Стареющих элементов по результатам их испытаний

В практических задачах оценки надежности или обо­снования программы обслуживания технических уст­ройств и их элементов методы статистической проверки гипотезы о возрастании интенсивности откавов на осно­ве имеющихся экспериментальных данных находят боль­шее применение, чем любые признаки принадлежности функции надежности к какому-то классу или даже фор­мулы для подсчета %(t) методом максимального прав­доподобия. Так, формулы (4.7) получены в предполо­жении, что оценивается функция надежности из класса IFR, а справедливость этого предположения надо обо­сновывать отдельно.

Статистические тесты, позволяющие идентифициро­вать функцию надежности технического устройства по выборке, содержащей п экспериментальных значений U, h ■ ■ ■, tn, строятся на основе проверки гипотезы Н0 =A,=const— интенсивность отказов постоянная величина против гипотезы H\h(t) — интенсивность отказов возрастающая функция времени. Идея провер­ки гипотез очень проста; если интенсивность отказов постоянна, то с ростом времени интервал между двумя отказами не должен сокращаться. При проверке этого факта существенно используется ранжировка моментов — отказов в порядке возрастания ^1=^2^ ••• tn, что объ­ясняет широкое распространение порядковых статистик для идентификации функций распределения стареюще­го типа.

Простой тест для проверки старения предложен в работе [9]. Определим интервалы D; и нормализован­ные интервалы Dai следующим образом:

= £>н1 = яА;

D%—t2 —1\ Dh2= in—1)’Ог;

Ш

Обозначим

Подпись: Vij =если Dm^Duj’,

О, если D„i<Dnj, i>f,

Определим статистику ип следующим образом’:

п

Подпись:Подпись: U ІV — Vn~

1=1 1=1

Тогда нулевая гипотеза отвергается с уровнем зна­чимости а, если vn>bn, a, где граничное значение определяется так, чтобы P{vn>®n, a/H0} = a. В этом слу-> чае принимается альтернативная гипотеза Яі о том, что K{t) возрастает во времени. При прини­

мается нулевая гипотеза.

Эвристически проверка гипотез с помощью данного1 критерия может быть обоснована следующим образом, При нулевой гипотезе нормализованные интервалы Р)л{ распределены независимо, каждый по экспоненциально­му закону так, что P{i>ij=l}=0,5 при i, j = 1, 2… n, іФІ — При справедливости альтернативной гипотезы P{vtj= 1}>0,5 при і, j= 1, 2, , п, когда i>j, так как

для более ранних моментов времени значения интерва­лов должны быть больше, чем для поздних. Таким об­разом, каждое значение оу и, следовательно, vn будет больше при альтернативной гипотезе. Поэтому при больших vn нулевая гипотеза отвергается.

Для практического применения критерия необходимо знать распределение vn, исходя из которого можно най­ти vn, а ■ Распределение вероятностей P{vn^k} при спра­ведливости нулевой гипотезы определяется формулой (34]: Р{оп=Щ=Пп{Ь)1п, &=0, 1, 2,. . ., где Пп(к)— число перестановок нормализованных интервалов, в ко­торых имеет место точно k случаев Яш>ЯНз при г</.

Для nn(’k) справедливо следующее рекуррентное соотношение (при п>2): Пп (к) = Я?1_1 {<k) +ПП~і (k—1) + + . . . Яи_(k — я+1), где nn(k)=0 при к<0. Число пе­рестановок из двух элементов легко выписать: ЯніЯн2, Dh2Dh1. Отсюда Я2(0) = 1,Я2 (1) = 1, Я2(2) =0. На основе указанных соотношений вероятность P{vn = k] может ‘быть подсчитана для любого значения я.

