2

Гамма и Э fix)

0

эланга. . A=f

х j

/(*) =0 при х « 0;

1 — Хх

f(x) = — щу Х**®"1 е при дс > 0;

Г (k) — гамма-функция; при целочисленных k T(k) = (k—1)! (см. табл. П. 12) превращается в распределение Эрланга

X и k — параметры распределения (положи­тельные постоянные); mx = k/l; ах = уТ/Х

 

image226image227

-Р* (1 —Р)п~х

= *)

.12)

Продолжение П.1

 

Плотность (функция) вероятностей
распределения

 

Распределение

 

Параметры и моменты распределения

 

Биномиальное

Вер(Х=х)

 

Распределение вероятностей случай­ной величины X

 

ОПТИМАЛЬНОЕ РЕЗЕРВИРОВАНИЕ В СИСТЕМЕ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ КОМПЛЕКСОВ
ОПТИМАЛЬНОЕ РЕЗЕРВИРОВАНИЕ В СИСТЕМЕ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ КОМПЛЕКСОВ

тх = пР; ах = УпР (1 — Р)

 

Гипергеометрическое

 

Распределение вероятностей случай­ной величины X

рХ рП—Х

вер (X

(см. табл. П

 

N — множество элементов;

М — число элементов в множестве N с заданным приз­наком (например, неработоспособных); п — объем безвозвратной выборки;

тх ■= пМ/N;

 

Вер(Х*х)

image229

 

со со со со

со оо 04

со со со со со сл V со to —

со to to to to

ОООО-МО)

to to to to to СЛ 4b. oo to —

OOOOM 04

СЛ 4* СО to —

n — о о о о

о со 00 оэ

о о о о о о

СЛ 4b C0ND — О

х

0006

0004

0003

0002

о о о о о о о о о о о — — to со СО to — М 4ь со

О о о о о о о

О О О — — ломоо: лоол о

О О О О о — to to 00 4b. ■М to 00 Сл 4*. сл — ь. со сл о

1109

0940

0790

0656

0,0540

to? ^3 со ^

СО СО — 4ь — М

СЛ — М 4b to со

о

to to to со со.£» 04 00 — СО

to 04 со to со о — ^3 со to

о

со со со со со со СЛ 04 00 со со со to 00 — — — М 00 — со л. о о со

о

э

о о о о О О О О О О О О to со о* о>

о о о о о о о с: о о

О — — to СО ОС to СО to

о о о о о

ООО — —

■л СЛ ■м о со со ос — м — to

о о о о о

— tO tO СО 4ь

S) — м ЛСО

— СО ^3 ~М —

о о о о — слом COO to 4b M Ю CO СО 4ь СЛ СЛ tO

2155

1919

1691

1476

1276

to со to со со со о оо — со сосо’МО’""4 04 4ь — to

со со со со со со СЛ О 00 со со со

ООООООС

со оо to to сл со

to

W

о о о о оооо о о о о to со л о

0031

0022

0016

0012

0008

о о о о о о о о о — 4ь СЛ **0 со to to о СЛ со со

о о о о о — to to СО л. 04 — ^3 СО ГО

^з со о со to

1074

0909

0761

0632

0519

to 4. 04 ос­ел сл о со со ■М 04 СО СЛ —

to to to СО СО со о> оо о to ■М —* сл -**3 со —* со о со to

3989

3961

3894

3790

3653

3485

ю

Л

п

a

S

0005

0004

0003

0002

0030

0022

0016

ООП

0008

0126

0096

0073

0055

0040

о о о о с — to to СО 4ь ooow — СО 00 4b to со

oooo —

СЛОМ poO

о to со СЛ

COOOOCOM

to 5> 00

со СО 4ь ^з О

Оо сл ■м to

to to to СО со со сл ро о to 4b ос to СЛ -0 — М СО *м 04 —

со со со со со со 4ь 04 — М Оо СО со 04 Со — м 00 СЛ 00

■м мз оо сл со ос

со

-■ч»

2

3

ъ

о

н

3

О О О о О О О О О О О О to СО ^ сл

о о о о о о о о о о о — — to to

00 — СЛ — CD

о о о о о оооо — СО СЛ *М со to со оо — со to

о о о о о — to to СО 4ь сл о сл ю о

00 СО 00 СЛ 4ь

oooo — ЛОМ OcO СО О CO M 4b Oo oc 4b оо О

to 4ь р4 ос 2 — to 4b ОС

со сл о со со

to to to со со

СО СЛ 00 о to

to 04 о со сл

СО СЛ СО 4b —

со со со Со со со лепмаос

4ь tO 04 *“*3 СЛ ОС оо — СЛ О: — а

1

toi

о

о

н

S

3

о о о о о о о о о о о о

Ю ЬО 4ь СЛ

о о о о о о о о о о о — — to to

ЧОСЛООо

о о о о о оооо — СО СЛ о со —

оо — со — со

о о о о о

— — to со СО сл СО сл — со

— ос to *м со

1023

0863

0721

0596

0488

to СО 04 00 О о СО О to сл о 4b 4b 04 СО

3230

зон

2780

2541

2299

Со СО СО >-0 О СО

4b с: *М 00 СО СО

to О СЛ 04 4ь ОС СО СЛ to *М СЛ 4b

сл

a 1 г

1

■о

2

і

ег

о о о о о о о о о о о о to to со сл

о о о о о о о о о о О •— N — to to молом

о о о о о оооо —

СО СЛ № Оо —

-моч ОоО>

о о о о о — — to СО СО сл со 4ь — 00 — ЛОООо

oooo —

4ь СЛ M СО О месоло oo лм coo

— СО СЛ 00 р

00 — М 00 о со to 4b to 4ь 04

88*388

■М — СЛ оо о СЛ 04 04 со со

К сл ^5 ос 3 2

о

“1*.

о

ч

о

•а

&9

о о о о о о о о о о о о to to со сл

о о о о о о о о о р о — — — to ■м о — леса?

о о о о о оооо —

СО 4*. О Оо — О 00 СЛ О СО

о о о о о — — to со со 4ь 00 4ь О "*3

^3 со — со со

о о о о о 4ь СЛ о Оо со 04 *М СО со 00 Оо со 4b СО СО

— СО СЛ *М о О СЛ О Оо — СО 4ь — — to

to to ю to со to^-мсо —

СЛ со СО (04 00

— to to 04 — М

Со w— СО ~~ «j — со сл ^*3 00 СО со со *М to ^ СО 00 — to Сі ^3 to о

■5

S

S

о о о о о о о о о о о о — to со сл

о о о о о о о о о о о о — — to

-М СО СО 00 СЛ

о о о о о оооо-

СО 4^ О Оо — СЛ ^ СО л» о

о о о о о — — to to со

4ь 00 СО СО — М СО 4*. СЛ — М —

0973

0818

0681

0562

0459

— со сл — м со

4b со СО СЛ 00 СЛ 4b <0 00 СО

to to to to со to Л M о -* to 04 О 4b 04

*M 00 со со o>

со со со со со со со сл ^з ос р со — м сл — со to *м to сл to Сі сл — м

00

СЧ

ь

2

5

3

о о о о о о о о о о о о

— to со

о о о о о

О Q О О О о о — — to

О СО СО Оо СЛ

о о о о о о о о о —

о о о о о — — to to СО со оо ю со о> со о со о со

о о о о о

4b СЛ 04 00 СО л СЛ О О СЛ СО — СО 4ь *М

— со сл *м со to — — со 04 •М СЛ оо 04 сл

3144

2920

2685

2444

2203

СО СО СО СО С4 СО

СО СЛ Сї 00 со со сл СО СО to — "М to оо ^з сл ос со

со со со со СО 00 *М о>

со со со со со СЛ 4ь 00 to —

со to to to to

о со ОС о

to to to to to сл 4b CO to —

to — — — —

О со 00 О)

