Автоматизация процесса синтеза. систем цифрового управления
Совершенствование методов проектирования и синтеза сложных систем управления на основе использования современных универсальных вычислительных машин представляет собой важную задачу в общей проблеме автоматизации научных исследований, проектирования и конструирования. В настоящее время эта задача достаточно успешно решается на базе алгоритмических методов синтеза законов управления.
К наиболее важным результатам в этой области относятся работы Р. Е. Калмана и его последователей по общей теории систем, положившие начало новому направлению в исследовании систем управления, органически связанному с применением средств вычислительной техники. Несколько позднее были предприняты исследования по разработке методов автоматического выбора параметров законов управления на базе частотных методов [15, 36], получивших широкое признание при решении самых разнообразных задач управления.
Автоматизация процесса синтеза, в первую очередь, была предпринята для цифровых систем управления, синтез которых отличается большой сложностью, трудоемкостью и громоздкостью вычислений. Аналитические и графоаналитические методы расчета оказываются малоэффективными при расчете систем, описываемых уравнениями высокого порядка при многомерном характере управления.
Одно из возможных направлений развития алгоритмических методов синтеза базируется на использовании частотных методов исследования. Процедура машинного синтеза формулируется при этом как задача аппроксимации оптимальной в определенном смысле частотной характеристики разомкнутой системы, так называемой, желаемой характеристики исходной (располагаемой) характеристикой.
Приближение исходной характеристики к желаемой достигается применением законов управления (корректирующих устройств) минимальной сложности и осуществляется в выбранных характерных точках частот по критерию минимума средних квадратов. При этом под корректирующим устройством минимальной сложности понимается устройство, имеющее наименьшую размерность.
Пусть желаемая амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы известна в / точках, соответствующих выбранным псевдочастотам Xh, k=, …, /, т. е.
WU)=U*+jVk. (2.183)
Для некоторых значений параметров наперед выбранного закона управления D{z) можно рассчитать амплитудно-фазовую частотную характеристику скорректированной системы Wcv(jX) на этих же значениях частоты Xk-
WCK (j) = W0 (у/.*) D (Л)=Reft + j lm*, (2.184)
где Wo(jXk) —частотная характеристика располагаемой (исходной) системы при Х = Х^.
Затем следует определить сумму квадратов расстояний между соответствующими точками желаемой и скорректированной частотными характеристиками
[((/K-Res)2+(V’K-Im*)2]. (2.185)
к-Л
Минимизируя величину Е при помощи того или иного метода поиска экстремума, можно получить наилучшее приближение к желаемой характеристике при выбранном законе управления D(z). В сумму (2.185) можно ввести некоторые весовые коэффициенты R(Xh) и рассматривать критерий оптимизации в виде
(2.186)
*г=-і
При использовании логарифмических частотных характерстик следует задаваться значениями желаемых характеристик ЛАХ и ЛФХ в / точках для выбранных значений псевдочастоты Xh, k — = 1, 2, …, I и строить критерий, как сумму квадратов отклонений ЛАХ и ЛФХ разомкнутой скорректированной системы от желаемой:
£,= V/?(Xft) {[Z. (Xft) — Z. CK+ Апfcp(Хл) — срск(Х)]2|, (2.187)
ft-i
где L(Xk) и (f{Xh) —значения желаемых ЛАХ и ЛФХ; LCK(Xh) и Фск(Я/і)—значения скорректированной ЛАХ и ЛФХ; R{Xk) и kn — весовые коэффициенты.
При выборе параметров закона управления по критериям Е, Еь £2 необходимо применять те или иные методы поиска экстремума. При этом можно варьировать как постоянные времени форсирующих или инерционных звеньев, так и коэффициенты передаточной функции D(z), т. е. задача синтеза закона управления сводится к перебору различных структур и параметров, физически реализуемых D (г), и выбору D(z) простейшей структуры, а параметрами, обеспечивающими минимум критериев Е, Е или £2.
