Робастное оценивание параметров
Существенным недостатком рассмотренных оптимальных оценок является их чувствительность к засорению исходного распределения (наличию аномальных измерений — сбоев, неисключенной систематической погрешности). Существует класс так называемых робастных (устойчивых) оценок, эффективность которых мало изменяется для различных распределений или в случае засорения исходного распределения.
Простейшей робастной оценкой является выборочная медиана (Me):
Me = \^ПЦ) + Чп/2-1)) — четное «.
[^((л+1)/2) — НЄЧЄТНОЄ П,
где Z( ) обозначает упорядоченные по величине измерения в выборке объема п (порядковые статистики).
В табл. 10.4 приведены значения эффективности выборочного
—
среднего и выборочной медианы для нескольких уровней
пы
засорения при нормальном исходном и различных засоряющих распределениях.
|
Таблица 10.4 Сравнение эффективности выборочных среднего и медианы при различных видах засорения
|
Как следует из анализа табл. 10.4, эффективность выборочного среднего существенно зависит от вида и уровня засорения. Эффективность же выборочной медианы зависит от засорения в значительно меньшей степени. При исследовании свойств приведенных оценок использовалась математическая модель засорения Тьюки, которая описывается распределением
|
S’ 1 |
+ ЄФ |
fz-M у |
|
a J |
° J |
|
F(z) = ( 1-е)Ф |
где F(z) — интегральная функция распределения засоренного измерения; Ф(.) — функция стандартного нормального распределения; г — вероятность (уровень) засорения.
В табл. 10.5 и 10.6 приведены основные робастные оценки, которые являются сильными конкурентами оптимальных оценок и привлекают к себе все большее внимание. Однако практическое использование этих оценок пока невелико вследствие недостаточной изу-
Робастные оценки математического ожццания
|
Оценка |
Аналитическое выражение |
Свойства оценки |
|||
|
Минимаксная Хубера (при наихудшем засорении) |
с минимальным по модулю асимптотическим смещением |
1 г 2 [Z |
Выб М ( 2+z / V (п + 1 Z 2 |
орочная медиана л M J+1 , где п — четное; /-* , где п — нечетное / |
Состоятельная асимптотически несмещенная оценка для симметричного засорения. Смещение ~ 1,253 є для произвольного засорения |
|
с минимальным средним квадратом смещения |
А 1 м.=- J п |
Лг,+X (%_ і+ *)+ X Щ-1 — *) .1 1 1 J ІЄ А is Z,> Mj_ J + ^ А і є Z, < Mj_ J — Л; A Ык{г) MQ = z |
Состоятельная, асимптотически несмещенная оценка для нормального симметрично засоренного распределения по модели Тьюки е= 0 0,01 0,05 0,1 0,2 0,5 DM -^= 1 0,96 0,81 0,67 0,5 0,145 |
||
|
Урезанная |
урезанное среднее |
п — т Т*~ п-2т /= m +1 где т = /[ал], а — степень урезания, — порядковые статистики |
Состоятельная несмещенная оценка для нормального симметрично засоренного распределения по модели Тьюки (а = 0,1) є = 0 0,025 0,05 0,1 0,15 DT -jy — = 1,06 0,815 0,679 0,538 0,474 z |
||
|
Оценка |
Аналитическое выражение |
Свойства оценки |
|||
|
Урезанная |
среднее по Виндзору |
ж„-1. а п |
Я-ЯІ+1 I ^+жЦв+1)+Ъ-*»1 /= т + 2 є < 0,2 0,05 £ а £ 0,15 |
* |
Свойства оценки аналогичны свойствам урезанного среднего |
|
Линейные комбинации порядковых статистик |
Ходжеса- Лемана |
Выборочная медиана попарных средних |
То же |
||
|
Хогга |
£ц/4) — среднее л/4 наименьших (наибольших) значений *(3/4) “ среднее оставшихся наблюдений |
» |
|||
|
Выборочная медиана Me |
Свойства приведены в табл. 10.4 |
||||
|
Быстрая |
Двухточечное среднее 2 + где і» 27%; J — 73% (выбраны из условия максимальной эффективности) |
Свойства оценки аналогичны свойствам выборочной медианы |
|||
|
Среднеквантильный размах 2 Ці/4)+ ^[3/4)1 |
То же. Эффективность для незасоренного нормального распределения 0,81 |
||||
|
U ил ил |
|
|||
|
|
||
|
|||
Оценки Форсайта, определяемые
п
р
из условия min ^ 6, , 6/ — невязки
|
А / «і* |
 |
 |
/=1
lim D{zj) =
Свойства оценки аналогичны свойствам оценки Хубера
Робастные оценки дисперсии и среднеквадратичного отклонения
|
Оценка |
Аналитическое выражение |
Свойства оценки |
|
Минимаксная Хубера с минимальным по модулю асимптотическим смещением |
Выборочная медиана (Z.- Me)2 Me ‘ 2 , а где a=uQ’7S = 0,675 |
Состоятельная, асимптотически несмещенная оценка для симметричного засорения. Смещение — 1,1664еа для произвольного засорения |
|
Виндзорированная выборочная дисперсия |
a“"»(l-2a)2(<^+1h"7;]2 + + +(^п-т)~Т<ю) ] J |
Свойства оценки не приведены |
|
Медиана абсолютных отклонений |
Me z, — Ме| |
То же |
|
Средняя абсолютная ошибка |
Цг*1 / |
є = 0 0,01 0,05 0,1 0,15 0,25 D, -jy = 1,14 0,695 0,491 0,525 0,592 0,729 s |
ченности их свойств для ряда типовых распределений, а также более сложной их реализации для выборок большого объема в темпе поступления измерительной информации.