сп Vco ьо —

— о о о о О со 00 04

о о о с о о

сл”-^ СОІО —Ъ

а ГІ.2

 

image228

П. З. Значения функции нормального распределения

X

Фо(А:)=171Г J е~ tm’dt

—оо

Таблица П. З

X

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,0

0

5000

5040

5080

5120

5160

5199

5239

5279

5319

5359

0,1

0

5398

5438

5478

5517

5557

5596

5636

5675

5714

5753

0,2

0

5793

5832

5871

5910

5948

5987

6026

6064

6103

6141

0,3

0

6179

6217

6255

6293

6331

6368

6406

6443

6480

6517

0,4

0

6554

6591

6628

6664

6700

6736

6772

6808

6844

6879

0,5

0

6915

6950

6985

7019

7054

7088

7123

7157

7190

7224

0,6

0

7257

7291

7324

7357

7389

7422

7454

7486

7517

7549

0.7

0

7580

7611

7642

7673

7704

7734

7764

7794

7823

7852

0,8

0

7881

7910

7939

7967

7995

8023

8051

8078

8106

8133

0,9

0

8159

8186

8212

8238

8264

8289

8315

8340

8365

8389

1,0

0

8413

8438

8461

8485

8508

8531

8554

8577

8599

8621

1,1

0

8643

8665

8686

8708

8729

8749

8770

8790

8810

8830

1,2

0

8849

8869

8888

8907

8925

8944

8962

8980

8997

9015

1,3

0,9

0320

0490

0658

0824

0988

1149

1308

1466

1621

1774

1,4

0,9

1924

2073

2220

2364

2507

2647

2785

2922

3056

3189

1,5

0,9

3319

3448

3574

3699

3822

3943

4062

4179

4295

4408

1,6

0,9

4520

4630

4738

4845

4950

5053

5154

5254

5352

5449

1,7

0,9

5543

5637

5728

5818

5907

5994

6080

6164

6246

6327

1,8

0,9

6407

6485

6562

6637

6712

6784

6856

6926

6995

7062

1,9

0,9

7128

7193

7257

7320

7381

7441

7500

7558

7615

7670

2,0

0,9

7725

7778

7831

7882

7932

7982

8030

8077

8124

8169

2,1

0,9

8214

8257

8300

8341

8382

8422

8461

8500

8537

8574

2,2

0,9

8610

8645

8679

8713

8745

8778

8809

8840

8870

8899

2,3

0,9

8928

8956

8983

9010

9036

9061

9086

9111

9134

9158

2,4

0,92

1802

2024

2240

2451

2656

2857

3053

3244

3431

3613

2,5

0,92

3790

3963

4132

4297

4457

4614

4766

4915

5060

5201

2,6

0,92

5339

5473

5603

5731

5855

5975

6093

6207

6319

6427

2,7

0,92

6533

6636

6736

6833

6928

7020

7110

7197

7282

7365

2,8

0,92

7445

7523

7599

7673

7744

7814

7882

7948

8012

8074

2,9

0,92

8134

8193

8250

8305

8359

8411

8462

8511

8559

8605

3,0

0,92

8650

8694

8736

8777

8817

8856

8893

8930

8965

8999

3,1

0,9Я

0324

0646

0957

1260

1553

1836

2112

2378

2636

2886

3,2

0,9„

3129

3363

3590

3810

4024

4230

4429

4623

4810

4991

3,3

0,93

5166

5335

5499

5658

5811

5959

6103

6242

6376

65Э5

3,4

0,9Я

6631

6752

6869

6982

7091

7197

7299

7398

7493

7585

3,5

0,93

7674

7760

7842

7922

7999

8074

8146

8215

8282

8347

3,6

0,9S

8409

8469

8527

8583

8637

8689

8739

8787

8834

8879

3,7

0,9Я

8922

8964

9004

9043

9080

9116

9150

9184

9216

9247

3,8

0,94

2765

3052

3327

3593

3848

4094

4331

4558

4777

4988

3,9

0,94

5190

5385

5573

5753

5926

6092

6252

6406

6554

6696

4,0

0,94

6833

6964

7090

7211

7327

7439

7546

7649

7748

7843

X

0

1

2

3

4

5

6

7

В

9

4,1

0,94

7934

8022

8106

8186

8264

8338

8409

8477

8542

8605

4,2

0,94

8665

8723

8778

8832

8882

8931

8978

9023

9066

9107

4,3

0,96

1460

1837

2198

2544

2876

3193

3497

3788

4066

4332

4,4

0,9г,

4588

4832

5065

5288

5502

5706

5902

6089

6268

6439

4,5

0,96

6602

6759

6908

7051

7187

7318

7442

7561

7675

7784

4,6

0,96

7888

7987

8081

8172

8258

8340

8419

8494

8566

8634

4,7

0,95

8699

8761

8821

8877

8931

8983

9032

9079

9124

9166

4,8

0,96

2067

2454

2822

3173

3508

3827

4131

4420

4696

4958

4,9

0,96

5208

5446

5673

5888

6094

6289

6475

6652

6821

6981

5,0

0 ,9в

7134

7278

7416

7548

7672

7791

7904

8011

8113

8210

5,1

0,96

8302

8389

8472

8551

8626

8698

8765

8830

8891

8949

5,2

0,9,

004

056

105

152

197

240

280

318

354

388

5,3

0,97

421

452

481

509

539

560

584

606

628

648

5,4

0,97

667

685

702

718

734

748

762

775

787

799

5,5

0,9,

810

821

831

840

849

857

865

873

880

886

5,6

0,9,

893

899

905

910

915

920

924

929

933

936

5,7

0,98

40

44

47

50

53

55

58

60

63

65

5,8

0 ,98

67

69

71

72

74

75

77

78

79

81

5,9

0,98

82

83

84

85

86

87

87

88

89

90

Примечания:

1. Для отрицательных значений аргумента С>0 (— х) =1 — Ф„ (х).

