Контроль функциональных параметров

Расчет вероятностей ложного и необнаруженного отказа при контро­ле функционального параметра. Пусть измерение z представляет со­бой аддитивную смесь истинного значения параметра у и погрешнос­ти измерений 5: z = у + 5.

Контролируемый параметр у описывается плотностью распреде­ления /j(y). Значения априорных вероятностей исправного и неисп­равного состояний рассчитываются по формулам:

Ло = / ЛООФ; 1-До = / A(y)<fy+ ] A(y)dy-

Ун ~°° Уъ

Формулы для расчета вероятностей ложного и необнаруженного отказов имеют следующий вид:

Ун Уь-У ~ Уь-У

Р».0 = J J f(y, S)dddy+j j f(y, S)dbdy,

— Ун-У Ун Ун-У

где fly, 5) — совместная плотность вероятностей контролируемого параметра у и погрешности измерений S.

При независимых параметре и ошибке измерения совместная плот­ность представляет собой произведение: /(у, 8) = А (у) fi (5) и форму­лы для РЛ 0 и Рн о примут вид (рис. 11.1):

у Уь—у

Рп. о = Во — } А(у) J hWW, <1U>

Ун Ун-У

qq у^ ~ у у Уъw У

^Н. о = J А (У) j f2(8)d8dy — f А (у) ) /2(5 )dbdy. 01.2)

В практике контроля систем ЛА наиболее часто принимается, что параметр у распределен по нормальному закону или по сильно усеченным законам, которые хорошо аппроксимируются равномер­ным распределением. Погрешности измерительных приборов в боль­шинстве случаев также распределены по нормальным законам, а по­грешности измерений, определяемые делениями шкалы отсчета, — по законам равной вероятности.

Рассмотрим три наиболее часто встречающихся случая возмож­ных сочетаний законов распределения контролируемого параметра у и ошибки измерения S.

Первый случай. Контролируемый параметр и ошибка измерения распределены по нормальному закону:

(11.4)

где Шу — математическое ожидание контролируемого параметра у; оу — среднеквадратическое отклонение параметра у, о — среднеквад­ратическое отклонение погрешности измерения 5.

Проведем замену переменных: 5/а = t у — my/ay = z — В этом слу­чае формулы (11.1) и (11.2) с учетом (11.3) и (11.4) принимают вид:

^л. о=Ф(*в)-Ф(*н) + Л; (11.5)

нормального распределения (функция Лапласа);

*н v

*н = {Ун ~ту)/ау> къ=уъ-ту/оу; = а/ау.

Для симметричного относительно математического ожидания до­пуска къ = — kjf = к вероятности Рл 0 и Рн 0 определятся соотношени­ями:

(11.7)

(11.8)

Как следует из анализа приведенных выражений для вероятнос­тей ложного и необнаруженного отказов, значения этих вероятнос­тей полностью определяются шириной допуска к, значением апри­орной вероятности Лц, а также соотношением дисперсии погрешности измерений и дисперсии контролируемого параметра. Значение веро­ятности Rq определяется требованиями к качеству функционирова­ния систем и не может быть изменено. Следовательно, обеспечение приемлемых значений Рл о и Рно может быть достигнуто путем подбо­ра соответствующих средств измерений.

В случае, когда требования к точности оказываются нереализуе­мыми, обеспечение показателей достоверности контроля достигает­ся либо проведением дублирующих измерений, либо введением кон­трольных допусков, отличных от эксплуатационных. При использовании

дублирующих измерений в качестве результата измерения контроли-

имеющее в п раз меньшую дисперсию, чем дисперсия средства изме­рения. Сужение контрольного допуска приводит к снижению веро­ятности необнаруженного отказа и увеличению вероятности ложного отказа, а его расширение — к увеличению Рн 0 и снижению Рл 0.

На рис. 11.2 приведены номограммы зависимостей вероятностей Рл о и Рн о от величины относительной ошибки измерения £ для раз­личных значений к. С помощью номограмм можно определить значе­ния ошибок первого и второго родов, если известны статистические характеристики контролируемого параметра и погрешности измере­ния, а также задан допуск на контрольный параметр. Номограммы позволяют решать и обратные задачи. Например, как обеспечить за­данную величину вероятностей ошибок Рл о и Рн 0 при известном от­носительном допуске к.