При использовании амплитудно-фазовых характеристик определение искомых параметров закона управления D(z) можно упростить, если несколько видоизменить критерий Е, и вычисления свести к решению системы линейных уравнений по методу наименьших квадратов с использованием псевдообратной матрицы.
При использовании логарифмических частотных характеристик вычислительная схема алгоритма может основываться на применении метода конфигураций, который оказывается эффективен в тех случаях, когда линии равных значений минимизируемого критерия вытянуты в пространстве параметров.
Оба алгоритма пригодны для синтеза линейных корректирующих устройств. Второй алгоритм, использующий логарифмические характеристики, может также применяться для расчета нелинейных законов управления при условии допустимости гармонической линеаризации нелинейностей.
Рассмотрим два варианта структурных схем цифровой системы, Первый вариант (рис. 2.5, а) соответствует последовательной цифровой коррекции, а второй (рис. 2.5, в)—цифровой корректирующей обратной связи. На обеих схемах экстраполяторы отнесены к непрерывной части системы, а квантование по уровню, вносимое
входными и выходными преобразователями не учитывается. Дискретные передаточные функции разомкнутой системы равны: для случая последовательной коррекции
W (ул)=А, к (» Wo (А); (2-188)
для корректирующей отрицательной обратной связи
Иг0(А)
і +Аи№)^№)
Формально требуемый вид законов управления может быть определен непосредственно из выражений (2.188) и (2.189). Так:
Ва к (А) = ,
^о(Д)
Д, с (уХ) =—— !—— [ -М — _ ! |,
1Г2(Д) L ТГ (/X) J
При таком подходе дискретные передаточные функции D(z) могут иметь большую размерность, хотя во многих приложениях важно синтезировать D(z) минимальной сложности. Для цифровых систем это означает, что вид D (г) должен быть таким, чтобы предъявлять минимальные требования к загрузке цифровой машины с точки зрения потребного быстродействия и минимума ячеек памяти.
Кроме того, необходимо иметь в виду, что формирование D(z) должно производиться с учетом известных ограничений (см. разд. 2.2).
При машинных методах синтеза можно в качестве исходных законов управления D(z) принимать функции минимальной сложности и усложнять их, т. е. увеличивать их размерность до тех пор, пока не будет достигнуто приближение исходной частотной характеристики системы к желаемому виду. В этом случае в качестве исходных передаточных функций последовательного корректирующего устройства можно принимать функции вида:
D(z)—a°+aiZ ; Ь0 + Ьіг ‘ |
(2.192) |
D(z)—a° + aiZ + a2z2; |
(2.193) |
D(z)———- ——— . *о 4* bi z + |
(2.194) |
В табл. 2.2 приведены основные характеристики последовательных корректирующих устройств, соответствующих этим передаточным функциям
Рассмотрим особенности построения алгоритма синтеза дискретных законов управления с использованием амплитудно-фазовых характеристик на примере достаточно общего варианта структурной
схемы системы, кооректируемой (см. рис. 2.5, е) при помощи цифровой корректирующей обратной связи (КОС).
Частотная характеристика разомкнутой системы в соответствии с приведенной схемой может быть записана в виде
где Wx (/X) W2 (A)=Wо (А) = R 0′) + JJ 0 ) — (2.1Э6) частотная характеристика неизменяемой части;
Wt (/X) = /?* (X) + jj* (X) — (2.197)
частотная характеристика части разомкнутой системы, охватываемой корректирующей обратной связью;
D (/X) qo + ai (А) + • • ■ + «и (ДГ а (X) + ДЗ (X)
°’ 1 + Рі (Д) + …+?«(Д)" — V (X) + ух (X)
частотная характеристика КУ в цепи обратной связи.
В выражении (2.198) а; (/=1, …. т) и Р/ (/=1, …. л)—искомые параметры коррекции.