2. Индекс у цифры 9 означает ее повторение, например при х = 3,95 имеем ф„ (х) —

= 0.946092 ■= 0,99996092. " ‘ ‘

П.4. Значения квантилей нормального распределения

ф° (ы<) 1 е 2 ai=r’ u’-i = — ит

Т а блица П.4

7

“т

к

“т

1

Uy

0,50

0

0,72

0,583

0,93

1,476

0,51

0,025

0,73

0,613

0,94

1,555

0,52

0,050

0,74

0,643

0,95

1,645

0,53

0,075

0,75

0,674

0,96

1,751

0,54

0,100

0,76

0,706

0,97

1,881

0,55

0,126

0,77

0,739

0,975

1,960

0,56

0,151

0,78

0,772

0,980

2,054

0,57

0,176

0,79

0,806

0,990

2,326

0,58

0,202

0,80

0,842

0,991

2,366

0,59

0,228

0,81

0,878

0,992

2,409

0,60

0,253

0,82

0,915

0,993

2,457

0,61

0,279

0,83

0,954

0,994

2,512

0,62

0,305

0,84

0,994

0,995

2,576

0,63

0,332

0,85

1,036

0,996

2,652

0,64

0,358

0,86

1,080

0,997

2,748

Ї

т

“г

Г

“ї

0,65

0,385

0,87

1,126

0,9975

2,807

0,66

0,412

0,88

1,175

0,9980

2,878

0,67

0,440

0,89

1,227

0,9990

3,090

0,68

0,468

0,90

1 ,282

0,9995

3,291

0,69

0,496

0,91

1,341

0,9999

3,719

0,70

0,524

0,92

1,405

0,71

0,553

0,925

1,440

П.5. Значения вероятностей распределения Пуассона

 

Р(Х = х)=— е-

 

Таблица П.5

 

ОПТИМАЛЬНОЕ РЕЗЕРВИРОВАНИЕ В СИСТЕМЕ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ КОМПЛЕКСОВ

 

ОПТИМАЛЬНОЕ РЕЗЕРВИРОВАНИЕ В СИСТЕМЕ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ КОМПЛЕКСОВ

а

X

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

2,7

2.8

2,У

1,0

3

0,1890

1966

2033

2090

2138

2176

2205

2225

2237

2240

4

0992

1082

1169

1254

1336

1414

1488

1557

1622

1680

5

0417

0476

0538

0602

0668

0735

0804

0872

0940

1008

6

0146

0174

0206

0241

0278

0319

0362

0407

0455

0504

7

0044

0055

0068

0083

0099

0118

0139

0163

0188

0216

8

ООП

0015

0019

0025

0031

0038

0047

0057

0068

0081

9

0003

0004

0005

0007

0009

(ЮН

0014

0018

0022

0027

10

0001

0001

0001

0002

0002

0003

0004

0005

0006

0008

1!

0001

0001

0001

0002

0002

12

0001

а

X

3,1

3,2

3,3

3,4

3,5

3,6

3,7

3.8

3.9

4,0

0

0,0450

0408

0369

0334

0302

0273

0247

0224

0202

0183

1

1397

1304

1217

1135

1057

0984

0915

0850

0789

0733

2

2165

2087

2008

1929

1850

1771

1692

1615

1539

1465

3

2237

2226

2209

2186

2158

2125

2087

2046

2001

1954

4

1733

1781

1823

1858

1888

1912

1931

1944

1951

1954

5

1075

1140

1203

1264

1322

1377

1429

1477

1522

1563

6

0555

0608

0662

0716

0771

0826

0881

0936

0989

1042

7

0246

0278

0312

0348

0385

0425

0466

0508

0551

0595

8

0095

0111

0129

0148

0169

0191

0215

0241

0269

0298

9

0033

0040

0047

0056

0066

0076

0089

0102

0116

0132

10

0010

0013

0016

0019

0023

0028

0033

0039

0045

0053

11

0003

0004

0005

0006

0007

0009

ООП

0013

0016

0019

12

0001

0001

0001

0002

0002

0003

0003

0004

0005

0006

13

0001

0001

0001

0001

0002

0002

14

0001

а

X

4,1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4,7

4,8

4,9

5.0

0

0,0166

0150

0136

0123

0111

0101

0091

0082

0074

0067

1

0679

0030

0583

0540

0500

0462

0427

0395

0365

0337

2

1393

1323

1254

1188

1125

1063

1005

0948

0894

0842

3

1904

1852

1798

1743

1687

1631

1574

1517

1460

1404

4

1951

1944

1933

1917

1898

1875

1849

1820

1789

1755

5

1600

1633

1662

1687

1708

1725

1738

1747

1753

1755

6

1093

1143

1191

1237

1281

1323

1362

1398

1432

1462

7

0640

0686

0732

0778

0824

0869

0914

0959

1002

1044

8

0328

0360

0393

0428

0463

0500

0537

0575

0614

0653

9

0150

0168

0188

0209

0232

0255

0280

0307

0334

0363

10

0,0061

0071

0081

0092

0104

0118

0132

0147

0164

0181

11

002,:

