Уточненное непараметрическое оценивание возрастной функции интенсивности отказа

Если в результате оценок функции интенсивности отказа выявляется тенденция ее изменения как возраст­ной функции (наибольший практический интерес имеет стареющая функция X(t)), то следует для обработки, той же исходной статистической информации применить уточненный по сравнению с методом ядерных оценок метод получения изотонных оценок функции X(t).

Стареющей функцией распределения F на интерва­ле (а, Ь) называется функция, для которой при любых

t, t’e(a, b), t+%, b)-, t’>t, %>0;

t. e. надежность изделия, характеризуемая функцией F, всегда выше в интервале t+% по сравнению с интерва­лом F+x, если f>t и в начале каждого интервала из­делие было исправным.

Ниже выпишем выражение только для точечных оценок функции интенсивности отказа X{t) возрастной, функции распределения F(t). Эти оценки были получе­ны на основе принципа максимального правдоподобия методом іизотонно’го оценивания, подробно изложенным; в работе Ю. К. ‘Беляева и Е. В. Чепурина [9].

Методика нзотонного оценивания функции X{t) сво-

П

дится к следующему. Пусть d= Б fj — общее число

/=■

наблюденных отказов. Введем событие Си= {tk<h<thn}, k = 0,, d to=0; >td+i = 00. Тогда для точечной оценки л

X (t) верно выражение [5]

/

от — l m—1 2 s(^> 0+0 i-i

min max m=i+’l,…, d l=k+1,.

t<=[ti, ti+1]; для если tds^zw

05,1,1)

£1+1]; дляй+l^t^rf—1; если td—zw’, OO, oo], ЄСЛИ td — Zv),

 

где S (f) =

A

Для построения графика функции ih(t) после расче­та по формулам (5.11) при ik = Q,.. . , d следует выбрать А, обращающее в минимум оценочный функционал, т. е. определить

£=ГП а 2 ts(^. ti) %{u)-n%{ti)]+ 2 х

’ 1 11=і i=k+1

X[S(f<, ti+Suh)— ln(fj)]+S.(fd, zn)X(td) —lnl(td) }•

Если минимум данного функционала достигается при л

Л0=О, то ‘Xg(t) — неубывающая функция по t и, наобо-

л

рот, при ‘k0 — ‘d(td<zn)id{t) — невозрастающая функ­ция по t.

В подавляющем большинстве случаев на практике исследователей интересует стареющая функция распре­деления, а значит, и оценка, соответствующая интенсив­ности отказа. Поэтому рассмотрим отдельно этот важ­ный случай. Итак, предположим, что оцениваемая функ­ция распределения F(t) стареющая, исходные статисти —

ческие данные заданы (6.1) и соответствуют плану ис­пытаний 1[я, Б, г]. Тогда r=d i(r)=id‘, S{t{ih h+i))— = (я — і) (іц+і) — Ао) и td=zn, а также C0= {U<tx <tx), k = 0,. . . , d ^o=0, id-h = oo.

Искомая состоятельная оценка функции h(t) имеет вид

т — і

max ■——————————

^m—l

2 (n — /) (hi+D — Ui)) і

Определим изотонную оценку (рис. 5.3) для испыта­ний по планам (я, Б, г]і при я = 20; г = 2; ї=1, 2,.. ., 50„ полученным путем статистического моделирования мо­ментов возникновения отказов с функцией Я. (/) вида А,0(і) =2-10“4+1,5-10—8(^—100)2. Данные были объеди­нены в (5.1).

Изотонная оценка максимального правдоподобия функции в классе возрастных функций распределе­ния получена из выражения (5.11) при k = 0, 1,…, d на основе ih(i), определенной по (5.12).

В настоящее время в МГУ имени М. В. Ломоносова заканчивается разработка программы асимптотически у-доверительного изотопного оценивания границ функ­ции fa(t) в классе возрастных функций распределения.