Синтез цифровой коррекции по частотным характеристикам

Рассмотрим теперь некоторые особенности формирования жела­емых логарифмических характеристик. Для обеспечения грубости системы нужно, чтобы соответствующая желаемая передаточная функция разомкнутой системы W(z) имела бы в качестве своих ну­лей и полюсов все те пули и полюсы функции Wo(z), которые рас­положены вне окружности единичного радиуса на плоскости г.

Для оценки точности ЦАС используется величина ошибки в раз­личных типовых режимах, либо коэффициенты ошибок. Поскольку на точность регулирования оказывает влияние вид частотных ха­рактеристик разомкнутой системы в области низких частот, то фор­мирование характеристик в этой области должно быть подчинено требованиям, предъявляемым к ЦАС в отношении точности работы. Так как в низкочастотной области логарифмические характеристики непрерывной системы и ЦАС практически совпадают, то для фор­мирования характеристик в этой области допустимо применять все существующие рекомендации, разработанные для синтеза систем непрерывного действия. В частности, при расчетах ошибок ЦАС можно применять эквивалентный гармонический режим [7, 38] и т. п.

На величину установившихся ошибок непосредственное влияние оказывает порядок астатизма системы. Нужно иметь в виду, что в ЦАС порядок используемого экстраполятора не влияет на резуль­тирующий порядок астатизма ЦАС. Так, например, если задающее воздействие изменяется по закону

(2.91)

то при k<r {г — порядок астатизма) установившаяся ошибка х=0, а при k=r ошибка x=const. При этом (г—1) коэффициентов ошибки будут равны нулю, т. е. сг=0 ((=0, 1,…, г—1). Поэтому накапливающаяся оошибка на выходе экстраполятора нулевого порядка будет иметь место лишь при k>r.

В дискретные моменты t = nT накапливающаяся на выходе экст­раполятора ошибка ликвидируется. Выражение для максимума этой ошибки в конце интервала дискретности можно представить в виде

ar+l •J’r+l

(r + 1)

Рассмотрим теперь вопрос о влиянии периода дискретности на точность работы ЦАС. Квантование по времени приводит к частич­ной потере информации об изменении задающего или возмущающе­го воздействий внутри такта дискретности. Допустимое значение
периода дискретности при заданной ошибке Хтах, вызванной изме­нением задающего воздействия, можно определить из (2.92)

Т < Т/ (Г+ 1)!W- , (2.93)

У a,+i

где а1+1 — максимальное значение (г+1)-й произвольной от задаю­щего воздействия ЦАС.

Для системы с астатизмом первого порядка (г=1) допустимое значение периода дискретности определяется величиной ускорения на входе

2-У щах 8 (0max

(2.94)

Г<

Если задающее воздействие изменяется по гармоническому закону g(t) = Gmax sin (ogt, то

(2.95)

Аналогичные выражения для выбора периода дискретности из условия ограничения накапливающейся ошибки для системы с аста­тизмом второго порядка (г=2) имеют вид

(2.97)

Аналогичные выражения могут быть получены для определения максимального допустимого периода дискретности Т из условия ограничения накапливающейся ошибки при учете возмущающих воздействий.

Формирование желаемых ЛАХ из условия обеспечения требуе­мого запаса устойчивости проводится в области средних и высоких частот. Главным при этом является выбор надлежащего местополо­жения и протяженности участка ЛАХ, пересекающего ось нуля децибел с наклоном 20 дБ/дек. Здесь можно исходить из различных критериев качества, используемых для оценки запаса устойчивости непрерывных систем. Одной из самых простых и удобных для инже­нерных методов синтеза является оценка запаса устойчивости по величине показателей колебательности R и М [15].

Можно показать, что для цифровых автоматических систем, име­ющих передаточные функции общего вида (2.64), заданный показа­тель колебательности М будет достигаться, если выполнить следу­ющие два условия:

1. Сумма сопрягающих частот, меньших частоты среза Я, с— сос, должна быть

М— 1 м

или

где Я, о~юо — базовая частота [38].