0027

0032

0037

0043

0049

0056

0064

0073

0082

12

0008

0009

ООП

0014

0016

0019

0022

0026

0030

0034

13

0005

0003

0004

0005

0006

0007

0008

0009

ООП

0013

14

0001

0001

0001

0001

0002

0002

0003

0003

0004

0005

15

0001

0001

0001

0001

0001

0002

оо

Подпись: Р(Х >т) =2

ал

~хГ

Таблица П.6

т

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0

1,0001

0000

0000

0000

0000

0000

0000

0000

0000

0000

і

0,0951

1813

2592

3297

3935

4512

5034

5507

5934

6321

2

004′

0175

0369

0616

0902

1219

1558

1912

2275

2642

3

0001

ООП

0036

0079

0144

0231

0341

0474

0629

0803

4

0001

0003

0008

0018

0034

0058

0091

0135

0190

5

0001

0002

0004

0008

0014

0023

0037

6

0001

0002

0003

0006

7

0001

а

т

ы

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2,0

0

1,ооос

0000

0000

0000

0000

0000

0000

0000

0000

0000

і

0,6671

6988

7275

7534

7769

7981

8173

8347

8504

8647

2

ЗОЮ

3374

3732

4082

4422

4751

5068

5372

5663

5940

3

099Є

1205

1429

1665

1912

2166

2428

2694

2963

3233

4

0257

0338

0431

0537

0656

0788

0932

1087

1253

1429

5

0054

0077

0107

0143

0186

0237

0296

0364

0441

0527

6

0010

0015

0022

0032

0045

0060

0080

0104

0132

0166

7

0001

0003

0004

0006

0009

0013

0019

0026

0034

0045

8

0001

0001

0002

0003

0004

0006

0008

ООП

9

0001

0001

0002

0002

а

т

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

2,7

2,8

2,9

3,0

0

1,0000

0000

0000

0000

0000

0000

0000

0000

0000

0000

і

0,8775

8892

8997

9093

9179

9257

9328

9392

9450

9502

2

6204

6454

6691

6916

7127

7326

7513

7689

7854

8009

3

3504

3773

4040

4303

4562

4816

5064

5305

5540

5768

4

1614

1806

2007

2213

2424

2640

2859

3081

3304

3528

5

0621

0725

0838

0959

1088

1226

1371

1523

1682

1847

6

0204

0249

0300

0357

0420

0490

0567

0651

0742

0839

7

0059

0075

0094

0116

0142

0172

0206

0244

0287

0335

8

0015

0020

0026

0033

0042

0053

0066

0081

0099

0119

9

0003

0005

0006

0009

ООП

0015

0019

0024

0031

0038

10

0001

0001

0001

0002

0003

0004

0005

0007

0009

ООП

11

0001

0001

0001

0002

0002

0003

12

0001

0001

а

т

3,1

3,2

3,3

3,4

3,5

3,6

3,7

3,8

3,8

4.0

0

1,0000

0000

0000

0000

0000

0000

0000

0000

0000

0000

1

0,9550

9592

9631

9666

9698

9727

9753

9776

9798

9817

2

8153

8288

8414

8532

8641

8743

8838

8926

9008

9084

3

5988

6201

6406

6603

6792

6973

7146

7311

74 69

7619

4

3752

3975

4197

4416

4634

4848

5058

5265

5468

5665

5

2018

2194

2374

2558

2746

2936

3128

3322

3516

3712

6

0943

1054

1171

1295

1424

1559

1699

1844

1994

2149

7

0388

0446

0510

0579

0653

0733

0818

0909

1005

1107

8

0142

0168

0198

0231

0267

0308

0352

0401

0454

0511

9

0047

0057

0069

0083

0099

0117

0137

0160

0185

0214

10

0014

0018

0022

0027

0033

0040*

0048

0058

0069

0081

11

0004

0005

0006

0008

0010

0013

0016

0019

0023

0028

12

13

14

0001

0001

0002

0002

0001

0003

0001

0004

0001

0005

0001

0006

0002

0007

0002

0001

0009

0003

0001

Продолжение табл. П.6

т

а

4,1

4,2

4,3

4,4

4,5

4,6

4,7

4,8

4,9

5,0

0

1,0000

0000

0000

0000

0000

0000

0000

0000

0000

0000

і

0,9834

9850

9864

9877

9889

9899

9909

9918

9926

9933

2

9155

9220

9281

9337

9389

9437

9482

9523

9561

9596

3

7762

7898

8026

8149

8264

8374

8477

8575

8667

8753

4

5858

6046

6228

6406

6577

6743

6903

7058

7207

7350

5

3907

4102

4296

4488

4679

4868

5054

5237

5418

5595

6

2307

2469

2633

2801

2971

3142

3316

3490

3665

3840

7

1214

1325

1442

1564

1689

1820

1954

2092

2233

2378

8

0573

0639

0710

0786

0866

0951

1040

1133

1231

1334

9

0245

0279

0317

0358

0403

0451

0503

0558

0618

0681

10

0095

0111

0129

0149

0171

0195

0222

0251

0283

0318

11

0034

0041

0048

0057

0067

0078

0090

0104

0120

0137

12

ООП

0014

0017

0020

0024

0029

0034

0040

0047

0055

13

0003

0004

0005

0007

0008

0010

0012

0014

0017

0020

14

0001

0001

0002

0002

0003

0003

0004

0005

0006

0007

15

0001

0001

0001

0001

0001

0002

0002

16

0001

0001

ОПТИМАЛЬНОЕ РЕЗЕРВИРОВАНИЕ В СИСТЕМЕ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ КОМПЛЕКСОВ 

ос

СО СМ Г — CD

с

о

ОО ОС 03 ^ VO

LO со *— О CD

со СП CD ^ h-

£Я

О со CD оо о

<М ^ CD Г — СП CM CM СМ CM CN

•—’ CM — f CD 1-

о

см

со СО со СО СО

Ч

ч}< «’tOOQ

— ОО

о

о

CD СМ СО <М О

ОО ^ ‘ Г — <М

N СМ N ’—’CD

CD СГ» —« СО LO

CD СО О —’ СО

CD П — СП О

см см см cj со

н

— — см см см

СО’ см г — со

ОО ОО CD со

о CD — CD CM

CD — LO СП СО

о

to І’—. СП —’ СО

Ю CD ОО СП —

CM lO CD ОО

сч

см см см см СМ

сп см сп г-

оо

ОО СП оо чЭ< о

Ю О LO СП СО

CD О О І’- О

о

со LO Г"- СП —’

CM — f lO CD ОО

СП ‘—1 СМ со lO

~

-—■ СМ СМ СМ СМ

«—• О Ю оо тР

Tf (М CD ОО СП

оо ю —

о

I"- CD CM I’- СМ

CD О СО CD О

СМ Ю оо — со

о

CM Tf CD f — СП

о см со ^ tg.

г^. со СП СМ •—1 > •—1 см см

CDOCOrJ-Tt

со —■ ОО LO —•

о

^ CM CD СП CM

LO оо о см ^

CD СО Сі — СО

С-1

CD — — — —

‘CO^tLON

ОО СП — CN со

чЗ* LO CD оо СП

CD оо

о — см см см

t»- •—1 CD oo CD

СО СО CM CD 1’—

о о — <М со

СО

О СО СО О

(М СО Ю> — —

СЧ Tf Ю 0 N

CM CO Tf CD

I"— GO СП —’ —<

_ ^ _ —,

.

Ю CD

4Cf Tf! rf Tf ХІ4

Ю CO N CD LO

со со со со СО

ю

Tf CO CO CO CO

со СО СО СО СО

O-‘CMCO’t

O — (MC0Tt

tO CD Г— ОО СП

OO CO

<м<м

со Г"- со СП Г—

СО со СО со

1-^

-NOOIO

ОО CD to СО см

«осп — —

О О — CM CO

со ^ LO CD t"-

ОО СП СП — ч «ч

CD’tO’^^

h — (М СП оо СО

СП со г — со

СО

О ^ О CD CO

О со to со —«

СП оо CD ч* —

т

О о —« 1— см

СО СО *D CD

CD Г— оо СП —’

CD —<і ^ О

і—* «—* OO CD —

О СО СП 1^. CD

оо о сп lO

сл

OOUOOtD

(М СО ^ ‘—’СО

Ю со О N Ю

о

О О о — —«

СМ см со

LO CD 1^- Г"-. ОО

ч^ CO CM —• LO

to

оою«^

СО Г"- СО СМ чф

ОО СО 05 t""- CD

CD

O-CON-

CD ’—■ Г-. СО СП

ю см оо LO CM

о

о oo о —

—• см см со со

‘t LO Ю CD N

— О to СП CN

О Tf 00 CM to

СО CD СО СО CD

•—■ CO CD C— oo

о

о о — ^

"ЮОЮО

CD «-< t-~ со cn

о

ooo oo

—’ —• см СМ СО

со to to

OOWNi’

(М СП CD

СГ)

О CM ~ СП LO

СО — гП СП CD

ION — CDCO

О O’—’ CNLO

ОО см CD О LO

О to — CD CM

о

о о о о о

О —« —«см <м

CO CO ^ 4^ to

—« C-J со LO

CD Г — ОО СП О

’«(MCO’tiO

 

