ТОЧНОСТЬ ОЦЕНКИ ЗАПАСНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ РАНДОМИЗИРОВАННЫХ РЕШЕНИЯХ

Сопоставление методов оценки количества ЗЭ при рандомиза­ции элементов матрицы решений показывает, что аналитические методы I и II являются относительно простыми — наиболее трудо-
«мкая операция связана с отысканием обратной матрицы (5.9). Однако они не позволяют оценивать ни точность получающихся ре­зультатов при использовании (5.13), ни качество интерполяции (5.14), т. е. близость к истинному числу запасных элементов. Для более детального изучения аналитических методов сравним их между собой и определим, как ведут себя оценки (5.13) и (5.14) при изменении величины Di 1.

При доверительной вероятности 1 — а оценки числа ЗЭ для методов I и II соответственно равны:

rii{t)=- *

+ Dn (cj — „*+1) + Djі (1 — Dn)(Tі+і — Ti)2

[Ti+1-Dn (T,-+1 — T/)P

«п {t)=Dn {tTr’ + uj,, VlT73/2) +(1 — Ai (tf7+i+«aam ДАдТ).

Найдем их отношение

Н = я„ (*)/я, {t)=(ADn+B) [Tt+1+Dn (Ті — 7,-+1)Р X
X {I ft T i+1 —Dn (Ti~T /+1)] —Ua fa,-+i —Dn (a,- — 0,+1) -)-

+Z>I1(1-A1)(7’I+1-W>-1. (5- 15)

где A= VtT^i(ri+1-r,)+«,W+V»i+17f)] (TiTi+1)-3’2; В=(УЙ7Гі+иаа1+1) Tilt

Определим значение DiU при котором отношение (5.15) дости­гает своего экстремального значения, для чего вычислим производ­ную —— (Пи ^ V Проведя преобразования, получим, что значе­нії ‘ «[(О /

нпе Dn, при котором достигается extr р, определяется из решения уравнения

Vw [2у + {ADn + В) (Ti+l — Т,)+иа {2w-{ADn+B) «)=0,

• де =Т [+1 Dn(Tl+x — Ti),

ТІ =o*+l+Dn (а2 — а*+1) +A, (1 — АО (А+1 — ^)2-

у——Dn f A(TI+1-Tt)—fB(Ti+1-T’) + ATl+1;

— °?+i+(7’|+1 — A)2 (1 — 2Ai):

41 и Б—-коэффициенты, (см. 5.15).

Это уравнение в явном виде относительно Du запишется как

Y~t {Dn (Tl+1 — Т, Т — D2n (7/+1 — Ті) [о? — °?+і — Тн-1 (А+1

— (А+1 — — Аі [Аі+і+Т’О о?+і — Т’і+І (а? — «?+і) —

~ Ті+1 (7(+1 — 7?)] + 7г+1з?+1)1/2 {- Аі4Л (7’,+і — А) —

— 2 [В (7г+1 — 7,-) + АТІ+1]}+иа {АіЗД (7г+1 — 7г)2-

—
D2n [(5 -4 A){Ti+1—Tif + ATt+l (Ti+t-Tif-4A (Ti+1 — T,) К

X {а/ з/+,)] — Dn [45 (Гг+1 — Г,)3 — Tl+l (ТІ+1-Т^(ЗА + 25)-

— 5Ааї+і(Ті+1 — 5г) + (о? — а?+1) [45 (Tl+l — TJ- ЗЛ7г+1] —

— [25і+1(5-Л)-35Г/]а?+1-57′,.+1 (а?+(ГІ+1-7’<)2)}=0. (5.16)

Из выражения (5.16) следует, что такое Dn может быть не­един, ственным, причем это зависит от характеристик процесса, вы­бранного интервала времени и доверительной вероятности. Подста­новка значений Dn в (5.15) позволяет определить экстремальное значение отношения р.

Найдем значение Dn для случая t-*-oo. Переходя к пределу,, имеем

Нт _____ Пшнц Dn+Tj] [Ti+i-Dn(Tl+1 — Tt)]

Пт п (t) ТіТ1+ї

d Mn … 2D CTi+x-Tt? і (T!+l-Tj)2 _0 dDn [nil Д TiTi+1 “l" T{Г,-+1

получаем D*i=l/2, подставляя которое в (5.17), после преобразо­ваний находим

Анализ выражения (5.18) показывает, что при отсутствии ран­домизации оценки числа ЗЭ, получаемые по способам I и II, сов­падают, так как в этом случае Ті = Ті+і и extr (п. ц]пі) = 1. При ран­домизации оценка по методу II по абсолютной величине всегда — больше, чем по методу I. В самом деле, пусть Ті+1= Ті+е, е>0г Тогда из (5.18).

extr (ао=. №.+ ■>*, =, + —й—> і.