Будем полагать, что желаемая характеристика разомкнутой системы найдена одним из существующих методов и известна в / точках, соответствующих различным выбранным частотам Ха (k=l, …, /). Запишем эту характеристику в виде (2.183), т. е.
W (Ak) = Uk-~ JVk-
Исходя из задачи синтеза по методу АФХ, в точках Ха необходимо выполнение следующего равенства:
Равенство (2.199) для частоты Ха, используя выражения (2.196), (2.197), (2.198), может быть представлено в виде
____ (Rk + jj a) (Ya + УХа^а)____
[(Ya + Y^aBa) + (ua + /ХаЗа) (Rfr + у/a)
где
аА = ао — Х2а2-|-Х4а4— …; ^=<4— X2a3-j-X4a5— …; yft=l+y;=l-X2p2 + X434 -…; ВЛ = — Х2|33-)->.435 —… .
Из выражения (2.200), учитывая Ха= ! + ?.&’, после ряда преобразований нетрудно получить для частоты Ха
(vkn — и л) <*а-+ (w; -+ мї) **?* — (і/* — /?*> у;+
И — (Р* а — Ik)W=Uk—^а> (2.201)
— ШЛ — Va/а) <V+ {УЛ — иЛ) Чи —
— ((/а — /а) у; — <*/а — Яа) Kh=VkIk. (2.202)
Уравнения (2.201) и (2.202) являются линейными относительно искомых параметров КОС — «о, аь, ат; Рь |Ъ, …, рп.
Для I точек желаемой характеристики на основании равенств (2.201) и (2.202), учитывая (2.199), получим линейное матричное алгебраическое уравнение вида
BX=Y, (2.203)
где В — матрица с известными коэффициентами размерности (2/XjV), N = m + n, Хт=[а0а1…атй1й2…^лі — вектор искомых параметров КУ размерности N, т — символ транспонирования;
^“ = [^7, — — /і£/2 ——Д-.-1 — вектор правых частей раз
мерности 21, компоненты которого известны.
Нетрудно показать, что линейные относительно выбираемых параметров соотношения, подобные (2.201) и (2.202), могут быть получены и для других структур цифровой системы.
Так, для системы, корректируемой последовательным КУ, частотная характеристика может быть представлена в виде
W (уХ)=Д,.к(/Х) 1Г0(У>.) Г0(У’.) = ДЧХ) + у7ДХ),
«о + а* (А) + 1 + * і (У X) + |
(Л)т •*л (yX)n |
«* (X) + М* (X) Y* (X) + у’Х8* (X) |
где W0(jX)—частотная характеристика неизменяемой части;
— частотная характеристика последовательного КУ; оо, а*,..,, ат, [■)*, р2(…» Рп — искомые параметры КУ.
Для решения задачи синтеза необходимо выполнение следующего равенства в выбранных точках
Ат. к (У^к) В о (yX*) = UXr (уХА), (к = 1,…,/),
которое, учитывая выражения (2.183); (2.204); (2.205), может быть представлено в виде
K + yX*fO {R+jJl)={Uk+jVk) (yl fyVD. (2.206)
После несложных преобразований получим из (2.206) аналогичные (2.201) и (2.202) линейные относительно параметров
«о, «1,…,ат; Pi, Р2,.-.,рв уравнения
RkUk — — ^
— Xft(7 — l/ft,
из которых нетрудно составить матрицу с известными коэффициентами, аналогичную матрице В.
При произвольно выбранной структуре КУ система (2.203) может быть несовместной, т. е. может не существовать значений параметров схо, аь…, ат; Ь, Ь% …, Ьп, удовлетворяющих (2.203) и обеспечивающих совпадение частотной характеристики разомкну-
той системы с желаемой характеристикой в выбранных точках. Поэтому в общем случае следует искать такие значения компонент вектора Х(хь Х2 Xn), т. е. параметров КУ, которые минимизи
руют сумму квадратов отклонений
или Е[1] — ЦВХ — Yf. (2.209)
Можно показать, что для случая 21>N и при ранге матрицы В, равном N, алгоритм решения системы (2.203) по методу наименьших квадратов может быть записан при помощи так называемой псевдообраткой матрицы В+ в виде
= В+Y = (BrB)-1 BTY, (2.210)
где В+=(ВТВ)-1ВТ— есть псевдообратная матрица*.