а) б)

Рис. 11.2. Зависимости Рл о (а) и Рн о (б) от % для различных значений к

при нормальном распределении у и 8

Пример. Пусть контрольный допуск равен к = ув-ту/оу =2оу/оу = 2 и необходимо, чтобы в процессе контроля вероятность РИ 0 не превысила 0,0031. Из номограммы следует, что эту задачу можно решить, подобрав соответствующим образом допустимую величину £, что соответствует выбо­ру аппаратуры контроля с соответствующими данному значению % точност­ными характеристиками. В данном случае относительная погрешность из­мерения £ не должна превышать 0,08.

Второй случай. Контролируемый параметр у распределен по за­кону равной вероятности, ошибка измерения 5 — по нормальному закону:

1

/

 

Г/з-О	>/3+*н ф	Г/3+/0
$ J	2/3	1 5 J

/

/3-А^ 2/3

Ф

2

. f/3+*Bf j J ‘ exp <————— г + exp і —

Уз-*н 5

„ £, _

где

НО, что а = /Зоу.

Для симметричного допуска на контрольный параметр выраже­ния (11.11) и (11.12) примут вид:

/3

На рис. 11.3 приведены номограммы зависимости Рл 0 от величи­ны относительной ошибки измерения I; для различных значений к при равномерном распределении у и нормальном распределении 5.

Третий случай. Параметр у и погрешность измерения распреде­лены по законам равной вероятности: і

—, mv — а < у < mv + а,

2а ‘ 7

О, у<гпу-а, у>ту+а, ‘ і

—, у-Ьй8<у + Ь,

О, 5 < у-Ь, 5 > у+ Ь.

Формулы для вычисления вероятностей ошибок РЛ 0 и Рн о при различных соотношениях ^ и т|, где г| = ув — ту/Лау = &/-Л, приве­дены в табл. 11.1. Вывод выражений осуществлялся при следующих

2

ограничениях: {,< — j^d ту = 0; — кИ = кв = к.

Здесь предполагается выполнение условий, связанных с характе­ром распределения у и 5: а — — ТЗо; b = у/3ау.

Соотношение £ И Т|	Р л Л. О
IV іЯг* ІД 1	0	0
IV N* • іЯг* IV 1	[5-(ч-0]7«5	0
ті<і; 5>л-і	5/4	[25 — (і — л)] (і — л)/45
А іЯг* ІА 1	5/4	5/4

Формулы для вычисления вероятностей Ря 0 и Рн о

На рис. 11.4 приведены номограммы зависимостей вероятностей ложного Рлои необнаруженного Рно отказов от относительной ошибки измерения и относительного контрольного допуска т| на функцио­нальный параметр, построенных по формулам табл. 11.1.

{у~ту) . 52 „.O’-"1*)8 «2 «2 ост„

Четвертый случай. В рассмотренных случаях не учитывалась ста­тистическая связь между контролируемым параметром у и погрешно­стью измерений 5, характеризуемая коэффициентом корреляции г. Для коррелированных параметров у и 8 совместная плотность вероят­ностей определяется соотношением

и выражения (11.11) и (11.12) можно привести к следующему виду:

^л. о = Ф (^в)_ Ф (^н ) + ^5 і

На рис. 11.5 приведены номограммы зависимостей Рло =

= /д о (£,£,г) и Рн 0 = Рн о (£,£,г) для симметричного относительного контрольного допуска:

кц — к^ —к,

Л=1 1,05 1,1

1,15 1,2 1,25 1.3 1,35 1.3 1,45 1.5

1,55 1,6 1,7

где

*н. о 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01

а)

 

Рис. 11.5. Зависимости Рл о (а, 6) и Рн о (в, г) от % для различных
значений к и г при нормальном распределении у и 8

Оптимизация контрольных допусков при контроле функциональ­ных параметров. Приведенные в предыдущем параграфе результаты позволяют определить, какой должна быть точность измерений при контроле, чтобы был обеспечен заданный уровень ошибок первого и второго родов. Однако такая точность может оказаться практически нереализуемой. Тогда возникает необходимость в поиске методов обес­печения предъявляемых к процессу контроля требований. Одним из возможных методов уменьшения вероятности принятия ошибочных решений в результате контроля является введение так называемых контрольных допусков, отличающихся от эксплуатационных. Систе­ма будет считаться годной при контроле по одному параметру, если

результат измерения z удовлетворяет условию Ун < z ^ Ув, гДе Ун и

Уз — соответственно нижняя и верхняя границы контрольного ПОЛЯ допуска.