Подпись: Значения квантилей ^-распределения

image230

Подпись: Продолжение табл. П 5Подпись: со 00 со ОО со ООСЧСОЮ СО 'Ф г}4 оо со N- СМ СО со оо сп —'СМ -С^ ю ю —* ЮСП СО N- Ю СО оо СП ююююю О "^00 CM (О СМ СО -rf СО N- со со со со со СП со о О со оо о —« со rh со ^ Tt< ^ ^ СО О со СО сп lONoOCHO ^ ^ LO СО О со г- о СП -н СМ со ю см со СО со со СО І"— О СО І"— СО г- сп о —Г со со со СП —. N- О CM M*lOtO со ^ TP ^ ^ COCDO — ^ СО tCoO О CM СМ СМ со со NOC^^N СМ СО ю СО NT со со со со со СП —< со со оо оо О —' СМ СО со Ю ОО о см СО со осм ^ CD N С5 ■—'СО СО ^ СО N- оо см см см см см СП О СМ СО см со со со со Ю со 1^- сп о со со со со to со оо сп о СМ со со N- СООО-'СМ О —« см СО ю СМ СМ СМ СМ СМ со N СО С. О СМ СМ СМ СМ со ~ СМ ^ Ю со со со со CD со см — 'tico NO0 СП сп о — см СМ СО LO LO со O' О -н сі —1 -н СМ см см со со N- 00 см см см см см СП 0 —1 СМ СО см со со со со Tt1 ^ т}< СО со СО СО СО LO СО N- ОО СП со СО СО со СО о см со ^ см см см см см со со со со со LO СО N- СО СП' см см см СМ см СМ СО ^ LO СО LO ^ со см СООСМО —■ —• о СП сп ОО N~ СО СО LO СМ со to со N- се СП СП о — см со ^ 1-0 см см см см см LO о со см оо О 0О NlC ^ см СМ со ^ М4 — сп со^ ^ со —« о СП to со N^ оо оо см оо со ю ^ СП о —* см со — см см см см оо со to «ооосо^ со - - - - ^оо-см M'TflCCON СМ О ОО со ^ CO^TflOCD СП -ч ^ N, СМ — СП N- со N~ СО оо сп о _ _ _ СМ — ю СО N- СП ОО СП СО со - *> - - -о о N СО О *-н *-< СП Tt> СП Ю -Н юсоооосо см со со т** ОО Ю СО —' СП со —< СП 1^. ^ LO СО CD N- ОО —' со N- ^ СО СМ СП ю см СО N- N- ОО ел см о сп СП о CHCOCMCHN- СП о — — см •—CMiON- — ■^«ООЮСО СО LO со — СМ со со со ^ о со см Ю со 1^- N- ОО о м* о со СМ СП ю см оо ю О0 OOO'-і О ОО со СО LO СМ ОО LO СМ СП см см со ^ ^ со N- оо сп о —■< *—і »—< —< см —• СМ со ТМО см см см см см со N- ОО сп О СМ СМ СМ СМ со Е

к

га

а

о

к

п

CD

п 5

О.

S а

О)

Подпись: 1,к Ьк Г Sh(x)dx — 2 Г Sh(x)dx = Ч, Подпись: tlx = f Таблица ГІ.9

2 Г[(/Ч-1)/2]

^ (k/2)

7 <к *Ц

Яи-хГ-

т

к

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,95

0,98

0,99

0,999

і

1,000

1,376

1,963

3,078

6,314

12,706

31,821

63,657

636,619

2

0,816

1,061

1,336

1,886

2,920

4,303

6,965

9,965

31,598

3

0,765

0,978

1,250

1,638

2,353

3,181

4,541

5,841

12,941

4

0,741

0,941

1,190

1,533

2,132

2.776

3,747

4,604

8,610

5

0,727

0,920

1,156

1,476

2,015

2,571

3,365

4,032

6,869

6

0,718

0,906

1,134

1,440

1,943

2,447

3,143

3,707

5,959

7

0,711

0,896

1.119

1,415

1,895

2,365

2,998

2,499

5,405

8

0,706

0,889

1,108

1,397

1,860

2,306

2,896

3,355

5,041

9

0,703

0,883

1,100

1,383

1,833

2,262

2,821

3,250

4,781

10

0,700

0,879

1,093

1,372

1,812

2,228

2,764

3,169

4,587

12

0,695

0,873

1,08.3

1,356

1,782

2,179

2,681

3,055

4,318

14

0,692

0,868

1,076

1,345

1,761

2,145

2,624

2,977

4,140

16

0,690

0,865

1,071

1,337

1 ,746

2,120

2,583

2,921

4,015

18

0,688

0,862

1,067

1,330

1,734

2,101

2,552

2,878

3,922

20

0,687

0,860

1,064

1,325

1,725

2,086

2,528

2,845

3,850

25

0,684

0,856

1,058

1,316

1,708

2,060

2,485

2,787

3,725

30

0,683

0,854

1,055

1,310

1,697

2,042

2,457

2,750

3,646

60

0,679

0,848

1,046

1,296

1,671

2,000

2,390

2,660

3,460

ОО

0,674

0,842

1,036

1,282

1,645

1,960

2,326

2,576

3,291

П. 10. Значения верхнего и нижнего доверительных пределов для оценки параметра Р биномиального распределения с коэффициентом доверия Ті = 0,95 (2п— 1=г = 0,90)