Вектор X, вычисленный в соответствии с (2.210), обеспечивает минимум критерию (2.209) в том случае, если система (2.203) совместна, а В — квадратная неособенная матрица, X=B+Y определяет единственное решение (2.203), причем В+=В-1, £i* = 0.
Полученные соотношения (2.203), (2.209), (2.210) могут быть использованы для автоматизированного синтеза КУ при помощи универсальных ЦВМ. При этом задача инженерного синтеза КУ для сложной САУ сводится к последовательному перебору различных структур физически реализуемых КУ и выбору КУ простейшей структуры с параметрами, обеспечивающими минимум критерия (2.209).
Упрощенная схема программы автоматизированного синтеза КУ приведена на рис. 2.15. В схеме приняты следующие обозначения; /— число точек, в которых выполняется приближение; Xk —
частоты, на которых выполняется приближение (k= 1… 1) т, п —
исходные порядки полиномов числителя и знаменателя передаточной функции КУ; Ушах — максимальная размерность КУ; Uk, Vk — значения вещественной и мнимой частей желаемой частотной характеристики в точках Xh Rh, h, Rk*, h* — значения вещественной и мнимой частей частотных характеристик (2.196) и (2.197) системы с КОС; Rh°, Ih° — значения вещественной и мнимой части частотной характеристики (2.204) системы с последовательным КУ; Е*min — минимальное значение критерия (2.209).
Следует отметить, что когда диапазон частот, на котором необходимо обеспечить совпадение характеристик, широк, алгоритм метода наименьших квадратов может не обеспечить одинаковую точность приближения на выбранных частотах. В этом случае вместо использования процедуры блока 7 выбор КУ простейшей структуры более целесообразно проводить самому исследователю из непосред
ственного сравнения хранящихся в блоке 5 частотных характеристик разомкнутой системы W(jX), соответствующих фильтрам различных использованных структур.
Рассмотрим пример применения программы автоматизированного синтеза. Определим структуру и параметры последовательного КУ для системы с экстраполя — тором нулевого порядка и периодом дискретности 7 = 0,01 с. Частотная характеристика приведенной неизменяемой части имеет вид
* yi
+ Прї + 1 jjj
т
1 + д 2
при 2 =————— —
Рис. 2.16. Амплитудно-фазовые характеристики |
где £0= 1,96; т=0,752 с; Ді = 0,0131; 7, = 0,035 с.
АФХ последовательного дискретного КУ любой АХФ разомкнутой системы выберем таким образом, чтобы годограф АФХ не заходил в запретную зону показателя колебательности R = 2 (рис. 2.16). В этом случае в низкочастотном диапазоне обеспечивается запас устойчивости по фазе —30° и по амплитуде —12 дБ. В районе резонансной частоты — обеспечивается запас по фазе —60°. Значення вещественной Uk и мнимой K/t частей желаемой частот
ной характеристики W(jXA) = Ub + jVk в выбранных характерных точках Aft (А=1,… /) приведены в табл. 2.3.
Таблица 2.3
|
Следует отметить, что изменение числа или распределения характерных точек по частотам имеет эффект, аналогичный изменению весовых коэффициентов в методе взвешенных наименьших квадратов и может быть использовано для уменьшения квадратичных отклонений на определенных частотах (диапазоне частот).