„і 1 *(Т, + .)Т, 4Г|(Г, 1′-)

Степень близости оценок (5.13) и (5.14) к истинным значениям? числа ЗЭ получим при сравнении их с оценками, вычисляемыми с помощью метода Монте-Карло (т. е. по III методу). Последний метод по объему вычислений более громоздок и требует применения ЭВМ, но при любых значениях Dn обеспечивает сколь угодно точ­ную оценку количества ЗЭ (вследствие увеличения объема мо­делирования) .

Изложим основные результаты моделирования применительно к следующим исходным данным. Для описания процесса использова­лась матрица вероятностей перехода Qb а матрица решений имела элементы рандомизации в состоянии /=6. Интервал времени [0, $ составлял 2000 шагов, в каждом наборе {п/r} содержалось но 100 ре­ализаций. Обобщенные результаты моделирования приведены bs
табл. 5.4, где в зависимости от величины Z>ii представлены эле­менты гистограммы, диапазон варьирования числа замен |ятіп, Лщах]. оценки среднего значения n(Dn) и среднего квадратичного. отклонения On(bfl).

Таблица 5.4

—	Dn
Характеристика	0	0,182	0,400	0,603	0,800	1,000
Ятіп	162	200	239	265	ЗОЇ	318
^тах Интервалы гисто-	207	256	294	327	377	394
граммы: 1	0,05	0,05	0,04	0,03	0,11	0,01
2	0,08	0,14	0,13	0,13	0,21	0,07
3	0,17	0,20	0,20	0,20	0,33	0,32
4	0,27	0,23	0,26	0,22	0,23	0,32
5	0,18	0,21	0,21	0,23	0,09	0,17
6	0,21	0,12	0,10	0,14	0,02	0,06
7	0,04	0,05	0,06	0,05	0,01	0,05
л(£>н)	191,3	227,1	266,7	297,1	328,8	355,1
•On (Dn)	12,0	12,4	11,4	13,5	13,8	13,5

Каждая гистограмма была проверена по критерию Х"кваДРат на соответствие нормальному закону. Во всех случаях результат проверки позволяет считать не противоречащей имеющимся дан­ным гипотезу о нормальности распределения числа 33 на выбран­ном интервале [0, /] при любых значениях Dn. Результаты провер­ки являются весьма важными, так как в методах I и II при полу­чении оценок (5.13) и (5.14) используется. выражение (5.8), спра­ведливое при нормальном законе распределения числа ЗЭ.

Перейдем теперь к сравнительному анализу всех трех методов, для чего вычислим средние значения n(Du) по каждому из них, доверительные интервалы для n(Dn) при статистическом модели­ровании по формуле

п ± иас (Dn)jn

и отклонения вида ^

Д; = Ящ (£>„) tlj(Dn),

где nnjDit) —оденка среднего значения числа замен, полученная по методу Мон­те-Карло; rij(Dii), /=I, II—оценка среднего значения числа замен, полу­ченная методом I или II.

Результаты расчетов при доверительной вероятности 0,99 пред­ставлены в табл. 5.5.

Из табл. 5.5 следует, что оценки Rj(Du), j=I, II, III числа ЗЭ в точках £>бі = 0 и £>бі = 1, вычисленные по формулам (5.11) и (5.14), попадают внутрь доверительного интервала для среднего йщфц)

при выбранных значениях интервала моделирования и количества — реализаций в наборе {«/,}. Это означает, что методом Монте-Карло — получены в этих точках устойчивые значения числа ЗЭ, и можно сделать вывод о том, что :и при других, промежуточных, значениях D6l среднее значение пш(Ан) также будет устойчивым. Иными- словами доверительный интервал для nm(Ai) при каждом значе­нии D6l накрывает истинное среднее значение числа ЗЭ. Поэтому все остальные выводы будем делать в зависимости от того, попа­дают ли оценки nj(Dn), j— I, II внутрь соответствующего довери­тельного интервала, или насколько близки к его границам. Такое со­поставление показывает, что при всех промежуточных значениях £>61 оценки Fij(Du) ,/= I, II везде меньше нижней границы соответствую­щего интервала; при этом численно под іверждаетяс сделанный ранее — вывод о том, что йп(Ат)>щ(А.) для всех Dn>0. В частности, при найденных значениях Гр, ар*. Д*—{6,7}, Г*—{7} (см.

что совпа­

дает с результатами расчетов при моделировании (см. табл. 5.5).

Рассмотрим теперь результаты расчетов числа ЗЭ, определен­ных при каждом методе для заданной гарантийной вероятности (табл. 5.6), при этом в качестве оценки для числа ЗЭ по методу Монте-Карло выберем значение пш(А0, которое может быть по­лучено из следующего выражения:

пт (Ат)—пт (Ат)~Yuoan (Ат).

