ВЫЯВЛЕНИЕ СТАРЕНИЯ АВИАЦИОННЫХ СИСТЕМ. НА ОСНОВАНИИ СВЕДЕНИИ ОБ ИХ ОТКАЗАХ. В ЭКСПЛУАТАЦИИ

4.1. Изменение интенсивности отказов стареющих элементов технических устройств

В последние годы в связи с необходимостью научно­го обоснования программы обслуживания технических ■устройств в процессе их эксплуатации в исследованиях 120

по теории надежности резко возрос интерес к изучению» свойств функций безотказности неэкспоненциального* типа. Ключевой характеристикой элементов технических, устройств, у которых функция распределения времени до отказа (функция надежности) F(t) отличается от экспоненты, является интенсивность отказов:

(4.1)*

Рост интенсивности отказов принято считать призна­ком старения элементов, так как условная вероятность — возникновения отказов за единицу времени у таких. элементов тем больше, чем дольше они эксплуатиру­ются.

В зависимости от характера изменения интенсивно­сти отказов во времени в современной теории надеж­ности различают несколько классов функций надеж­ности.

в) Mt)1-

1. Функции надежности с возрастающей интенсивно­стью отказов (кратко ВФИ — возрастающая функция интенсивности или в английской транскрипции IFR), К этому классу относятся функции распределения,, у которых %(t) строго возрастает во времени. Примеров

служит нормальная функ­ция распределения (рис.

4.1, а) или распределение Вейбулла:

f (t) =mt~l0tm-1exp (—tjh);

%{t) =mf-10tm-1

(4.2)

с параметром т> 1 (рис. 4.2).

Формальный признак для отнесения функции надежности к классу IF. R можно записать так: ~F (ti)F(t2) >F (ti + t2) для всех t, или_Р{т>

>t — S/x>4} = F {t + + S)/F(t) убывает no t для любых S^O, где т — момент отказа.

2. Функция надежно­сти с убывающей интен­сивностью отказов (в ан­глийской транскрипции DFR). Примером такой функции со строго убы­вающей во времени K(t) является распределение Вей- ■булла с параметром от<1 (рис. 4.1,6 и 4.2). В литера­туре приводится много примеров реализации функций надежности и типа ВФИ и типа DFR. Так, функции на­дежности резисторов и конденсаторов относятся, как правило, к классу DFR (они хорошо аппроксимируются распределением Вейбулла с т = 0,57ч-0,83). Примерно таков же характер изменения интенсивности отказов большинства типов диодов и триодов. Однако у диодов, рассчитанных на токи более 30 А, наблюдается старение (для аппроксимации их функций надежности подходит распределение Вейбулла с т= 1,22). Такая же тенден­ция в изменении надежности триодов большой мощно­сти (т=1,36).

Интересные данные о характере интенсивности от­казов агрегатов современного транспортного самолета приводились в 1972 г. в журнале «Флюг ревю» № 4. По данным авиакомпаний, интенсивность отказов типа

IFR имеют 8—11 % агрегатов, типа DrR — 68 %, а ти­па UHR — 4 %.

3. Функции надежности с вогнутой или U-образной интенсивностью отказов (UHR). К этому классу отно­сятся типичные для инженерных приложений функции надежности элементов, имеющих большую начальную интенсивность отказов из-за приработки и возрастание потока отказов в конце срока службы вследствие ста­рения (рис. 4.1, в). На формальном языке F(t) относит­ся к классу UHR, если %(t) убывает при t^.t0 и возра­стает при t>t0. Роль границы между классами играет экспоненциальное распределение F(t) — l — exp (—%t). На сравнении функции надежности с экспонентой и ба­зируется классификация.

Все разнообразие функций распределения не охваты­вается полностью названными тремя классами функций надежности. Достаточно указать та суперпозицию двух экспоненциальных распределений с постоянными интен­сивностями Ли и %2. Для такой суперпозиции, если характерно падение интенсивности отказов во времени на начальном участке и установившееся ее значение %(t) =const = A, i при большой наработке t тех­нического устройства. Это обусловливает выделение еще некоторых классов функций надежности, интерес­ных с практической точки зрения.