В программе предусматривалась максимальная размерность КУ N = 5, и проводился перебор структур КУ в следующей последовательности, задаваемой порядками полиномов числителя и знаменателя передаточной функции КУ (т и п соответственно):
1) т = 2; /г=1; 2) т = 2; п = 2; 3) т = 2; п = 3; 4) т = 3; п = 2.
В соответствии со схемой (см. рис. 2.16) в программу вводились: 1) значения Uи и VA, Rh° и 1А° в выбранных характерных точках Aft = 0,5; 1; 2; 5; 12; 26 1/с. 2) Emin — минимальное значение критерия. 3) начальные значения т и п.
В табл. 24 приведены полученные в результате счета по программе на универсальной ЭВМ частотные характеристики скорректированной разомкнутой системы для рассмотренных структур КУ, искомые параметры этих КУ, а также минимальные значения критерия Е*, соответствующие заданным структурам и полученным параметрам КУ.
Из анализа данных табл. 2.4 следует, что наилучшее приближение к желаемой АФХ обеспечивает последовательное дискретное КУ с передаточной функцией
«о + сч/л
И — PlA + h (Д)2
ао = 0,582, ai = 0,786, 6i = 0,427, 62 = 0,0263, размерности /V = /n + n = = 2 + 2 = 4.
При этом имеет место наименьшее значение критерия £шы= 14,77.
Во многих случаях изложенную выше задачу синтеза законов управления удобнее решать, применяя критерий вида (2.187), в котором используются логарифмические частотные характеристики с амплитудой L(A) в децибелах и фазой ср(А) в градусах.
СО см |
7 |
—178 |
—21,6 |
—242 |
см 1 |
-^1 см 1 |
см 1 |
—246 |
|
lO |
N- |
сО |
см |
ч* |
о |
||||
СО |
|||||||||
О |
СО |
СМ |
1 |
см |
см |
см |
|||
«? |
1 |
см |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
||
3 |
1 |
1 |
|||||||
4» н |
|||||||||
~d. |
Tf |
со |
аз |
м |
о |
40 |
|||
(j |
ю |
— |
Ю |
•* |
к |
00 |
• |
00 |
|
• |
•—1 |
см |
|||||||
1 |
1 |
1 |
г |
1 |
} |
1 |
|||
>> |
1 |
1 |
1 |
||||||
X |
|||||||||
Я |
|||||||||
Tf |
со |
со |
со |
со |
са |
t". |
|||
л |
О |
rt* |
•» |
ю |
со |
ю |
аз |
ю |
|
СМ |
1 |
1 |
1 |
— |
1 |
—* |
1 |
||
1 |
. 1 |
1 |
1 |
||||||
X |
|||||||||
S, |
|||||||||
ем |
о |
м |
СМ |
||||||
00 |
со |
ю |
ю |
ю |
см |
»о |
|||
о |
I |
1 |
1 |
1 |
|||||
га |
1 |
1 |
і |
1 |
|||||
У |
|||||||||
га |
|||||||||
к |
|||||||||
со |
00 |
оо |
ь« |
оо |
00 |
||||
ТҐ |
ю |
ю |
>о |
со |
ю |
ю |
|||
£ |
—- |
1 |
•—* |
1 |
•—• |
1 |
—Ч |
1 |
|
at |
|||||||||
* |
|||||||||
,—, |
S |
||||||||
и |
из |
из |
из |
||||||
Ч |
ч |
ч |
|||||||
>1 |
>3 |
>1 |
>1 |
||||||
1 |
ч |
СП |
ч |
я |
ч |
я |
ч |
||
я |
ч |
я |
ч |
я |
ч |
||||
> |
О. |
> |
О- |
>1 |
о. |
>3 |
о. |
||
и |
н |
с_ |
и |
н |
|||||
Я |
я |
я |
я |
||||||
ч |
СП |
ч |
сп |
ч |
я |
ч |
|||
СП |
с |
я |
с |
я |
с |
||||
й |
СП |
S |
я |
S |
я |
S |
я |
||
< |
© |
< |
© |
< |
© |
< |
© |
||
00 |
г— |
||||||||
С |
N- |
*■ |
|||||||
ч |
со |
||||||||
00 |
п |
со |
|||||||
см |
|||||||||
Оч |
|||||||||
at |
|||||||||
Я |
га |
||||||||
га |
1 |
1 |
|||||||
о. |
о |
о |
|||||||
Е |
со |