В табл. 13 приведены значения функции распреде­ления F (-&} = P{vn^k} для я^Ю, полученной с помо­щью выписанной ранее рекуррентной формулы для 9* Ш

П

2

3

4

5

6

7

8

9

ifl

0

0,900

0,1187

10,0412′

0,0108

0,001

O.’OOO

■O.’OlOO

0,000

0,000

11

1,000

0,600

0,167

0,042

0,OOi8-

O. OOll

0,0l00

0,000

0,000

2

0,833

0,375

0,Ы|7

0,’0’2І8

О. ЮОБ

0,000

0,000

0,000

а

1,000

оде

0,2412

01,008

0,!0H5

0,003

0,000

0/000

4

0,833

0,408

,0і, Ч36

0/034

0,907

0,001

0,000

‘5

0,9.58

0,692

0,235

0,068

0,016

0,003

0,0101

в

1,,ТО0

0,17|5:8

.0,360,

0,119

0,030

0,006

0,0102-

7

0,883

O’jSOl)

0,191

0,0415

0,012

0,004

S

0,968

0,640

0,281

0,089

0,0212

0,008

9

0i,99a

0,7|65

0,386

0,1-37

0,037

0,011

10

1,1000

0,864,

0,600

0,199

0,080

0,023

11

.0032

0,614

0і,274

0,090

0,036

12

0,972

0,719

O, S0O

0,1,30

0,054

13

0,992

0,809

0,452

0,179

0,0718

14

0,996

0,808

0,547

0,238

0,108

16

‘ 0,992

0,931

0,640

0,30,6

0Д 46

16

1,000

10,9615

0,726

0,381

0,190

17

0,984

0,801

0,400

0,242

48

0,904

0,862-

0,640

оде

.19

I0;,9S8

0,910

0,619

0,363

30

01,999

0,946

0,694

0,381

2L-

0,069

0,762

0,431

22

0,984

0,821

оде

23 •

,0;,99I2

0,870

0,969

24

0,997

0,910

0,636

25

0,399

0,940

0,7100

26

0,9-99

‘0,962

0,738

27

1,000

0,778

0,810

28

1,0010

•01,008

0,864

29

0,993

0,892

30

0,097

0,022

31

0,998

0,946

за

0i,999

0,-9®4

33

0,909

0,976

34

1,000

0,985

Ж

1,000

0,992

т

1,0100

0,995

37

0,996

38

0,9198

39

0,999

Л» (А)

Числовые

характеристики

статистики

Vn

опре-

деляются формулами: Evn = l/4n-(n—1), Dvn= 1/12 X

Хп{п—1)(2/г+5). Оказывается, что распределение vn является асимптотическим нормальным с указанны­

ми выше параметрами. Это распределение уже при не — 182

больших п довольно близко к нормальному, что позво­ляет при n> 10 для нахождения -0и, а использовать таб­лицы нормального распределения. Тогда

К, а = Е VH + “1 — а’У Dvn, (4.10)

где «1-а — квантиль нормированного нормального распределе­ния.

Пример 1. Пусть имеется следующая выборка значений нара­ботки до отказа невоестанавливаемых объектов (в часах): 1.3, 40, 96, 80, ‘Ю4, .1210, Р49, 162, ,1713, 1в9, Ш, 200, 201, 267, 276. Это дан­ные по испытаниям одного из магнетронов, работающих в радиоло­кационном оборудовании самолетов. Пользуясь непараметрическим критерием, необходимо проверить гипотезу о возрастании интенсив­ности отказов этого типа магнетрона. Тогда интервалы имеют сле­дующие значения: .113, 27, 16, 33, №, 46, 29, 113, Ш, 46, 1, 10, 1, 66, 9. Нормализованные интервалы составляют ряд: 196, 378, 2108, 396, Ш5, №0, 2*61, ‘104, 77, 96, б, 40, 3, 1-32’, 9. Для подсчета v„ удобно использовать следующий прием. Интервалы DH; записывают в виде ряда, приведенного выше. Интервал DBf последовательно сравни­вают с остальными интервалами, и результат сравнения, т. е. зяа — • чение Vij в виде единицы или нуля, записывают под интервалом, с которым сравнивают. Аналогичную операцию выполняют для всех интервалов, причем сравнение осуществляется только с интервалами, имеющими больший номер.