Таблица П.10

Л

А

т

п—т

.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

0,950

0,000

0,776

0,000

0,632

0,000

0,527

0,000

0,451

0,000

0,393

0,000

0,348

0,000

0,312

0,000

0,283

0,000

0,259

0,000

і

0,975

0,025

0,865

0,017

0,751

0,013

0,657

0,010

0,582

0,009

0,521

0,007

0,471

0,006

0,429

0,006

0,394

0,005

0,364

0,005

2

0,983

0,135

0,902

0,098

0,811

0,076

0,729

0,063

0,659

0,053

0,600

0,046

0,550

0,041

0,507

0,037

0,470

0,033

0,438

0,030

3

0,987

0,249

0,924

0,189

0,847

0,153

0,775

0,129

0,711

0,111

0,655

0,098

0,607

0,087

0,564

0,079

0,527

0,072

0,495

0,066

4

0,990

0,343

0,937

0,271

0,871

0,225

0,807

0,193

0,749

0,169

0,696

0,150

0,650

0,135

0,609

0,123

0,573

0,113

0,540

0,104

5

0,991

0,418

0,947

0,341

0,889

0,289

0,831

0,251

0,778

0,222

0,729

0,200

0,685

0,181

0,645

0,166

0,610

0,153

0,577

0,142

Л

т

п—т

I

2

3

4

5

6

7

8

9

10

6

0,993

0,479

0,954

0,400

0,902

0,345

0,850

0,304

0,800

0,271

0,755

0,245

0,713

0,224

0,675

0,206

0,640

0,191

0,609

0,178

7

0,994

0,529

0,959

0,450

0,913

0,393

0,865

0,350

0,819

0,315

0,776

0,287

0,736

0,264

0,700

0,244

0,666

0,227

0,636

0,212

8

0,994

0,571

0,963

0,493

0,921

0,436

0,877

0,391

0,834

0,355

0,794

0,325

0,756

0,300

0,721

0,279

0,689

0,260

0,659

0,244

9

0,995

0,606

0,967

0,530

0,928

0,473

0,887

0,427

0,847

0,390

0,801

0,360

0,773

0,334

0,740

0,311

0,709

0,291

0,680

0,274

10

0,995

0,636

0,970

0,562

0,934

0,505

0,896

0,460

0,858

0,423

0,822

0,391

0,788

0,364

0,756

0,341

0,726

0,320

0,698

0,302

11

0,996

0,661

0,972

0,590

0,939

0,534

0,903

0,489

0,868

0,452

0,834

0,420

0,801

0,392

0,770

0,368

0,741

0,347

0,714

0,328

12

0,996

0,864

0,974

0,615

0,943

0,560

0,910

0,516

0,876

0,478

0,844

0,446

0,812

0,418

0,783

0,393

0,755

0,372

0,729

0,353

13

0,996

0,703

0,976

0,637

0,947

0,583

0,915

0,539

0,884

0,502

0,852

0,470

0,823

0,442

0,794

0,417

0,767

0,395

0,742

0,375

14

0,997

0,721

0,977

0,656

0,950

0,604

0,920

0,561

0,890

0,524

0,860

0,492

0,832

0,464

0,804

0,439

0,778

0,417

0,754

0,397

15

0,997

0,736

0,979

0,674

0,953

0,623

0,925

0,581

0,896

0,544

0,868

0,512

0,840

0,484

0,814

0,460

0,788

0,437

0,764

0,417

16

0,997

0,750

0,980

0,690

0,956

0,640

0,929

0,599

0,901

0,563

0,874

0,531

0,848

0,503

0,822

0,478

0,798

0,456

0,774

0,436

17

0,997

0,762

0,981

0,704

0,958

0,656

0,932

0,615

0,906

0,580

0,880

0,549

0,854

0,521

0,830

0,496

0,806

0,474

0,783

0,453

18

0,997

0,773

0,982

0,717

0,960

0,671

0,935

0,631

0,910

0,596

0,885

0,565

0,860

0,538

0,837

0,513

0,814

0,490

0,792

0,470

19

0,997

0,784

0,983

0,729

0,962

0,684

0,938

0,645

0,914

0,611

0,890

0,580

0,866

0,553

0,843

0,528

0,821

0,506

0,800

0,486

20

0,998

0,793

0,984

0,741

0,964

0,696

0,941

0,658

0,918

0,625

0,894

0,594

0,872

0,568

0,849

0,543

0,828

0,521

0,807

0,500

22

0,998

0,810

0,985

0,760

0,966

0,718

0,945

0,682

0,924

0,649

0,902

0,620

0,881

0,594

0,860

0,570

0,839

0,548

0,820

0,528

24

0,998

0,824

0,986

0,777

0,969

0,737

0,950

0,702

0,930

0,671

0,909

0,643

0,889

0,617

0,869

0,594

0,850

0,572

0,831

0,552

26

0,998

0,836

0,987

0,792

0,971

0,754

0,953

0,720

0,934

0,690

0,915

0,663

0,896

0,638

0,877

0,615

0,859

0,594

0,841

0,574

28

0,998

0,846

0,988

0,804

0,973

0,767

0,956

0,736

0,938

0,707

0,920

0,681

0,902

0,657

0,884

0,634

0,867

0,614

0,850

0,594

30

0,998

0,856

0,989

0,816

0,975

0,782

0,959

0,751

0,942

0,723

0,925

0,697

0,908

0,674

0,891

0,652

0,874

0,632

0,858

0,613

35

0,999

0,874

0,990

0,839

0,978

0,808

0,964

0,780

0,949

0,755

0,934

0,731

0,919

0,710

0,904

0,689

0,889

0,670

0,874

0,652

Л

Л

т

п—т

I

2

3

4

5

6

7

8

У

К)

40

0,999

0,991

0,981

0,968

0,955

0,942

0,928

0,914

0,901

0,887

0,889

0,857

0,829

0,804

0,780

0,758

0,738

0,719

0,701

0,684

45

0,999

0,992

0,983

0,972

0,960

0,948

0,935

0,923

0,910

0,898

0,901

0,872

0,846

0,822

0,801

0,781

0,762

0,744

0,727

0,711

50

0,999

0,993

0,984

0,974

0,964

0,952

0,941

0,930

0,918

0,907

0,910

0,883

0,860

0,838

0,818

0,799

0,782

0,764

0,759

0,733

60

0,999

0,994

0,987

0,978

0,969

0,960

0,950

0,940

0,930

0,920

0,925

0,902

0,882

0 863

0,845

0,828

0,813

0,798

0,783

0,770

П.11. Значения нижнего доверительного предела оценки параметра Р биномиального распределения с коэффициентам доверия Хі при п подряд успешных испытаниях

Таблица П.11

Ті

п

0,999

0,990

0,975

0,950

0,900

0,800

1

0,000

0,010

0,020

0,050

0,100

0,200

2

0,030

0,100

0,160

0,225

0,315

0,445

3

0,100

0,217

0,293

0,370

0,463

U,583

4

0,178

0,315

0,398

0,472

0,562

0,670

5

0,252

0,398

0,478

0,550

0,630

0,724

6

0,317

0,463

0,540

0,607

0,682

0,765

7

0,373

0,519

0,590

0,651

0,720

0,794

8

0,421

0,562

0,630

0,688

0,750

0,818

9

0,464

0,600

0,663

0,717

0,774

0,837

10

0,501

0,631

0,692

0,741

0,794

0,851

12

0,562

0,682

0,735

0,779

0,826

0,874

14

0,611

0,720

0,769

0,807

0,849

0,891

16

0,649

0,750

0,794

0,829

0,866

0,904

18

0,681

0,774

0,815

0,847

0,880

0,914

20

0,708

0,794

0,832

0,861

0,891

0,922

25

0,758

0,832

0,863

0,887

0,912

0,938

30

0,794

0,858

0,884

0,905

0,926

0,948

35

0,821

0,877

0,900

0,918

0,936

0,955

40

0,842

0,891

0,912

0,928

0,944

0,960

50

0,871

0,912

0,929

0,942

0,955

0,968

60

0,891

0,926

0,940

0,951

0,962

0,974

80

0,917

0,944

0,955

0,963

0,972

0,980

100

0,933

0,955

0,964

0,970

0,977

0,984

200

0,966

0,977

0,982

0,985

0,989

0,992

300

0,977

0,985

0,988

0,990

0,992

0,995

500

0,98С

0,991

0,993

0,994

0,995

0,997

1000

0,993

0,995

0,996

0,997

0,998

0,998

Подпись: Таблица П. 12

г (д )

0, Подпись:90864

0,91057

0,91258

0,91467

0,91683

0,91906

0,92137

0,92376

0,92623

0,92877

0,93138

0,93408

0,93685

0,93969

0,94261

0,94561

0,94869

0,95184

0,95507

0,95838

0,96177

0,96523

0,96877

0,97240

0,97610

0,97988

0,98374

0,98768

0,99171

0,99581

1,00000

Г (х) = Г (х + 1)/*; Г (х) = (х — 1) Г (х— 1).

Для х = п целых положительных чисел

І» = (П— 1)!, (0! = Г (I) = 1).

П. 13. Значения функции ип_2 (у, X), используемой для расчета
доверительных зон линий регрессии
Y = 0,90