4. Функция надежности с возрастающей в среднем интенсивностью отказов IFRA. В отечественной литера­туре элементы с такой надежностью называют «старею­щими в среднем» (см. рис. 4.1, г). Для характеристики функций надежности этого класса используется поведе­ние во времени интенсивности отказов в среднем

A(t)=t~^fX{x)dx= —n[l—F(t)]/t. (4.3)’

U

А [і) называют функцией ресурса [8]. В классифика­ции функций надежности по изменению A(t) во време­ни тоже используют ее техническую интерпретацию. Если Л(/) возрастает, то это говорит о том, что средняя остаточная продолжительность работы элемента, нара­ботавшего время t, меньше, чем у элемента с меньшей наработкой. Такие элементы имеет смысл заменять в эксплуатации на новые.

та

‘Для экспоненциальной функции надежности Л (t) = itX=const и профилактичесіше замены элементов в этом случае неэффективны.

Для элементов класса IFRA новый объект в среднем. лучше, чем использованный. Отличие их от элементов класса IFR состоит в том, что у стареющих в среднем элементов X(t) не обязательно монотонно возрастает. Для них F(a^)>[F(0] при а^О. При описании свойств функций надежности из класса IFRA используют сред­нее оставшееся время до отказа Е(% — tj%~>t), если из­вестно, что до момента t отказа не произошло. В работе JB3] исследовано, когда можно ожидать линейный’ рост во времени £(т — Показано, что соответствую­

щая функция надежности будет реализована, если наблюдается смесь экспоненциальных распределений с интенсивностью X, а сама X — случайная величина, под­чиненная гамма-распределению:

f{X) = am/T(rn)Xm~1exp(—аХ), (4.4)

где т ,и а — параметры распределения.

Классификация непрерывных распределений бази­руется на сравнении их с экспоненциальным. Такую лее исключительную роль при дискретных распределениях времени жизни играет геометрическое распределение ■G(n) = qn, где q< — показатель.

Аналогично функциям надежности, плотности рас­пределения и интенсивности отказов в дискретном слу­чае вводятся:

.G(n)= 1—Р(х>п) рп = Р{х=п) %п=Рп1Р(х^п).

Аналог функции надежности типа IFR в дискретном случае можно определить как функцию, для которой, G(n+l)/G (п) убывает по я. В исследованиях А. Обре- тенова предложены другие методы характеризации функций типа IFR для дискретных распределений.

В частности, показано, что распределение, у которо­го Хп при всех я ограничено одним числом (1—а)-1,"яв­ляется обязательно геометрическим с показателем ;<7=а/1 — а.

Вообще методам характеризации распределения F (х) для отнесения его к одному из классов посвящено немало работ.

Для характеризации функций надежности предла­гается -использовать две величины: Пт / (() =f (0) и

}’ =р (t) . Если /(0) =0; V(0)<0, то функция ин­

тенсивности отказов, соответствующая распределению F(t), монотонно возрастает (относится к классу LFR), если / (0) = оо; цДО) >’0, то к классу DFR. ecnH f (0) = оо; ■пДО^О, то к UHR, если /(0)=Д; т]/(0)>0, то X(t) име­ет корытообразную форму, но перевернутую.

Для распределения экспоненциального типа, к ко­торому относятся у-распределение (4.4), распределение Вейбулла (4.2) или кубическое экспоненционное рас­пределение

f(t) = C(а, Р, у) exp{-at—№-yt3), (4.5)

где а, р, у — параметры.

Эти условия легко проверить аналитически. Для смесей таких распределений

/(0=2р, М0, (4.6)

і

что позволяет при известных pi и параметрах распреде- лений щ, і|3г, Уі отнести распределение типа (4.6) к одно­му из классов.