Для рассматриваемого примера получим результат

77

96

5

40

3

132

9

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1-

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

f

-0

1

1

1

0

1

. 1

1

1

0

1

0

1

0

.0

1

о-

1

G О 1

Подпись: 378 203 396 165 160 261 104 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1

Просуммировав все единицы, получим — оп = 816. Задав уровень значимости а=!0.,Ю1, находим по формуле (4.10) с учетом того, что

Ц0,99=(2,ЭЗ,

„ 15(15 — 1) ‘ , /15-14-35

«■„ = ——— 1——— -+ 2,33 1/ ———— :——- = 76.

и. <х 4 У 12

Так как Оц>‘в’ті, а, то нулевая гипотеза (о неизменности интенсивно­сти отказов) отвергается с уровнем значимости’а=0.,01 и, следова­тельно, принимается альтернативная гипотеза о том, что интенсив­ность ‘— возрастающая величина.

Пример 2. Результаты наблюдений за моментами отказов блока составили ряд: 16, 44, ’55, 6(7-:, 713, 76, 80, 81, 86, 9іЗ, 1ЮО, 108, 114, -1ЙО, 1©5, :№, іІЗ% 404, 14(0, 147, 1418, 151., 1S2, 168, 118:1, 190, 193, 2П‘3, 2il5. Интервалы DBі равны: 464, 784, 297, 31!2, 1150, 7Й, 9’2, 22, 105, 140, 11313, 144, Ш2, 96, 7і5і, 56, 39, 24, 66, ,710, 9, 24, 7, 36, 115, 36, 6,-40, 2. Для этого. примера:

оn =(ЗІ1і7; £,Ип=121ЙЗ; Dt)re=263; Он, о,962=317.

По этим данным гипотезу о неизменности интенсивности отка­зов следует отвергнуть, и ошибки при этом составят менее 4 %.

Другой тест, позволяющий идентифицировать функ­ции надежности типа IFRA, предложен Холландером и Прошаном в 1975 г. Он тоже основывается на том, что при справедливости гипотезы Н0 .нормализованные интервалы Dnj= (tj — 7,_i) (n— / + 1) ‘распределены нор­мально. Более поздние исследования доказывают, что распределение сходится к нормальному медленно и поэ­тому в первоначальный тест Холландера — Прошана вносится некоторая поправка.

В качестве различающей статистики используется

Стареющих элементов по результатам их испытаний

где ljn = lk{]ln)s— (1 — 1/2и) (Цп)2+ (72— 1/2я+1/6п2) (//»); / — по­рядковый номер момента отказа tj в ранжированном ряду экспери­ментальных данных.

■Границы для статистики v приводятся в табл. 14. В ней даны интервалы, в которых с вероятностью а должно лежать число v при п экспериментальных дан­ных.

Применив критерий (4.11) в примере 1, получаем: n = 15, и = 3,01. Число 3,01 не укладывается в интервал [—2,815; 2,143], полученный по табл. 14, т. е. с вероят­ностью ошибки менее 1 % следует отвергнуть гипотезу о неизменности интенсивности отказов магнетронов.

Приведем еще один тест, позволяющий сравнить два пуассоновских ‘процесса с интенсивностями X(t) и %■ Тест предназначен для проверки гипотезы H0:h{t)IX постоянно против альтернативы Hx:X(t)/X возрастает во времени. Пусть іN (t) — пуассановс. К‘ИЙ. процесс с ‘ин­тенсивностью І и ti — время достижения этим процес­сом уровня k T/t = inf (7: N (t)—N (0) — k). Задан также другой процесс M(t), — и для него = inf (t:M(t.) —

— М (0) =’/e). Оба эти процесса, заданы на отрезке (0, t) 134

п

а =0,0.1

а =

0,05

а —

одо

■2

—2/514′

2,511

—2,31016

2,306

—01,049′

2/049

,3

—3,1-69

2,441

—2,489

2,011

—1,979

1,689

4

—3,267

2,247

—‘2,372

1,877

—,1,811

1,5915-

5

—:3,27’7

2,SOS

—2,257

1,7915

—1,71013

■1,541—

6

—,3,159

едрбі

—2,117,3

1,750

—1,639′

4,405!