2. Сумма постоянных времени, соответствующих сопрягающим частотам, большим частоты среза Хс,

или

п

rs= V Г,,

?+1

Условия (2.98) полностью совпадают с аналогичными условия­ми, используемыми при синтезе непрерывных систем, так как они накладывают ограничения на вид логарифмических характеристик в области слева от частоты среза. Условия (2.99) отличаются от соответствующих условий для систем непрерывного действия, так как в области справа от частоты среза логарифмические характе­ристики непрерывной и цифровой систем принципиально отличают­ся друг от друга.

Если в качестве показателя колебательности используется оцен­ка R [15], то для обеспечения необходимого запаса устойчивости вместо условий (2.98) и (2.99) нужно выполнить также два ус ловия:

(2.100)

(2.101)

При учете постоянного временного запаздывания условия (2.98) и (2.100) остаются без изменения, а в левых частях формул (2.99) и (2.101) вместо 772 + 7% нужно подставлять значения

[l + 2(A+i)J — + Tv (2.102)

Для решения задач синтеза ЦЛС по заданному запасу устойчи­вости могут быть полезны таблицы типовых (желаемых) логариф­мических частотных характеристик [38]. В табл. 2.1 приведены ти­повые передаточные функции, а на рис. 2.4 показаны типовые лога­рифмические частотные характеристики.

Структурные схемы ЦАС, при введении последовательной и параллельной дискретной коррекций, а также при дискретной кор­рекции обратной связью приведены на рис. 2.5, а, б, в соответст­венно.

Передаточные функции разомкнутой системы равны: для случая последовательной коррекции (см. рис. 2.5, а)

W(z) = D„.K(z)V, W2(zy, (2.104)

при параллельной коррекции (рис. 2.5, б)

U/ (г)=Ц,.с (z) W, (z)+WxWi (г); (2.105)

при коррекции отрицательной обратной связью (рис. 2.5, в)

_JW2(£)___

1 + А>.с (z) W2 (2)

Как и раньше, соответствующим выбором корректирующего устройства приравниваем передаточную функцию разомкнутой си-

стемы W0(z) = WW2(z) желаемой передаточной функции W(z). Для первых двух способов коррекции требуемые передаточные функции дискретной корректирующей цепи находятся из уравнений (2.104) и (2.105).

Ф(£) 1 . !-«<*) (*)’

Так

Определение дискретных корректирующих устройств последова­тельного и параллельного типа просто проводить методом логариф­мических частотных характеристик, используя понятие желаемой

(2 + Pi) …(*+ fc)(*2 + 2glz + Vl) — (г> + 2*i* + Y;)

ЛАХ. Пусть дискретная частотная пе­редаточная функция исходной нескор­ректированной системы r°w—(д- т. е. непрерывная часть соответствует двум интегрирующим звеньям. Желаемую дискретную передаточ­ную функцию возьмем в виде (см. табл. 2.1)
Рис. 2.6. Логарифмические час­тотные характеристики
k([ + Дт)^1 —іД-^-)
w (А)=
(Д)2 и + д
где т> — л/~Хо=1/УС; —=Г< —1_ п V М— I г Ч ‘ 2 Х0 М+ Передаточная функция дискретного корректирующего устрой­ства определяется как Д,.к (уд) — 1 + /АТ-
^п(Д)	Т 1 + Д 2
или
1
GO

где |а,.|<1; |?/|<1; 0<d,<l;

c)<d] 0<‘V/<1; g2j<j.

Таким образом, функцию D(z) можно представить сомножителями четырех типов.

В табл. 2.2 приведены частотные передаточные функции, соответ­ствующие этим сомножителям. Данные табл. 2.2 могут быть весьма полезны при синтезе ЦЛС методом логарифмических характеристик.

Таблица 2.2

Частотная передаточная функция D (/ X)*

Типовые последовательные дискретные корректирующие устройства