где п/п (Du)—среднее значение числа ЗЭ (см. табл. 5.5); о„(Оц)—среднее- квадратичное отклонение числа ЗЭ (см. табл. 5.4); и, — квантиль нор­мального распределения.

Для дальнейшего анализа вычислим по полученным данным-

величины p=-;-l(^ (табл. 5.7)и $j=[nm{t) — nAt)nm{t) 100%,j=. «і (О

= 1, II (габл. 5.8), где /гш(/)—значение, соответствующее нижней/ границе доверительного интервала для йш(і). Так как отличие —

,p,-, /—I, II от нуля при Ді = 0 и Du — 1 объясняется лишь стати­стическим характером оценки nm(t), то величины р3- при этих зна­чениях Дт считались приближенно равными нулю.

Таблица 5.6 а ‘Метод °п 0 0,182 0,4 0,603 0,8 1 0,1 і 205,9 226,5 251,0 283,3 323,0 373,6 н 205,6 236,5 272,7 306,6 340,2 373,6 пі 206,7 243 281,3 314,4 346,5 372,4 :0,05 I 210 231,2 256 288,7 328,6 378,8 II 210 241 277,7 312,5 345,7 378,8 ш 211,1 247,5 285,5 319,3 351,5 377,3 45,01 I 218,1 240 265,6 298,9 339,3 388,8 11 218 248,6 287 321,5 355,5 388,7 III 219,3 255,9 293,3 328,5 361,0 386,5 0,001 I 227,4 249,9 276,3 310,2 351,3 399,8 II 227 259 296,5 331,2 365,5 399,7 III 228,4 265,5 301,9 338,8. 371,4 396,8

Из табл. 5.7 следует, что при всех Аі>0 величина р>1, а по­ложение extr р зависит как от Дь так и от величины а. Кроме то­го, по данным табл. 5.7, можно обнаружить несколько экстремумов (см. строку при а=0,01). Эти результаты подтверждают выводы, полученные при анализе выражения (5.16).

Таблица 5.7 £ >п а (!) 0,182 0,4 0,603 0,8 1 0,1 1 1,045 1,085 1,085 1,055 1 0,05 J 1,043 1,045 1,085 1,050 1 0,01 1 1,035 1,081 1,075 1,080 1 0,001 1 1,080 1,081 1,070 1,040 1

Из таблицы следует, что при всех 1>Ді>0 Рп<Рі; кроме то­го, существенной является абсолютная величина р,-. Так, при ис­пользовании метода II отклонение от нижней границы доверитель­ного интервала составляет (1—2)%, что приводит к весьма незна­чительному уменьшению доверительной вероятности обеспечения запасными элементами (например, при Ді = 0,4 вместо а=0,01 по­лучаем фактически а=0,05 и т. д.). При использовании метода I ошибки не превышают 10%, что эквивалентно получению довери­тельной вероятности 0,9 вместо 0,999. По мере увеличения довери­тельной вероятности (а уменьшается) отклонения в обоих методах от истинного значения в среднем уменьшаются.

Таблица 5.8 а Параметр °п 0 0.182 0,4 0,603 0,8 1 0,1 Pi 0 5,70 9,90 9,00 5,90 0 Рп 0 1,54 2,12 1,51 0,87 0 0,05 Pi 0 5,50 9,47 8,72 5,74 0 Рп 0 1,49 1,81 1,17 0,75 0 0,01 Pi 0 5,18 8,60 8,15 5,17 0 Рп 0 1,78 1,24 1,20 0,64 0 0,001 Pi 0 4,87 7,68 7,58 4,60 0 Рп 0 1,41 0,903 1,34 0,735 0-

Проведенный анализ показывает, что при рандомизированных решениях использование метода II позволяет получить вполне удовлетворительные оценки числа ЗЭ. Несколько хуже (в смысле снижения достоверности) получают результаты при использовании метода I. Наиболее точные оценки числа ЗЭ дает моделирование по методу III, однако возникающее при этом увеличение объема расчетов в каждом конкретном случае должно быть оправдано.

Таким образом, эффективность эксплуатации АС по состоянию существенно зависит от обеспечения запасными элементами. При внедрении эксплуатации АС по состоянию эту проблему целесооб­разно решать на основе системного подхода, при котором должны быть учтены как мощность и гибкость централизованной системы обеспечения и снабжения, так и эффективность системы восстанов­ления функциональных элементов АС непосредственно в местах эксплуатации. Готовность АС к применению существенно зависит от времени доставки ЗЭ. Экономический анализ связан с оценкой стоимости всего объема ЗЭ и сопутствующих транспортных опера­ций. Возможности восстановления на местах эксплуатации зави­сят от типа и структуры АС, необходимого технологического и конт­рольного оборудования. Из приведенного описания видно, что ана­лиз этой проблемы — серьезная самостоятельная задача, выходя­щая за рамки настоящей книги.

Глава VI