Сравнительные характеристики и рекомеццащ по использованию различных методов получения результатов определительных испытаний
Большое разнообразие возможных оценок результатов испытаний выдвигает необходимость сравнения свойств и областей рационального использования различных оценок. Решение данной задачи в настоящее время далеко от завершения, однако по наиболее употре — бимым в практике оценкам имеется ряд последних результатов, приведенных в табл. 10.7. Кроме рассмотренных оценок следует отметить простые эмпирические оценки, полученные методом моментов. Метод моментов заключается в приравнивании аналитических выражений математического ожидания и дисперсии различного вида распределений их выборочным средним оценкам с последующим вычислением параметров распределений.
Проиллюстрируем возможности применения метода моментов для оценки параметров гамма-распределения:
Xа za 1 exp{-Xz}
Па)
Методом максимального правдоподобия находим оценки максимального правдоподобия:
Совместное решение полученной системы уравнений можно получить только методом последовательных приближений. Методом моментов получим:
а _ lvi
-t=z =-2^i;
X п,
jj = so =—^(Zi-z)2, X2 П-11=1
откуда X = z/sl ; a = z2/sl.
Сравнительные характеристики и рекомендации по использованию различных методов
получения результатов испытаний
Оценка |
Дисперсия оценки при распределении |
Рекомендации по использованию |
||||
нормальном |
прямоугольном |
треугольном |
Коши |
Лапласа |
||
Выборочное среднее (среднеарифметическое) |
о2/п |
а2/л, 2 (£-Я)2 где О — 12 |
Конечное значение дисперсии отсутствует |
Состоятельная, несмещенная оценка, эффективная для всех распределений, имеющих линейную зависимость математического ожидания от параметра распределения. Чувствительна к наличию аномальных измерений |
||
Выборочная медиана |
п а2 2 п |
2 п 4/1 |
Малочувствительна к наличию аномальных измерений, чувствительна к асимметрии распределения |
|||
Середина размаха |
2(2 а п |
(Ь-а)г |
4 — ТС *2 16а) |
2 2 а п |
Состоятельная, несмещенная, эффективная для прямоугольного распределения |
|
4 log л 6 "1 * где 1 1 1 сл — 1 + _+… + 1 2 л-1 |
2 (л + 1) (л+ 2) |
12 |
U
ил
40
ON
О
Оценка |
Дисперсия оценки при распределении |
Рекомендации по использованию |
||||
нормальном |
прямоугольном |
треугольном |
Коши |
Лапласа |
||
Среднекван- тильный размах |
2 1,21 — п |
Малочувствительна к наличию аномальных измерений, чувствительна к асимметрии распределения |
||||
Выборочная дисперсия |
а2/(2 п) |
Состоятельная, несмещенная, эффективная для нормального распределения, чувствительна к наличию аномальных измерений |
||||
Средняя абсолютная ошибка |
Ъп~2) |
— |
Состоятельная, несмещенная, эффективная для распределения Лапласа, малочувствительна к наличию аномальных измерений |
|||
Выборочный размах |
2(2 ап log п 6 С2 |
2 (л — 1) ^2 ——- 5——- (О-а) (л + 1) (л+ 2) |
4 — те 2 4п Ф~а) |
Состоятельная, несмещенная, эффективная для прямоугольного распределения; для нормального распределения эффективность высока при малых выборках |
Примечание. Прочерки в таблице означают, что найти соответствующие данные не удалось. |
В результате получено простое решение. К сожалению, точность оценок с помощью метода моментов не исследована. Эти оценки могут использоваться в качестве начального приближения оценок максимального правдоподобия.