7

—здаз

2,162

—Е,’Г1’5

4,718

—1,593

4,432

8

—3,037

2,16131

—121070

4,697

—’1,55’8

1,408

9

—3,9910

2,447

—2/ОЗЭ

,1,68,1

—11,531

1,389

40

—2,951

2,444

—2/003

4,,669

—1,508

1,376

.41

—12,9116

2,142

—1,97’8

1,,66Ю

—1-,4’9!0

1,364

42

—2,886

2,142

-=1,957

11,652.

—1,475,

4,36.4

13

—2,860

2,142;

—4,9139

1,646

—1,46’2-

■1,346

14

—2,836

2,140

—1,923

1-841

—1,454

■1,346

•не

—2,81,5

2/1,43

—4,010,9

1,637

—4,441

1,334

116

—’2,796

2/1-44

—1,897

1,633

—11,4132!

1,,309

17

—2,779

2,446

—.1,886

4,630,

—1,425

1,-325′

18-

—2,764

2,447

—11,-8716

1,628

—1,41-8

1,321

■19

—2,749

2,148

—1,867

1/626

—1,4Т2

4,348

20

—2,73(6

2,149

—1,859

1,642′

—1,406

1816

35

—2,684

2,157

—1.1,826

4,1617

—4,385

4,804

за

—2,646

2/164

—1,804

1,614

—11,371

1,297

35

—12,61®

2,171

—1,788-

1,612

-1,360

4,293,

40

—2,5915

2,177

—1,775

1,61,1

—1,,350

1,289

45

—2,577

2,182

—1,7(05

1,610

—4,-346

4,287

60

—2,-562

2,187

—1,757

1,6110

-4,341

1,085-

95

—2,549

2,19Н.

—.1,7150

■1/610

—1/337

4,,283

60

—2,538

2,405.

—4,744

•1.ЄШ

—4,’33(3

1,282

своими реализациями, такими, что N(t)—М(0)=п и M{t) — ЩО) =т.

Можно показать, что порядковая статистика

т

v = 2max07 : T„<Pj) (4.12)

/ = 1

подчинена «^распределению Манн-Уитни. Порядок при­менения статистики (4.12) очень прост. Во всех точках <р3-, в которых идентифицируемый процесс M-(t) с неиз­вестной интенсивностью имеет скачки, определяется номер скачка опорного процесса N (t) с постоянной ин­тенсивностью, наиболее близко расположенный слева от точки pj. Если сумма этих номеров меньше критиче­ского значения иа для одностороннего критерия Ман­на — Уитни при выбранном уровне значимости а и чис­лах наблюдений п и т, то отношение X(t)/{k надо счи­тать возрастающим.

Все три приведенных ранее теста предназначены для проверки гипотезы о старении по нецензурированным: выборкам, т. е. в случае, когда имеются сведения о мо­ментах отказов ївсех поставленных на испытания техни­ческих устройств. На практике чаще приходится иметь дело с цензурированными выборками. Сами тесты и выводы по ним для этого случая претерпевают значи­тельные изменения.

При построении теста для проверки гипотезы о том„ что «новое лучше старого», в условиях неполных дан­ных будем следовать в основном материалам работы [5]. Как и ранее, обозначим щ, тг,. . . , %п т,-— моменты отказа /-го устройства во время испытаний имеют рас­пределение F.(t) уи г/г, • • ■ , Уп, Уj — моменты оконча­ния — испытаний /-го устройства или из-за отказов или по каким-то другим причинам имеют распределение R (t).

Наблюдается Zj=Xj/yj и б3-={т3-<г/3], где [Л] — инди­катор события А. Если 6j = l, то устройство наблюдалось до момента отказа, если б; = 0, то устройство попало под цензурирование и сказать что-либо о времени его рабо­ты до отказа нельзя.