Если контролируемый параметр у и погрешность измерения 8 аддитивны, т. е. z = у + 8, то границы контрольного допуска выража­ются через границы эксплуатационного допуска

Ун =Ун+Ъ Ув — Ув-е,

где є — величина изменения контрольного допуска по отношению к эксплуатационному; за положительное направление ее изменения принимаем сужение контрольного допуска (рис. 11.6).

Процедура принятия решений (параметр в поле или вне поля до­пуска) представляет собой процесс получения оценки параметра и сравнения ее с контрольным допуском. Выносится решение «пара­метр в поле допуска», если оценка лежит внутри контрольного до­пуска, и «параметр вне поле допуска», если его оценка находится вне контрольного допуска. На основании этого принимается реше­ние о годности и негодности контролируемого объекта.

Для расчета вероятностей ложного и необнаруженного отказов (Рл о и Рно) с учетом изменения контрольного поля допуска на про­веряемый параметр у можно воспользоваться следующими соот­ношениями:

Тн-Т-е

У Уъ~У~£ 00 Уъ~У~Е

Рн. о = / Му) в S h{b)dbdy + J Му) j f2{b)dbdy. (і U6)

— Тн-Т+е Тв Тн-Т+е

Рассмотрим конкретный случай. Пусть случайные величины у и 8 статистически независимы и подчиняются нормальным законам рас­пределения, т. е. их плотности вероятностей удовлетворяют соотно­шениям (11.3) и (11.4). Тогда при симметричном эксплуатационном допуске на контролируемый параметр формулы (11.15) и (11.16) при­мут вид:

(11.18)

-Ф(у)4у> Р = Уъ-£~ту/оу —отно­

сительный контрольный допуск на параметр у.

Если проверка параметра осуществляется по контрольному до­пуску, совпадающему с эксплуатационным, т. е. р = к, то выраже­ния (11.17) и (11.18) совпадут с (11.7) и (11.8).

Из номограмм, построенных для зависимостей вероятностей ошибок? ло и Рно от величины контрольного допуска (рис. 11.7), видно, что уменьшение контрольного допуска приводит к снижению вероятности необнаруженного отказа Рн 0, однако при этом возрас­тает значение вероятности ложного отказа Рл о. При расширении контрольного допуска на проверяемый параметр происходит обрат­ный процесс.

а) 6)

Рис. 11.7. Зависимости Рл о (а) и Рно (б) от р для различных к и % при

нормальном распределении у и 5

В связи с этим возникает задача поиска величины контрольного допуска, которая соответствовала бы заданным значениям вероятно­стей ошибок Рло, Рно, или определения контрольного допуска, оп-

тимального в смысле выбранного критерия. Таким критерием может служить средний риск R, который является наиболее общей характе­ристикой достоверности контроля и учитывает как ошибки в функ­ционировании системы контроля, так и влияние этих ошибок на эффективность проверяемой системы:

л = JJп [G ОО »$(*)]/ (у. *)

п

где \yQ{y),q(х)] — функция, учитывающая потери, которые соот­ветствуют каждой комбинации истинного состояния проверяемой сис­темы и принятого в результате контроля решения; f(x, y) — совмест­ная плотность распределения значений параметров у их; Q(y) — функция, характеризующая разбиение состояний контролируемого объекта на классы, различимые при контроле; д(х) — функция ре­шений, определяющая алгоритм принятия решения при обработке получаемой информации; £2 — область определения величин у их Средний риск учитывает потери, которые могут иметь место при всех комбинациях ситуаций, связанных с состоянием контролируемой системы и решениями контролирующей аппаратуры.

Конкретный вид R зависит от функции потерь, характер которой удается определить на основе анализа определенной задачи, стоящей перед аппаратурой контроля. Для получения R целесообразно пред­ложить следующий подход.

На основе априорных данных о функции потерь величину средне­го риска разлагаем на отдельные составляющие, которые определяют риск с точностью до постоянных множителей, не зависящих от точ­ности аппаратуры контроля. Для иллюстрации этого подхода рас­смотрим простейшую модель, в рамках которой можно описать фун­кцию потерь. Пусть в процессе выполнения поставленной задачи контролируемая система проверяется по принципу «годен— негоден» некоторого параметра у.

Функцию потерь можно представить в виде квадратной матрицы

П = [П(у }, в которой на пересечении строки с номером /, соответ­ствующим состоянию контролируемого параметра, и столбца с но­мером у, соответствующим принятому решению, находятся потери

П, у. Аналогично составляется матрица Р = РЛ совместных вероят­ностей того, что имеют место состояние / параметра и принятое ре­шение у.