LO ___ со ■ |
LO ■ |
со |
|||||
О со |
СО СМ 00 СМ см |
||||||||
S |
со со |
см |
Ю Tf* о |
«О 00 ТГ о —1 |
iq 00 Ютго |
||||
at |
© о |
о“ |
о о |
о о |
о О о" о о |
о О О о*o’ |
|||
Э" |
II II |
II |
Iі II |
II II |
II II II 1 |
II |
II II II 1 |
II |
|
о — |
о — |
||||||||
СО |
о «со. |
О «СО. СО. |
8 8 CQ. CO. 8 |
Й « « РО-ПГ). |
|||||
>9 ЬЙ |
см |
см |
см |
см со |
со см |
||||
fcf |
II |
II |
II |
II |
II |
г |
і |
||
ей |
£ |
й |
£ |
к |
£ |
£ |
с |
Таблица 2 4 |
Из соотношения (2.189) и следует, что для системы с корректирующими обратными связями:
L (.Ю—Lq О*) 20 lg 11 —f— D0’C (y’Xft) W2 (y’Xft)|;
9 (X*)=To (XA) — arg [ 1 + D0.c UK) W2 (yXft)I,
и для случая коррекции последовательным КУ:
9 (Xr) == 9о (Х*>) “I — 9п. к (Xj).
В частном случае при синтезе систем с нелинейными законами управления Ln. K(Xft) и 9п. к(Хй) есть ЛАХ и ЛФХ гармонически линеаризованного нелинейного КУ.
Определение параметров КУ, минимизирующих критерий (2.187), может быть проведено любым известным методом направленного поиска. Практические расчеты показывают высокую эффективность применения метода конфигураций, так как линии равных значений критерия в пространстве параметров оказываются сильно вытянуты при применении этого критерия. Рассмотрим построение вычислительного алгоритма при использовании логарифмических характеристик и критерия Е2.
Поиск в М-мерном пространстве состоит в последовательном повторении цикла из двух этапов. На первом этапе относительно опорной точки (вектора) Х^ проводится ряд пробных шагов и находится точка (вектор) V такая, что E2(Zj) <Е2(Хз). Пара точек XW определяет направление спуска, называемое конфигурацией (/ — номер конфигурации). На втором этапе происходит перемещение вдоль полученной конфигурации с шагом, равным удвоенной длине вектора —Х^, и находится опорная точка 2П+1 следующего цикла, связанная с опорной точкой Xі соотношением:
X^+1=X^ + 2(Z/’-X/), (2.213)
где 1 = 0, 1, 2, … номер цикла (конфигурации). Затем описанная процедура повторяется с использованием новой опорной точки Xій и т. д.
При определении Zi пробные шаги выполняются поочередно по каждой координате х{, x,…,xn вектора XI, и і-я координата г,-’ (г=1, …, N) вектора Zj приравнивается тому из значений х{ —s, х{, которое обеспечивает наименьшее значение критерия Е2 при фиксированных остальных координатах z{, z2,..,,zj+J-, xt+ь -*/+2 xh
если E2{x—s) <С. Е2{х[),
Если после пробных шагов приближения к экстремуму не происходит, то процесс изменения координат вектора ХУ+1(Х-0 повто-
Использование критерия (2.187) и алгоритма поиска по методу конфигураций для построения программы автоматизированного синтеза оказывается особенно эффективным при решении задач, связанных с определением нелинейных законов управления, особенно псевдолинейных с использованием логарифмических частотных характеристик псевдолинейных корректирующих устройств (ПЛКУ), линеаризованных по первой гармонике.
