ПРИ КОНЕЧНОМ ВРЕМЕНИ ЭКСПЛУАТАЦИИ
Найдем оценку количества запасных элементов, необходимого — для обеспечения эксплуатации АС на заданном интервале [0, f]„ Один из возможных подходов к решению такой задачи предложен В [22], где показано, что при достаточно большом интервале эксплуатации (по сравнению со средним временем между отказами) количество ЗЭ, обеспечивающее заданную гарантийную вероятность замен (1 — а), а>0, может быть определено из выражения.
“7^ ’ (5-8>
где Т — среднее время между отказами; о2 — дисперсия времени между отказами; иа — квантиль нормального распределения.
Нетрудно видеть, что найденные в § 5.1 оценки совпадают с результатами, получаемыми из выражения (5.8) при предельном переходе. В самом деле, пусть имеются два элемента, для одного из которых среднее время между отказами равно TF и дисперсия Of2, а для другого — 7’Гч и ог*.
Рассмотрим выражение
 |
По определению, введенному в § 5.1, т](оо) = 1ітг](/)
оо
Тогда
что подтверждает сказанное о совпадении результатов (5.7) и (5.8) при (—>-оо.
Для того чтобы воспользоваться выражением (5.8), необходимо определить величины Т и о2. В нашей задаче это сводится к определению среднего числа шагов до попадания в область оптимальной остановки, и его дисперсии. Найдем указанные характеристики, используя теорию поглощающих цепей Маркова [28].
Пусть имеется матрица эргодического процесса А с состояниями 1, 2,…, F. Чтобы определить среднее значение времени до попадания процесса в состояние F, необходимо сделать это состояние поглощающим. Это достигается тем, что все вероятности aFi, іфР приравниваются нулю, а вероятность aFF выбирается равной единице. Для вновь полученной матрицы цепи с поглощающим состоянием вычислим фундаментальную матрицу
G— {I — Q)-1 и вектор х(5.9)
іде Т—единичная матрица размером (F—Р) X (F-—1); Q — матрица, полученная из матрицы А путем вычеркивания строки и столбца с номером F; | — вектор-столбец, состоящий из единиц.
Элементы вектора т1 = {т(і1),..-,т(і/7_1)) представляют собой оценки среднего времени до попадания в состояние F при условии, что начальное состояние есть I. Тогда элемент т(!)— искомое среднее время до попадания в поглощающее состояние, т. е. t[r’> = TF.
Обозначим вектор значений дисперсий через т2={’41),…, т^_1>} п найдем его из выражения
t2=[2 (/-Q)-1-/] (l-Q)~-tsr (5. 10)
i 4t* t. sr; — вектор-столбец, -каждый элемент которого равен квадрату соответствующего элемента вектора Ті.
Элемент т[!) представляет собой дисперсию времени тО т. е. і У> — а2,. Эти величины и являютей исходными для проведения расчетов на основе (5.8).
Остановимся теперь «а случае, когда необходимо определить t| и і2 для процесса, в котором область Г* содержит более одного состояния и не имеет рандомизированных элементов. Последовательность вычислений и приведенные выше рассуждения остаются справедливыми, отличие состоит в правиле построения поглощающего состояния.
Пусть снова матрица эргодического процесса есть А, в которой состояния Fjer*. Построим поглощающую цепь следующим образом. Для каждого состояния выберем элементы
матрицы вида а^=0, j¥=k, a ahh=. Заменим множество Г* одним состоянием J, при этом в столбце J элементы получаемой матрицы
с поглощающим состоянием определяются по правилу а;/—^ аЛ.
*6Г*
Заметим, что размер этой матрицы меньше размера А и равен F — Г+1, где Г — число состояний в Г*. Порядок расчетов значений Ті и т2 на основе (5.9) и (5.10) сохраняется, но необходимо изменить размер единичной матрицы и вектора |.
Опишем путь, с помощью которого изложенный подход может быть реализован на ЭВМ. Пусть для матрицы эргодического процесса AFXF получена матрица решений DFXF следующего вида:
Образуем вспомогательную матрицу:
|
F — Г, |
|
Г |
в которой элементы, входящие в нону оптимальной остановки Г*, заменены нулями.
Тогда преобразованием IAIT=Q выделяется искомая матрица Q для подстановки в (5.9). Здесь знак «т» означает транспортирование матрицы. Используя вспомогательную матрицу /, по аналогии можно получить единичную матрицу нужной размерности, а также и требуемый единичный вектор |=/|.
Описанный способ может быть использован при любом размере области оптимальной остановки, удовлетворяющем условию1 l<r<F— 1.
Пример. Сопоставим результаты расчетов величин г)(<) и ч(°°) при различном размере областей Г* (рис. 5.1). Исходными данными для этого являются значения Tj-t и су, (табл. 5.3), вычисленные для процесса с матрицей Qi.
 |
Рис. 5.1 позволяет отметить некоторые особенности оценки количества запасных элементов, возникающие при учете конечного времени эксплуатации. Прежде всего, СХОДИМОСТЬ Г](£) к г)(°°), которая служит верхней границей ДЛЯ! 4(0, не является быстрой, и при малых t разность т)(оо)—Г|(7) существенна. ‘ 1-т разность по абсолютной величине больше, если область оптимальной оста- "“нки включает большее число состояний, и соответственно значение упреждающем! допуска достаточно далеко отстоит от границы области работоспособности. I акая ситуация, как правило, возникает или при относительно малых значениях Iі. или при жестких требованиях на вероятность отказа к следующему моменту мим роля, т. е. когда величина v в (3.29) мала. Кроме того, при таких значениях Г eii. ii, нее проявляется влияние гарантийной вероятности (1—а) —4ем она больна-. гем больше отличается т](/) от Г] (ос) и тем больше диапазон изменения •|(0 при изменении интервала эксплуатации. Так, например, при 7* = {3,7} i ni I «=0,9 и 0,999 i](£=10 Гр) равны соответственно 4,5 и 3,8, а диапазон и їмсіїсиия величины т] при увеличении интервала эксплуатации с 10 Гр. до 500 І і составляет 4,5- -5,3 (кривая 1, рис. 5.1,а) и 3,8—5,1 (кривая 4, рис. 5.1,а). От — …. ї ї следует, что оценками (5.7) можно пользоваться только при ориентировочные расчетах максимального количества потребных запасных элементов и обяза — ол. по уточнять их в соответствии с (5.8), особенно при малых t, р и жестких іреооианиях на вероятность отказа.
|
Т а б л и ц а 5.3
|