Рх	Рг		Ро Рц. о	^л. о
Рз	Л		Рп. о	1 ” ^н. о

Средний риск определяется как сумма произведений элементов с одинаковыми индексами матриц Пи Р:

R =

• •

/ J

Таким образом, средний риск для случая, когда потери при пра­вильных решениях считаются нулевыми, можно записать следующим образом:

^ — Пі^л. о + П2ін0. (11.19)

Оптимальная величина изменения контрольного допуска є* на проверяемый параметр определяется из условия минимизации сред­него риска R.

Функция R = R(z), удовлетворяющая соотношению (11.19), яв­ляется непрерывной на интервале изменения є и дифференцируемой во всех точках этого интервала. Поэтому расчет изменения контрольно­го допуска є, при котором достигается минимум функции R, можно осуществить из условия

dR/dt = 0. (11.20)

Запишем уравнение (11.20) с учетом (11.19):

^(П1Рло+П2?н. о) = 0

и выразим ошибки первого Ряо и второго Рн 0 рода через соотноше­ния (11.15) и (11.16). После дифференцирования функции R полу­чим:

-П2[у{Ув — е*) + /(ун +е*)] +

+(П!+П2) J А(у)[/г{уп — у + е*) + /2(ув — y-£*)]dy=0, (11.21)

Ун

ОО

где /(5) = J fx (у)/2 (8 — y)dy.

Можно показать, что при переходе через точку г* производная функции R меняет свой знак на противоположный. Следовательно, средний риск в точке є* имеет экстремум (минимум). Рассмотрим
три наиболее характерных варианта распределений случайных вели­чин ошибки измерения и проверяемого параметра.

Первый случай. Контролируемый параметр и ошибка измерения распределены по нормальному закону, т. е. плотности вероятностей этих случайных величин удовлетворяют соотношениям (11.3) и (11.4).

Уравнение (11.21) в этом случае принимает вид:

где Рн = (^+6*-^)/^; Рв = (Ув — £*-ту )/оу.

Пусть на контролируемый параметр назначается симметричный эксплуатационный допуск, тогда уравнение (11.22) упрощается:

(11.23)

где! св=-кн=к; Рв = ~Рн = Р*-

Если ошибки первого и второго родов одинаково опасны, то при­нимается П| = П2 = 1, и в качестве критерия оптимальности можно выбрать сумму вероятностей ошибок и потребовать ее минимума. Этот критерий носит название критерия Котельникова, или критерия иде­ального наблюдателя.

Для этого случая построены номограммы (рис. 11.8, а), из кото­рых следует, что в большинстве случаев для обеспечения минимума среднего риска контрольные допуски необходимо расширять относи­тельно заданных эксплуатационных значений. Однако существуют такие соотношения эксплуатационного допуска и уровня погрешно­сти измерений, при которых минимум среднего риска можно дос-

а) б)

Рис. 11.8. Зависимости р* от £ для различных к при:

а — нормальном распределении у и 5; б — равномерном распределении у и

нормальном распределении 5

тичь лишь сужением контрольных допусков относительно эксплуа­тационных. Например, при £=3и£ = 0,3 для удовлетворения тре­бованиям критерия Котельникова необходимо, чтобы р = 3,27. С

другой стороны, при к = 0,5 и £ = 1 контрольный допуск р* = 0,4363 (см. рис. 11.8,д).

Пример. Пусть на контролируемый параметр назначен симметричный эксплуатационный допуск к’ = уъ-ту = 2оу. Ошибка измерения имеет среднеквадратическое отклонение а = 0,6а^. Необходимо определить вели­чину контрольного допуска р*. Вычислим относительные величины к и

к = к’/су = 2 су/су = 2;£ = с/су = 0,6су/оу = 0,6.

Из номограммы на рис. 11.8,д определим, что для найденных значений к и % р* = 2,72 и, следовательно, относительное изменение контрольного допуска v = к — р = -0,72. Знак минус означает, что допуск на контро­лируемый параметр необходимо расширить.

Второй случай. Контролируемый параметр распределен по зако­ну равной вероятности, ошибка измерения — по нормальной зако­ну, т. е. выполняются соотношения (11.9) и (11.10).

При подстановке (11.9), (11.10) в уравнение (11.21) получаем следующий результат:

Для симметричного эксплуатационного поля допуска выражение (11.24) имеет вид:

Результаты расчетов, проведенных на ПЭВМ в соответствии с соотношением (11.25), представлены на рис. 11.8,6, из которого вид­но, что в рассматриваемом случае минимум среднего риска будет до­стигаться только при суженных контрольных допусках.