Проіверяется гипотеза о принадлежности распреде­ления F (t) к классу IFRA на основе. наблюдений {zj, б,}. При наличии цензурирования оценки для функции на­дежности следующие:

Подпись: Rn (t) =
Стареющих элементов по результатам их испытаний Подпись: (4.1-3)

Fn (f)‘=Hn'{t)Rn (t); Нп (t) =JV+ (t)Jn;

Оценка функции распределения Fn{t) имеет скачки во всех точках, в которых t=Z, z% . .. , zn. Значение скач­ка в k-к точке:

{и-1 (тг — A-М)-1 [бг=0] +п-‘ [бг=.1]}^ (г*).

В качестве меры принадлежности функции — надежно­сти F’(>t) к тому — или иному классу используем статисти­ку, введенную Холландёром и Пришаном |26] для нецен — зури’рованных выборок:

оч _ І ОО___

ЦР) =i [F{t))*dt I F(t)dt. ‘ (4.14)

о /о

Для всех F (т. е. ЕеЯ0/#і) статистика (4.14) прини — 136′

мает значения от 0,5 до 1. ‘Простая подстановка убеж­дает, что если F^H0, то 1(F) =’0,6. Чем больше 1(F) приближается к 1, тем больше свидетельств в пользу того, что F^H, т. е. тем ближе F (t) к классу IFRA.

Использование статистики (4.14) для случая произ-‘ вольного цензурирования простой подстановкой в нее Fn(t) ив (4.13) не обеспечивает хороших результатов из-за того, что при больших t изменения Fn(t) бывают очень резкими. Поэтому статистика (4.14) модифициру­ется к виду:

М„_ Мп_

Vn= J {Fn(t)}WJ J Fn(t)dt. (4.1.5)"

о / о

Здесь М-*-оо при я-»-оо, а порядок изменения Мп будет назначен в дальнейшем.

Та же самая формула.(4.15) в виде, приспособлен­ном для расчетов, переписывается так:

vn =

2 Rn(zi-t) X(zj — Zj-i)Fn(zj-1)( 5г~° ■

1=1 j= і ‘ n {ti —— /4-1) ti J,

“■ n _ h

2(Zj — zj-l)Fn(zj-i) [ZiSCM,,]

/= і — *

+Fn (Mn) ■

При отсутствии цензурирования, когда Zj = tj, Rn = 1, Mn= oo, Fn(Zj) = (ti — j + l)/n, б3=1, статистика (4.15) превращается в приведенную ранее статистику (4.11) с точностью до масштабных коэффициентов.

Распределение статистики vn зависит от интенсивно­сти отказов X (t) и закона цензурирования R (t). Так, если F(t)^H0, то в [26] доказано, что статистика (4.15)’ имеет нормальное распределение с математическим ожи­данием:

Ev п=’R2 (1 + е~м"1Г’) . (4Л6>

и дисперсией

Dvn=i +>/Rn (Мп) {ье~ШпІТі — 4е““ЗМ’г/7’1 — ЗП4уИ"/Гі) +

+2(1-6,) l[i+N+(z,) )Rn(Zj){ie^zjlT’^e~2zjlT,+3e~ZJ’ri), i=і

(4.17)

n j n

где 7’1 = 2zy / —экспериментальное значение средней

/=і / /= і наработки на отказ.

Нормальность распределения vn сохранится и тогда, когда F^Hі, но оценки математического ожидания и дисперсии будут иными.

При назначении Мп следует руководствоваться тем, что эта величина должна иметь порядок п'<, где 0,5^ Так, если выбрать Mn=d(ogn)s с задаваемы­ми d>0 и s>l, то справедливость (4.16) и i(4.17) гаран­тируется для функций F,[t) и R{t), которые или ведут себя при больших t ‘подобно іt~'< , у>0; или при t-*- оо удовлетворяют условию {F(t) + R (/)}е”Т-^0(1) для

некоторого у>0. Интересные с точки зрения практики ■функции надежности F (t) и цензурирования R(t) этим условиям удовлетворяют, так как при большом времени наработки вероятность безотказной работы опадает до­статочно быстро.