Другой способ характеризации функций надежности использует анализ преобразований Лапласа от функций надежности F (t):

оо

<D(s) = / e~stdF(t)
и

и коэффициентов

(—)п dn

s

Если коэффициенты ап при 1 образуют логариф­мически выпуклую последовательность (т. е. а2п (s) ^ (s) ап+1 (s)), то F(i) относится к классу IFR. Функ­ция F (t) принадлежит к классу IFRA, если величина

оо

2 ak{s)/an(s) является убывающей по я. Заметим, что

k = tl

анализ изменения an(s) по я дает основание для более детальной классификации функций надежности, чем та, которая приведена ранее. Классифицировать F (t) мож­

но не только по виду Х(1). Например,, могут быть по­строены классы, позволяющие идентифицировать функ­ции надежности промежуточные между IFR и IFRA,, если в качестве граничного выбирать не экспоненциаль­ное распределение, а распределение с некоторым фикси­рованным ростом Л (t). Более информативной для клас­сификации функций надежности, чем l(t), оказывается среднее время, оставшееся до отказа, если отказ к мо-

JO

менту t еще не произошел 1[8]: Е(% — t!’%>£)= f [1—

t

d E

—F(x)]dx/{ 1—F(t)] и «память распределения»^——- .

d%

По «памяти» функции распределения могут быть разби­ты на следующие классы:

распределения с «полной» памятью (т= 1); распределения с «положительной» или «отрицатель­ной» памятью (т=т^0);

распределения с отсутствием памяти (т = 0). Это, естественно, экспоненциальное распределение.

Любая классификация функций надежности по из­менению интенсивности k(t) использует одно и то же физическое свойство потока отказов. Если изделие ста­реет, то расстояние между моментами отказов с тече­нием времени должно уменьшаться. Все способы клас­сификации F (t) базируются на различных вероятностно­статистических оценках этого свойства. Только для экс­поненциального распределения время от момента наблю­дения t до момента отказа % никак не связано ни со временем t, ни с результатом наблюдений. Такая осо­бенность экспоненциального распределения положена в основу характеризации по набору независимых дискрет­ных случайных величин t, t2,. . . , tn с одинаковым рас­пределением G(n), принимающих значения at<a2< . .. ат< . . . Пусть tim, t2m — вариационный ряд из наблю­даемых случайных величин, выписанный на уровне ат. Доказано, что необходимым и достаточным условием того, чтобы распределение G(«) было геометрическим, является независимость Іт И ‘события {tm — tfrm} при всех 2<к<т. Наоборот, G(ri) относится к классу IFR, если P{tim=thm/tim=am} монотонно убывает по т.

При оценке характера функции надежности F (t) по экспериментальным данным часто приходится иметн дело с цензурированными (неполными) исходными дан­ными. Классическим примером цензурирования служат 126 ‘

рассмотренные в. книге [11] испытания на надежность в соответствии с планами [IV, Б, г] или [N, Б, Т], в ходе которых информация собирается только до г-го отказа или до заданной заранее наработки испытываемых из­делий Т. В общем случае (модель произвольного цензу­рирования) следует считать, что изучается пара чисел {ті, г/г}, из которых первое — момент отказа і-го уст­ройства, а второе — момент окончания наблюдений за і-м устройством. Второе число — случайное с распреде­лением R(y), которое иногда называют «функцией выжи­вания». Наблюдается другая пара чисел {zi = mm{%i, Уі), б,}, где 6і=1, если Тг<УіИ 6г = 0, если ті^Уі — Числа Zi и образуют цензурированную выборку.

Физически можно интерпретировать момент хі как наступление отказа именно того элемента технического устройства, который изучается, а момент уі как наступ­ление любого другого отказа в і-м устройстве, который приводит к снятию этого устройства с дальнейшей экс­плуатации (или к прекращению его испытаний). Напри­мер, если испытывают устройства с ограниченным ре­сурсом Тр, то все у і не могут быть больше Гр.

■Прежде чем привести формулы для расчета интен­сивности отказов по цензурированным данным, введем некоторые обозначения. Обозначим tn—

отличные друг от друга значения в упорядоченном ряду наблюдений Zi. Пусть /у — число отказов в момент U

ги — общее число наблюдений в момент U, М3-= S щ.

Тогда Мц = п, где N — число зафиксированных отказов; п — общее число наблюдений.