Третий случай. Параметр и погрешность измерения распределе­ны по законам равной вероятности (11.13) и (11.14).

Формулы для расчета вероятностей РЛ 0, Рно ложного и необна­руженного отказов с учетом изменения контрольного допуска на па­раметр сведены в табл. 11.2.

Таблица 11.2 Формулы для расчета вероятностей Рп о и Рно Соотношение £ и є р л л. о Р л н. о ТІ S 1; $ < л -1 0 0 ТІ 2 1; % > ті -1 (4 + Y-0l-l)]2/([3]S) 0 л<1; $>і-л (X + 2у)/4 [2% — (1 — л) — 2у](і — л)/(40 л<1; ^<1-л Й + 2у)/4 Й — 2у)/4

Рассмотрим четыре варианта определения оптимальной величи­ны у-г/а — г/(л/Зсг,,), минимизирующей критерий Котельникова при различных значениях т| и є (см. табл. 11.1):

1.Л = 0.

,, Ге+тНп-ОТ2. а* [24+г’-л + 1]

’ Эу 4£

Таким образом, при т| > 1 и ^ > rj — 1 относительная величина изменения контрольного допуска у* = г| -1 — £ или р* = (1 + £)/>/3.

з./г = у^+2^~1 + ^2+2^1~^~^1~^. (П.26)

£ (l + 2£г + £2) + р* (1 + £г) { ф-г2){і + 2іг + Є) }

к{ + 2г + %2)-р* (1 + ^г)| ^(l-r2)(l + 2$r + $2) }

Функция (11.26) не имеет экстремума по у, но так как R > О, то

в качестве оптимального у* принимается значение, при котором сред­ний риск достигает наименьшего значения R = 0 (рис. 11.9):

?Ч24(1-л)-(1-л)2

2Й+Ч-Ц

= —О2— (11.27)

П!+П2′

При коэффициенте корреляции г = 0 уравнение (11.27) совпада­ет с (11.23).

Исследуем уравнение (11.27) при П| = П2 = 1. Обозначим его ле­вую часть через F. Функция F = F( р) будет иметь максимум при р = 0. В этом случае из (11.27) находим:

При определенных соотношениях Ц и г уравнение (11.28) может не иметь решения. Пользуясь таблицей значений функции Ф(х) =

куІ1 + 2%г + $2/ fo/l — г2 ) = 0,6744,

откуда

. 0,6744^1-г2

4№+2г/% + Г

Таблица значений Ф(х) Таблица 11.3 X Ф(х) X Ф(х) X Ф(х) 0 0,0000 1,1 0,3643 2,2 0,4861 0,1 0,0398 1,2 0,3849 2,3 0,4893 0,2 0,0798 1,3 0,4032 2,4 0,4918 0,3 0,1179 1,4 0,4192 2,5 0,4938 0,4 0,1554 1,5 0,4332 2,6 0,4953 0,5 0,1915 1,6 0,4452 2,7 0,4965 0,6 0,2257 1,7 0,4554 2,8 0,4974 0,7 0,2580 1,8 0,4641 2,9 0,4981 0,8 0,2881 1,9 0,4713 3 0,49865 0,9 0,3159 2 0,4772 4 0,499968 1 0,3413 2,1 0,4821 5 0,499997

Номограммы для р*, определенного уравнением (11.27), анало­гичны номограммам рис. 11.8,д. Таким образом, и при учете корре­ляционной зависимости между контролируемым параметром и по­грешностью измерения существует некоторое граничное значение
эксплуатационного допуска к, выше которого необходимо осуществ­лять только расширение контрольных допусков. Это граничное зна­чение определяется из соотношения (11.29) и имеет вид

к >0,6744^1 — г2. (11.30)

При значениях эксплуатационного допуска, определяемых нера­венством (11.25), оптимальный контрольный допуск р* будет боль­ше эксплуатационного допуска на параметр, т. е. допуск необходимо только расширять. Если же

к < 0,6744->/l — г2,

к [J(l — г1) (0,455 — к1) + гк] 0,455 (l-г2)-*2

то оптимальным будет или расширенный, или суженный контрольный допуск в зависимости от величины а при

контрольный допуск будет равен нулю, т. е. при соотношениях £ и к, определенных неравенством (11.31), погрешность аппаратуры конт­роля становится слишком большой по отношению к заданной вели­чине эксплуатационного допуска и вероятность принятия правильно­го решения снижается до минимума.