Таблица П. 13

х

п—2

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,40

0,00

1

6,314

6,625

6,922

7,203

7,470

7,724

7,965

8,192

8,407

8,609

8,799

2

2,920

3,022

3,121

3,216

3,308

3,397

3,482

3,564

3,642

3,717

3,788

3

2,253

2,425

2,494

2,561

2,625

2,687

2,747

2,805

2,860

2,914

2,965

4

2,132

2,192

2,250

2,306

2,360

2,412

2,463

2,511

2,558

2,604

2,647

5

2,015

2,071

2,123

2,173

2,222

2,268

2,313

2,357

2,399

2,440

2,480

6

1,943

1,995

2,044

2,091

2,136

2,180

2,222

2,263

2,302

2,340

2,377

7

1,895

1,944

1,991

2,036

2,079

2,120

2,100

2,199

2,236

2,272

2,308

8

1,860

1,908

1,953

1,997

2,038

2,078

2,116,

2,153

2,189

2,224

2,258

9

1,833

1,880

1,925

1,967

2,007

2,046

2,083

2,119

2,153

2,187

2,220

10

1,812

1,859

1,902

1,944

1,983

2,021

2,057

2,092

2,126

2,159

2,191

11

1,796

1,841

1,884

1,925

1,963

2,001

2,036

2,071

2,104

2,136

2,168

12

1,782

1,827

1,869

1,909

1,947

1,984

2,019

2,053

2,086

2,117

2,148

13

1,771

1,815

1,857

1,897

1,934

1,970

2,005

2,038

2,070

2,102

2,132

14

1,761

1,805

1,847

1,886

1,923

1,959

1,993

2,026

2,058

2,089

2,119

15

1,753

1,797

1,838

1,876

1,913

1,948

1,982

2,015

2,046

2,077

2,107

16

1,746

1,789

1,830

1,868

1,905

1,940

1,973

2,006

2,037

2,067

2,097

17

1,740

1,783

1,823

1,861

1,897

1,932

1,965

1,998

2,029

2,059

2,088

18

1,734

1,777

1,817

1,855

1,891

1,925

1,959

1,990

2,021

2,051

2,080

19

1,729

1,772

1,811

1,849

1,885

1,919

1,952

1,984

2,015

2,044

2,073

20

1,725

1,767

1,807

1,844

1,808

1,914

1,947

1,978

2,009

2,038

2,067

25

1,708

1,750

1,789

1,825

1,860

1,894

1,926

1,957

1,986

2,015

2,044

ЗЗЧа

1,692

1,733

1,771

1,807

1,841

1,874

1,906

1,936

1,965

1,993

2,021

50

1,676

1,716

1,753

1,789

1,823

1,855

1,886

1,915

1,943

1,971

1,998

100

1,660

1,700

1,736

1,771

1,804

1,836

1,866

1,895

1,923

1,950

1,976

оо

1,645

1,684

1,720

1,754

1,786

1,817

1,847

1,875

1,902

1,929

1,954

л-2

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

1

8,976

9,142

9,294

9,434

9,561

9,674

9,772

9,854

9,916

9,950

2

3,855

3,919

3,978

4,033

4,083

4,129

4,169

4,202

4,228

4,243

3

3,015

3,061

3,105

3,146

3,184

3,218

3,248

3,274

3,294

3,305

4

2,689

2,728

2,766

2,801

2,834

2,864

2,891

2,913

2,931

2,941

5

2,517

2,554

2,588

2,620

2,650

2,678

2,703

2,724

2,740

2,749

6

2,412

2,446

2,478

2,509

2,538

2,564

2,587

2,607

2,623

2,632

7

2,341

2,374

2,405

2,434

2,462

2,487

2,509

2,529

2,545

2,552

8

2,290

2,322

2,352

2,381

2,407

2,432

2,453

2,472

2,487

2,495

9

2,252

2,283

2,312

2,340

2,366

2,390

2,411

2,430

2,444

2,452

10

2,222

2,252

2,281

2,308

2,333

2,357

2,378

2,397

2,411

2,418

11

2,198

2,227

2,256

2,283

2,308

2,331

2,352

2,370

2,384

2,392

12

2,178

2,207

2,235

2,262

2,287

2,310

2,330

2,348

2,362

2,369

13

2,162

2,190

2,218

2,244

2,269

2,292

2,312

2,330

2,343

2,351

14

2,148

2,176

2,203

2,229

2,254

2,276

2,297

2,314

2,328

2,335

15

2,136

2,164

2,191

2,217

2,241

2,263

2,283

2,301

2,314

2,322

X

п—2

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

16

2,125

2,153

2,180

2,206

2,230

2,252

2,272

2,289

2,303

2,310

17

2,116

2,144

2,171

2,196

2,220

2,242

2,262

2,279

2,293

2,300

18

2,108

2,136

2,162

2,187

2,211

2,233

2,253

2,270

2,284

2,291

19

2,101

2,128

2,155

2,180

2,203

2,225

2,245

2 262

2,276

2,283

20

2,095

2,122

2,148

2,173

2,196

2,218

2,238

2,255

2,268

2,276

25

2,071

2,097

2,123

2,147

2,170

2,192

2,211

2,228

2,241

2,249

ЗЗ1/,

2,047

2,073

2,098

2,122

2,145

2,166

2,185

2,202

2,215

2,222

50

2,024

2,050

2,074

2,098

2,120

2,141

2,160

2,176

2,189

2,196

100

2,002

2,026

2,050

2,074

2,096

2,116

2,135

2,151

2,164

2,171

ОО

1,979

2,004

2,027

2,050

2,072

2,092

2,110

2,126

2,139

2,146

7 = 0,95

п—2

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

j 0,45

0,50

1

12,706

13,328

13,919

14,481

15,014

15,521

16,001

16,456

16,885

17,289

17,669

2

4,303

4,445

4,582

4,715

4,844

4,968

5,087

5,202

5,312

5,417

5,517

3

3,182

3,271

3,356

3,438

3,518

3,594

3,668

3,740

3,809

3,875

3,939

4

2,776

2,847

2,915

2,978

3,040

3,101

3,159

3,215

3,270

3,222

3,373

5

2,571

2,633

2,692

2,748

2,802

2,854

2,904

2,953

3,000

3,045

3,089

є

2,447

2,504

2,558

2,609

2,659

2,706

2,751

2,795

2,838

2,879

2,919

7

2,365

2,418

2,469

2,517

2,563

2,607

2,650

2,691

2 730

2,769

2,806

8

2,306

2,357

2,406

2,452

2,496

2,538

2,578

2,616

2 654

2,690

2,726

9

2,262

2,312

2,358

2,403

2,445

2,485

2,524

2,561

2,597

2,632

2,666

10

2,228

2,277

2,322

2,365

2,406

2,445

2,482

2,518

2,552

2,586

2,618

11

2,201

2,249

2,293

2,335

2,375

2,413

2,449

2,484

2,517

2,550

2,582

12

2,179

2,226

2,269

2,311

2,350

2,387

2,422

2,456

2,489

2,521

2,552

13

2,160

2,207

2,250

2,290

2,329

2,365

2,400

2,433

2,466

2,497

2,527

14

2,145

2,191

2,233

2,273

2,311

2,347

2,381

2,414

2,446

2,476

2,506

Г5

2,132

2,177

2,219

2,258

2,295

2,331

2,365

2,397

2,429

2,459

2,488

16

2,120

2,165

2,206

2,245

2,282

2,317

2,351

2,383

2,414

2,444

2,473

17

2,110

2,154

2,195

2,234

2,271

2,305

2,338

2,370

2,401

2,431

2,459

18

2,101

2,145

2,186

2,224

2,260

2,295

2,328

2,359

2,389

2,419

2,447

19

2,093

2,137

2,177

2,215

2,251

2,285

2,318

2,349

2 379

2,408

2,437

20

2,086

2,129

2,170

2,207

2,243

2,277

2,309

2,340

2,370

2,399

2,427

25

2,060

2,102

2,141

2,178

2,213

2,246

2,277

2,307

2,336

2,364

2,392

&w,

2,034

2,075

2,113

2,149

2,183

2,215

2,246

2,275

2,303

2,330

2,357

50

2,009

2,049

2,086

2,121

2,154

2,186

2,215

2,244

2,271

2,297

2,323

100 ‘

1,984

2,023

2,060

2,094

2,126

2,157

2,186

2,213

2,240

2,265

2,290

ОО

1,960

1,998

2,034

2,068

2,099

2,128

2,156

2,183

2,209

2,234

2,258

X

п-2

0,55

0,60

0,05

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,9!»

