Сравнительные характеристики и рекомеццащ по использованию различных методов получения результатов определительных испытаний

Большое разнообразие возможных оценок результатов испытаний выдвигает необходимость сравнения свойств и областей рациональ­ного использования различных оценок. Решение данной задачи в настоящее время далеко от завершения, однако по наиболее употре — бимым в практике оценкам имеется ряд последних результатов, при­веденных в табл. 10.7. Кроме рассмотренных оценок следует отме­тить простые эмпирические оценки, полученные методом моментов. Метод моментов заключается в приравнивании аналитических выра­жений математического ожидания и дисперсии различного вида рас­пределений их выборочным средним оценкам с последующим вы­числением параметров распределений.

Проиллюстрируем возможности применения метода моментов для оценки параметров гамма-распределения:

Подпись: / (z/X, а) =Xа za 1 exp{-Xz}

Па)

Подпись: я,=1 Сравнительные характеристики и рекомеццащ по использованию различных методов получения результатов определительных испытаний Сравнительные характеристики и рекомеццащ по использованию различных методов получения результатов определительных испытаний

Методом максимального правдоподобия находим оценки макси­мального правдоподобия:

Совместное решение полученной системы уравнений можно по­лучить только методом последовательных приближений. Методом моментов получим:

а _ lvi

-t=z =-2^i;

X п,

jj = so =—^(Zi-z)2, X2 П-11=1

откуда X = z/sl ; a = z2/sl.

Сравнительные характеристики и рекомендации по использованию различных методов

получения результатов испытаний

Оценка

Дисперсия оценки при распределении

Рекомендации по использованию

нормальном

прямоугольном

треугольном

Коши

Лапласа

Выборочное среднее (средне­арифметическое)

о2/п

а2/л,

2 (£-Я)2 где О — 12

Конечное

значение

дисперсии

отсутствует

Состоятельная, несмещенная оценка, эффективная для всех распределений, имеющих линейную зави­симость математического ожидания от параметра распределения. Чувстви­тельна к наличию аномальных измерений

Выборочная

медиана

п а2 2 п

2

п

4/1

Малочувствительна к наличию аномальных измерений, чувствительна к асимметрии распределения

Середина размаха

2(2 а п

(Ь-а)г

4 — ТС *2 16а)

2 2 а п

Состоятельная, несмещенная, эффективная для прямоугольного распределения

4 log л 6 "1 *

где

1 1 1 сл — 1 + _+… +

1 2 л-1

2 (л + 1) (л+ 2)

12

U

ил

40

ON

О

Оценка

Дисперсия оценки при распределении

Рекомендации по использованию

нормальном

прямоугольном

треугольном

Коши

Лапласа

Среднекван- тильный раз­мах

2

1,21 — п

Малочувствительна к нали­чию аномальных измерений, чувствительна к асимметрии распределения

Выборочная

дисперсия

а2/(2 п)

Состоятельная, несмещенная, эффективная для нормально­го распределения, чувстви­тельна к наличию аномаль­ных измерений

Средняя

абсолютная

ошибка

Ъп~2)

Состоятельная, несмещенная, эффективная для распределе­ния Лапласа, малочувстви­тельна к наличию аномаль­ных измерений

Выборочный

размах

2(2 ап

log п 6 С2

2 (л — 1) ^2

——- 5——- (О-а)

(л + 1) (л+ 2)

4 — те 2 4п Ф~а)

Состоятельная, несмещенная, эффективная для прямоуголь­ного распределения; для нор­мального распределения эф­фективность высока при малых выборках

Примечание. Прочерки в таблице означают, что найти соответствующие данные не удалось.

В результате получено простое решение. К сожалению, точность оценок с помощью метода моментов не исследована. Эти оценки могут использоваться в качестве начального приближения оценок мак­симального правдоподобия.