Обобщая изложенное, дадим процедуру проверки гипотезы Н0 по цензурированным наблюдениям:

1) приняв за основу возрастание Мп по закону Мп = =d(logn)0’9 выбираем такое d, чтобы Мп была больше ■самого большого из наблюдений zn или больше ресурса технического устройства;

2) при выбранном Мп подсчитываем значение разли­чающей статистики vn по формуле ‘(4.15), а также ма­тематическое ожидание и дисперсию для нее в случае справедливости гипотезы Н0 по формулам (4.16) и

(4.17);

3) проверяем справедливость гипотезы Н0. Ее сле­дует принять с вероятностью ошибки не ‘более а, если VnKEvn + Ui-a ijDvnln.

Рассмотрим данные о 29 отказах блока аппаратуры, приведенные в примере 2. Добавим лишь, что на испы­таниях велось. наблюдение за 69 комплектами аппара­туры. При любом отказе комплект с дальнейших испы­таний снимался. Сорок комплектов снято в связи с от­казами других блоков в моменты времени (в месяцах) 13, 14, 19, 20, 21, 23, 25, 26, 27, 31, 32, 34 37, 38, 40, 46, 50, 53, 57, 58, 59, 60, 65, 66, 70, 85, 90, 98, 102, 103, ПО, 118, 124, 130, 136, 138, 141, 194, 234. Таким образом по­лучено 29 нецензурованных наблюдений и 40 цензуро­ванных.

Выбираем d = 70, тогда Мп = 256, т. е. больше самого большого 26о = 234. По результатам наблюдений:

Ш

Ті = 219; Япп=0,66; Т>иїг = 0,262; ип=0,70. Отсюда

Иі_а=1,26; а=0,11. Таким образом, .вероятность ошибки, если імьі отвергаем гипотезу о неизменности интенсив­ности отказов исследуемого блока, составит более 10%. В таких случаях не принято считать подтвержденной ги­потезу о старении, в то время как тест без учета цензу­рирования приводил нас ранее к противоположному выводу.

К непараметрическим статистикам, позволяющим идентифицировать класс функции надежности, примы­кают статистические оценки параметров стареющих рас­пределений. Наибольший интерес представляет, конеч­но, оценки квантилей yv уровня р функции надежности Я(ур)—р с задаваемой доверительной вероятностью а. Бели БеЯо, то аналитическое выражение для квантили несложно: ур = ціп (1/1 — р). Входящая в нее величина р — среднее время между отказами при испытаниях по планам [Я, Б, г] или [N, Б, Т] оценивается с вероят­ностью а по формуле

р^2S(tr)lxl 2г (4.18)

где Хд, 2 г—— квантиль распределения X[1] С 2г степенями свободы

г

при уровне a; S(tr) =2^-+ (N — г)Т — суммарная наработка всех N ;’= і

поставленных на испытания устройств к моменту г то отказа или при достижении заданной наработки Т.

Таким образом, оценка квантилей ур по результатам испытаний, если известно, что РєЯ0, осуществляется просто;

Подпись: S{U).21п (1/1 — р) YPS=—1

Ха, 2г

Подпись: Ур^тш Подпись: 21п (1/1 —р) ,,2 2г Подпись: S{tr Подпись: (4.19)

Однако, если на самом деле РеЯь то оценка (4.18) мо­жет быть и слишком оптимистичной, так как при про­должении испытаний на время, брлыпее Т, отказы испы­тываемых изделий будут происходить чаще. Соответст­вующая поправка в квантиль ур для плана испытаний [Я, Б, г] была внесена Барлоу и Прошаном еще в 1966 г.:

Смысл этой поправки в том, что в начале испытаний, пока отказов мало и 2 г невелико, в качестве оценки

139

среднего времени между отказами следует брать вели­чину S(tr)fN. Когда отказало достаточно много объек­тов (при а = 0,9 такое граничное значение r^pN), сле­дует переходить на оценку (4.18).