1,00

1

18,025

18,355

18,661

18,941

19,195

19,422

19,619

19,782

19,907

29,975

2

5 *612

5,701

5,785

5,864

5,935

6,000

6,058

6,107

6,144

6,164

з

4 000

4,059

4,114

4,166

4,216

4,258

4,297

4,330

4,356

4,371

4

3,422

3,469

3,514

3,556

3,596

3,632

3,664

3,692

3,714

3,727

5

3,132

3,173

3,212

3,249

3,284

3,316

3,345

3,371

3,390

3,402

6

2,958

2,995

3,031

3,065

3,097

3,127

3,154

3,178

3,197

3,207

7

2,842

2,877

2,911

2,943

2,974

3,002

3,028

3,051

3,068

3,078

8

2’760

2,793

2,826

2,856

2,886

2,913

2,938

2,959

2,976

2,986

9

2,699

2,731

2,762

2,792

2,820

2,846

2,870

2,891

2,908

2,918

10

2,650

2,681

2,712

2,741

2,768

2,794

2,818

2.838

2,855

2,865

11

2,613

2,643

2,673

2,701

2,728

2,753

2,777

2,797

2,813

2,823

12

2,582

2,612

2,641

2,669

2,695

2,720

2,743

2,763

2,779

2,788

13

2,557

2,586

2,614

2,642

2,668

2,692

2,715

2,734

2,750

2,759

14

2,536

2,564

2,592

2,619

2,645

2,669

2,691

2,710

2,726

2,735

15

2,517

2,545

2,573

2,599

2,625

2,649

2,671

2,690

2,706

2,714

16

2,501

2,529

2,556

2,583

2,608

2,631

2,653

2,672

2,688

2,696

17

2,487

2,515

2,542

2,568

2,593

2,616

2,638

2,657

2,672

2,680

18

2,475

2,502

2,529

2,555

2,579

2,603

2,624

2,643

2,658

2,666

19

2,464

2,491

2,518

2,543

2,568

2,591

2,612

2,631

2,646

2,654

20

2,455

2,481

2,508

2,533

3,557

2,580

2,601

2,620

2,635

2,643

25

2,418

2,444

2,470

2,494

2,518

2,540

2,561

2,579

2,594

2,602

33 і/.,

2,383

2,408

2,432

2,456

2,479

2,501

2,521

2,539

2,554

2,562

50 “

2,348

2,372

2,396

2,419

2,442

2,463

2,483

2,501

2,515

2,523

100

2,314

2,338

2,361

2,384

2,405

2,426

2,446

2,463

2,477

2,485

ОО

2,281

2,304

2,327

2,349

2,370

2,390

2,409

2,426

2,440

2,448

^ Тчг ^ ^ Тгв * • • ^ bt ^ НВ ^ ^тВ ^

О tj іц t2 t2g t(i-‘i)g t-Li i/n tmB ^

Рис. 2.13. Модель функционирования элемента, восстанавливаемого за конечное время

[2]

становления имеет конечные случайные значения, зависящие как от свойств элемента, так и от характеристик персонала, ведущего восста­новление, организации работ, наличия ЗИП и других объективных и субъективных факторов. Заметим, что при описании показателей надежности элементов с конечным временем восстановления нельзя ограничиться только использованием характеристик техники или во­оружения, но нужно знать параметры организационной системы, вклю­чающей технику и эксплуатирующих ее людей. Этот факт часто игно­рируют в руководящих документах, в частности в ГОСТ 13377—75 (см. 124]), определяющем надежность как свойство только техники.

Представим модель функционирования элемента (рис. 2.13) в сле­дующем виде: работоспособный в момент t — 0 элемент функциони­рует в течение случайного времени Xj до первого отказа, фиксируемо­го достоверно в момент ti = хь затем в течение случайного времени т)в восстанавливается полностью до состояния, в котором находился и момент t = 0, и работает случайное время т2 до второго отказа, фик­сируемого достоверно в момент ^2 = ті + чв + т2, затем восстанавли­вается за случайное время х2в до начального состояния, и т. д. Моменты

— т! + Т1в + т2 + Г2к + ■ ■ ‘ + тг + тгв + ■ • ■ + Гт (т= 1,2, … )

(2.125)

составляют поток отказов, а моменты

Лвв : “Г т1в -]- Т2 Х2в — Г • •• ~Т ti ~1~ ^гв ""Ь ••• “Ь tm — f — TmB

(т = 1,2,…) (2:126)

образуют поток восстановлений элемента.

Будем полагать, что все случайные величины rt = т и тгв = тв (i = 1, 2, …, т) независимы, а также что у всех величин хг = х оди­наковый закон распределения F(t) — Я(х< t) с математическим ожи — данием Mir] = Tt и средним квадратическим отклонением Oi = l/’ Dir], а также все величины х*в — хв распределены одинаково с

[3]я=»2 (2.20ц

1=1

элементов.

Если все основные и резервные элементы в обеих системах имеют одинаковые надежности и отказы их возникают независимо, то вторая система, у которой масштаб скользящего резервирования больше, име­ет и большую надежность.

Получим формулы для расчета надежности этих с истей для случая нагруженного резерва в предположении, что надежности всех основ­ных и резервных элементов равны Pi. Для первой схемы в соответствии с (2.197) надежность і-й подсистемы

[4] (a 1) (Pl2*2 Pljtr,) — j — (b 1) (1 P21P12) ^3 _

A

«

= 1 + [(«— l)(Pi2^ + PiJb)+{b— 1)(1 — PvPitW/A — (7.167)

В качестве средних затрат в единицу времени ПМП можно рассмат-

1q> — + (b — 1) ( 1 — РщАмпп) ТВ

тмпп + Лін + тв _ Рмпп [твРпп + "пп (1—^ппі/^г + “з)]

(7.169)

Для рассматриваемой задачи (7.169) с учетом обозначений (7.155)—

(7.157) зависит от характеристик процесса тМпп, тв, тПп, ю4, со2, «з, образующих вектор X оптимизируемых параметров. От этих же вели­чин зависят вероятности р, — р5, определяемые выражениями (7.159)—

(7.163) .

Прежде чем сформировать функцию (7.104) или (7.108) ограничений GPi(X)], і — 1,2 5, и поставить задачу оптимизации, проанали­

зируем характер изменения вероятностей Pt и целевой функции С от оптимизируемых параметров.

Вероятность pt пребывания одноканального ЛК в работоспособ­ном состоянии, в готовности к применению представляет собой в соот­ветствии с определением, данным в § 3.2, коэффициент готовности ком­плекса /С пп, учитывающий процесс проведения ПП. Поскольку в данной задаче рассматриваются состояния, связанные только с про­ведением ПП, и не учтены возможные снижения готовности для устра­нения неисправностей при РП, то величина /Сгпп несколько больше, чем полный коэффициент готовности ЛК [величина Кг (3.21)], в ко­тором учитываются все внеплановые снижения готовности ЛК. Таким образом, величина Pi = /Сгпп может задаваться непосредственно как одно из возможных ограничений.

Важная характеристика системы ПП — вероятность Р3 пребыва­ния в состоянии 3 (в) восстановления ЛК. Чем выше вероятность Р3, гем меньше коэффициент готовности ЛК, однако величина Р3 опреде­ляет не столько готовность ЛК к применению, сколько загруженность персонала, ведущего эксплуатацию, ремонтно-восстановительными работами. Поэтому вероятность Ps может рассматриваться как само­стоятельное ограничение.

Вероятность Р4 пребывания в состоянии скрытого отказа линейно связана с величиной /Сгпп [см. (7.159) и (7.162)], поэтому ее можно исключить из функции ограничений, оставив только ограничение на величину Pi.