Отличительной чертой рассматриваемого алгоритма машинного синтеза является возможность использования опыта и интуиции исследователя при выборе разумного начального приближения.
На рис. 2.17 приводится упрощенная схема программы автоматического синтеза КУ простейшей структуры, составленная на основании соотношений (2.213) и (2.214), метода конфигураций и при использовании критерия (2.187). На схеме введены следующие обозначения:
Хо — вектор начального приближения; Emin — минимальное значение критерия (2.187); s—величина пробного шага; d — точность вычисления искомых параметров; Ь(Хп), ф(^а) —
Л АХ и ЛФХ желаемого вида; L0{Xk), фо(Ы —ЛАХ и ЛФХ неизменяемой части.
Остальные обозначения совпадают с введенными на предыдущей схеме (рис. 2.16).
Применим программу автоматизированного синтеза (схема на рис.
2.18) для определения параметров цифрового псевдолинейного корректирующего устройства ПЛКУ, рассмотренного в предыдущем разделе. ПЛКУ используется для коррекции системы с приведенной неизменяемой частью вида
W0(z) = ~—-ZI —
г I Р где Т = Ъ с, 60 = 3,56 с-2. Примем период дискретности 7=0,01 с,
причем еТ< 2. Эквивалентный комплексный коэффициент передачи при Wa(jl) =(Х0;
1>г7 / ^ V I (11 (/Х}
!+?,№) ”0Ж" быть записан в виде
71 0) jЯ2(^)1
где
7i (Х) = — х
Л
X а0 (0,5я — <pj -j-0,5 sin 2-^),
= — га0(0,5 — 0,5 cosSepj) я
!pi(X)=arctg[X(a1 — 30/(1 +X«a1p1)J. В программе используются логарифмические характеристики ПЛКУ, определяемые из выражений Z,„iK(X) = 20 lgV <7^(X)-}-<7|(/.),
<p„.K(X)=arcta-^I .
Я1 (X)
Параметры ПЛКУ — do, ац Pi подлежат определению.
Вид желаемой ЛАХ и ЛФХ для рассматриваемого случая выбран так, что желаемая амплитудная характеристика имеет всюду наклон 40 дВ/с, а желаемая ЛФХ проходит таким образом, что в системе обеспечивается запас устойчивости по фазе —34°. Значения желаемой ЛАХ и ЛФХ в выбранных характерных точках Яй представлены в табл. 2.5.
Таблица 25
Ч, с-1 |
0,5 |
1 |
7 |
10 |
20 |
L (Цу лБ |
45 |
33 |
-1,6 |
-7,5 |
—18 |
<Р В*), градус |
—100 |
—163 |
—147 |
—155 |
—168,5 |
При решении рассматриваемого примера все весовые коэффициенты R{Kй) в выражении (2.187) полагались одинаковыми и равными 1, кроме того, если фазовая характеристика отсчитывается в градусах, то значения коэффициента kn в выражении (2.187) следует выбирать из диапазона 0,2…0,5. В данном случае £п = 0,25.
Для проведения счета в программе использовались следующие исходные данные:
1) ЛАХ и ЛФХ неизменяемой части объекта, ПЛКУ и желаемые характеристики разомкнутой системы в выбранных точках Я;г = 0,5; 1; 7; 10; 20 1/с;
2) вектор начального приближения Х0= (а0йійі) = (1 1 1);
3) величина пробного шага s = 0,02;
4) точность вычисления параметров ПЛКУ оГ=0,002;
5) минимальное значение критерия £9min = 0.4.
В результате счета по описанной программе были получены следующие значения параметров ПЛКУ; cto= 14,25; сц = 0,976; pi = 0,07, хорошо совпадающие с полученными при аналитическом расчете. На рис. 2.18 представлена скорректированная частотная характеристика разомкнутой системы.
Глава 3