В работе Ю. К. Беляева ‘[8] оценка (4.19) распрост­ранена на несколько практически интересных случаев.

1. При оценке квантилей экспоненциального семей­ства со сдвигом, когда до некоторого времени to ‘(гаран­тийного срока) отказы не наступают, суммарная нара­ботка до первого’ отказа Nt0 составляет большую долю от полной суммарной наработки S<{tr). В этом случае при больших г, когда

In(4 — а)./1п (;1 — р) 2т /(21п(В./Ц — р),

выгоднее использовать в качестве квантили

уР=6+Л^2 (1V-/-H)

(=i

2. При испытаниях, прекращающихся в момент реги­страции первого отказа, наступившего после заданного времени Т, или при испытаниях по плану [N, Б, Т] в оценке (4.19) следует полагать:

NT, если отказов не было;

Подпись: 5(6)t+ … + fv+(lV— v)T, если 0<v</-;

t+… +6-i+(ЛІ — r+’)T, если v>r,

где v — номер отказа, наступившего после Т г — заранее до испытаний заданное число 1<г<ЛЦ

3. При испытаниях с прогрессивным цензурировани­ем, когда в моменты отказов с испытаний снимаются •последовательно щ, п2, ■ . . , пг изделий (например, для более тщательного исследования их состояния с разбор­кой), оценка (4.19) остается справедливой.

Полученные Ю. К — Беляевым результаты основаны на изучении строго положительных линейных статистик 2

изучением еще одного практически интересного случая. Пусть ГеЯо и сведения об отказах получаются с помо­щью специальных сообщений об эксплуатации N техни­ческих устройств, в которых приводятся наработки уст­ройства в момент отказа tj. Таких сообщений получено :Г, но нет уверенности, что о всех отказах были присла­ны сообщения. О наработке неотказавших устройств известно, что она составляет около Т часов, но точные значения наработки каждого устройства не известны. Описанная ситуация имеет место, если донесения о ре- .альной наработке неотказавших устройств не собира­ются, а числа N и Т получены на основании плановых заданий на использование изучаемых устройств. Требу­ется оценить среднее время между отказами р.

Можно предположить, что все устройства, о работе которых донесений нет, так же, как и те, о которых донесения получены, отказали. При справедливости этого предположения (обозначим соответствующую ги­потезу Hi) в суммарной наработке для подсчета р сле­дует учитывать только сведения о наработке до отказа

Подпись: Г

г устройств: 5i(fr)= S tj. Можно сделать другое пред­

положение Я2 — все устройства, об отказах которых со­общений нет, в течение времени Т работали исправно.

Подпись: Г

Тогда *S2 (£?■) = 2 tj + (Я— г)Т. Наконец, можно считать.

что ‘отказало именно столько устройств, сколько должно отказать в среднем за время Т, но об отказах {Я(1_ е-т/v-) .— г] устройств по каким-то причинам до­несений не ‘поступило. При таком предположении

Подпись: ГПодпись: (r+a)e~r/|tl —0,5Стареющих элементов по результатам их испытаний(4.20)

Эта формула получается при построении оценки макси­мального правдоподобия для р, соответствующей Я3.

В каждом конкретном случае надо избрать ту из методик подсчета суммарной .наработки, которая луч­ше всего соответствует собранным исходным данным: {pi = 5i (Я)/’Г, г} и имеющимися сведениям о значениях Т и N. Наиболее подходит та оценка Si(-tr), которая под­считана по гипотезе Ні, лучше всего подтверждаемой со­бранными сведениями. Так, если T/pi>0,7, то гипотеза Я і предпочтительнее Я2. Гипотеза Яз предпочтительнее

Яг, если r/N<l — е~т/^ . В этом случае справедлива формула і (4.20), с помощью которой среднее время меж­ду отказами р можно подсчитать, не имея сведений о наработке всего эксплуатируемого парка ЛА, лишь по приблизительным ■ оценкам наработки Т (результат от неточного знания Т изменится незначительно).