ФОРМИРОВАНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ

ЮЛ. Оценивание одномерных стационарных детерминированных параметров единичного образца

10.1.1. Основные определения и свойства оценок

Определительные испытания — это испытания, проводимые для оп­ределения значений характеристик объекта с заданными значениями показателей точности и (или) достоверности (ГОСТ 16504—81). Ис­ходя из общей схемы формирования результата испытания (см. рис. 9.1) целью определительных испытаний можно считать получение статистических оценок основных параметров изделий. При этом вы­бор используемых оценок зависит от специфики объекта испытаний (единичного образца или партии продукции), характера исследуемых параметров (детерминированный — случайный; стационарный — не­стационарный; одномерный — многомерный).

Термин «оценивание» относится к классу статистических методов, которые используются с целью получения представления о значении одного или нескольких параметров с максимально возможной точно­стью.

Пусть дана выборка наблюдений Z, zn, полученная из гене­ральной совокупности, распределение которой известно с точнос­тью до параметра 0. Используя указанные наблюдения, необходимо определить 0, которое можно было бы взять в качестве значения параметра 0 (точечная оценка), или интервал [ 0В, вн ], о котором можно утверждать, что он с заданной вероятностью содержит это значение (интервальная оценка).

Поскольку наблюдения являются случайными, то результаты на­блюдений (статистики), используемые для оценки параметра 0, для отдельных выборок будут отличаться от истинного. Поэтому нельзя найти оценку, принимающую для всех возможных выборок значе­ния, близкие к 0. В этих случаях рекомендуется ограничиваться та­кой процедурой оценивания, которая давала бы «хорошие» результа­ты в среднем при многократном ее использовании или имела бы большую вероятность «успеха».

Основными свойствами, которым должны удовлетворять иско­мые оценки, являются состоятельность, несмещенность и эффек­тивность.

Состоятельность — свойство оценки параметра сходиться по ве­роятности к его истинному значению при увеличении числа наблю­дений п этого параметра, т. е. Иш /*{0-0 >е} = 0.

л—U I J

Несмещенность — свойство оценки не иметь систематического от­клонения от истинного значения параметра, т. е. Л/Г§1 = 0 . Услови­ем состоятельности несмещенной оценки является Z>Te —>0 при

Эффективность — свойство оценки обладать наименьшей диспер-

ложительным числом, зависящим от функции распределения P(z/Q)

объема выборки п и смещения оценки b = М

Приведенные неравенства (10.1), (10.2) носят название неравенств Рао-Крамера. Если в (10.2) достигается равенство, то дисперсия

оценки 2)Ге1 = Z>min достигает своего наименьшего значения и оцен­ка 0 является эффективной. Эффективностью любой другой оценки называется отношение АшпГбІ/^Г®] • Если имеется единственная
несмещенная оценка с наименьшей дисперсией, то ее называют не­смещенной оценкой с равномерно наименьшей дисперсией.

Общей характеристикой точности статистических оценок являет­ся средний риск. Для вычисления среднего риска необходимо задать функцию потерь — некоторую функцию от оценки и истинного значе­ния оцениваемого параметра.

Наиболее распространенными функциями потерь являются:

• простая п(в, ё) = с-б(0-е), где с>0, 8 — дельта-функция;

•

квадратичная П (в, в)=(в—0j ;

Среднее по всем возможным выборкам значение функции потерь носит название условного риска: r(0)= [ п(0, 0Wz/0)dz ■ Точечная

оценка, минимизирующая условный риск при квадратичной функ­ции потерь, называется оценкой наименьших квадратов.

В случае линейной зависимости между 0 и z оценки наименьших квадратов являются линейной функцией измерений Z — Эти оценки асимптотически нормальны и обладают свойствами состоятельнос­ти, несмещенности, эффективности для широкого класса распреде­лений P(zl 0), имеющих конечные вторые моменты. Простота их на­хождения и многообразие модификаций сделали эти оценки наиболее распространенными в практике обработки данных измерений и ис­пытаний.

Мода распределения P(z/0) минимизирует условный риск при простой функции потерь и носит название оценки максимального прав­доподобия. Оценки максимального правдоподобия также асимптоти­чески нормальны и обладают асимптотическими свойствами состоя­тельности, несмещенности и эффективности. Однако при малых объемах выборок эти свойства могут не сохраняться. В том случае, если плотность вероятности (функция правдоподобия) может быть представлена в виде P(z/в) = P(T/Q)giz), несмещенную оценку с ми­нимальной дисперсией всегда можно найти в виде функции доста­точной статистики, если последняя существует (где Т — достаточная
статистика, такая, что условное распределение величины z при за­данном значении Т не зависит от 0). Способ нахождения этой оцен-

А

ки состоит в следующем: если 0 — некоторая несмещенная оценка параметра 0, то M[Q/T(z)] и является искомой оценкой.

Если оценка максимального правдоподобия единственна, она зависит от измерений только через достаточную статистику. В этом случае способ нахождения оценки максимального правдоподобия сле­дующий: если уравнение M[T(z) = T(z) имеет решение 0, то 0 — оценка максимального правдоподобия.

Если об оцениваемом параметре есть некоторые априорные све­дения, описываемые априорным распределением Р0 (0), то услов­ный риск осредняют по параметру 0 и получают средний риск:

оо оо

R= J J П(0,0)Лг/0)/о(0)^0-

—оо — оо

Оценки, полученные из условия минимизации среднего риска, называются байесовскими, так как основаны на формуле Байеса, со­гласно которой P(z/Q)P0(Q) = P(0/z)P(z) . Так, математическое ожи­дание апостериорного распределения P(Q/z) минимизирует средний риск при квадратичной функции потерь, а мода этого распределе­ния — при простой функции потерь.

Перечисленные оценки являются наиболее распространенными в практике обработки данных испытаний. Заметим, что при нор­мальном законе распределения P(z/0) оценки наименьших квадра­тов, максимального правдоподобия и байесовские совпадают.

В табл. 10.1 приведены примеры получения несмещенных и эф­фективных оценок стационарных одномерных детерминированных параметров различных распределений, в табл. 10.2 указаны области применения различных распределений.