Оценка максимального правдоподобия для интенсив­ности отказов будет ступенчатой функцией со скачками в моменты наблюдений Г, хотя скачки должны иметь место не обязательно во всех точках ti [5]. Для распре­деления типа IFR формулы оценок максимального прав­доподобия имеют вид:

Если отвлечься от мянимакса, формула (4.7) превра­щается в простую оценку значения обратного средней наработке на один отказ изучаемого парка изделий. Минимум в оценке А* применен потому, что заранее постулируется рост ИНТЄНЄИВНОСТИ отказов, т. е. необ­ходимо, чтобы А,(■ ‘было не больше всех последующих К[ при l^i. Максимум обеспечивает, чтобы А, было боль­ше всех As при 5^7

В формуле (4.7) необходимо сделать поправки в правилах перебора индексов Ins, если подсчитывается А і для распределений, которые заранее отнесены к клас­су DFR и UHR. Для класса DFR is^lr^N-, q+l^ss^i, где q — номер tq, для которого впервые ГдТЭД (/"1 = = г2= . . . rg_]=0). Для класса UHR, когда перегиб функции интенсивности отказов имеет место при i = m:

y+ilsgssgi, если q+’lz^i^m
m+tl^Zs<i, если m+l^i^N—1.

Приемлемость оценки ‘максимального правдоподобия

(4.7) можно проанализировать, сравнивая скорость сходимости ее к истинному значению X(t) со скоростью сходимости параметрической оценки. Для этого был проведен эксперимент на ЭВМ. Моделировалось 500 вы­борок ‘(7V = 20) случайной величины, имеющей распре­деление Вейбулла с параметрами т=1,5 и т = 2. Вы­борки цензурировались экспоненциальной функцией выживания R (t) со средним на порядок большим, чем среднее моделируемой случайной величины. По модель­ным выборкам оценивалась функция F(t) методом под­бора таких параметров т и to в формуле (4.2), которые обеспечивали максимальное совпадение с эксперимен­тальными данными (подбиралась нанлучшая парамет­рическая оценка). По тем же выборкам рассчитывали А і по формуле (4.7) и затем по ней функцию надежно­сти Е(£)=ехр(—/А (t)dt).

о

При времени наблюдения Т, сравнимом со средним значением наработки на отказ, отклонение функции надежности, полученной методом максимального прав­доподобия, от F(t) составляло ^0,02. Среднее квадра­тическое отклонение оценки максимального правдопо­добия было на 35—40 % больше, чем у параметрической оценки. Заметим, что при увеличения пг точность оценок

максимального правдоподобия улучшается, а при боль­ших т и большом времени наблюдения Т она даже лучше, чем у параметрической оценки. Это объясняется тем, что при выводе формулы (4.7) существенно исполь­зовано свойство возрастания интенсивности отказов во времени, а оно тем более заметно, чем больше m и Т.

В заключение приведем описание моделей отказов технических устройств, которые обусловливают отнесе­ние функций их надежности к классу IFR. В настоящее время наиболее распространены модели двух типов.

Первая — модель накопления повреждений. Счита­ется, что моменты появления мелких повреждений (де­фектов) в техническом устройстве образуют пуассонов­ский поток событий с интенсивностью X. При наличии в устройстве k повреждений оно отказывает с вероятно­стью Р/£. Тогда

F (0 =2 е рк — Н&)

й=0

Если сделать предположение, что каждый следующий

дефект наносит ущерб не меньше предыдущего, ТО Ра не возрастает. При этом простейшем предположении функция надежности технического устройства будет отнесена к классу IFRA. Можно показать, что тот же вывод справедлив для случая, когда поток дефектов не простейший, а относится к классу неубывающих в среднем. ‘В формуле (4.8) в этом случае вместо Kt необ­ходимо подставить A(J), определяемое. из (4.3).

Вторая модель, приводящая к функции надежности типа IFR, основана на предположении, что техническое устройство, состоящее из разнородных элементов, отка­зывает тогда, когда вышел из строя хотя бы один из них. Отказы каждого і-го элемента образуют простей­ший поток с интенсивностью X;. Функция надежности устройства в целом F-Щ будет иметь случайную интен­сивность отказов, определяемую распределением Е(Х). Если F {X) является у — распределением (4.4), то F{t) принадлежит к классу IFR. Например, этой модели со­ответствует возникновение распределения Вейбулла (4.2). Известно, что распределение (4.2) — предельное распределение при п-*-оо самой меньшей из п независи­мых случайных величин. Поэтому, если элементов в уст — 9—433 123 ройстве достаточно много и время до отказа его опре­деляется наименьшим из всех времен до отказа одного из элементов, то функция надежности такого устройст­ва описывается распределением Вейбулла,