ОСНОВЫ СФЕРИЧЕСКОМ ТРИГОНОМЕТРИИ

Сферой называется замкнутая по­верхность, вес точки которой одина ново удалены от некоторой точки О (центра сферы).

Большой круг — окружность на поверхности сферы, образованная се­чением сферы плоскостью, проходя­щей через ее центр. Радиус большого круїа ранен радиусу сферы. Через любую точку сферы может прохо — інть бесчисленное множество кругов Положение дуги большого круга оп­ре дсляется двумя точками на сфере (при условии, что они не лежат на концах одного диаметра сферы). Лю­бые две точки большого круга делят его на две дуги, меньшая из которых является линией кратчайшего рассто­яния на поверхности сферы между этими точками (геодезической ли шей).

Малый круг—окружность на по­верхности сферы, образованная сече­нием сферы плоскостью, ие проходя­щей через се центр

Длина дуги большого круга с центральным углом а (в радианах) равна Ra. где R — радиус сферы Обычно рассматривают сферу единич­ного радиуса, тогда длина дуги рав­на а

Угол, образованный на сфере дву­мя дугами большого круга, пересека­ющимися в некоторой точке, измеря-

Рие. П. І. Сферический треугольник 266

юг линейным углом между касатель­ными к дугам в данной точке или (что то же самое) двугранным уг­лом между плоскостями больших кругов. ,

Сферическим треугольником назы­вается фигура на сфере, образован­ная тремя попарно пересекающимися дугами больших кругов. Три боль­ших круга образуют на сфере не­сколько треугольников (рнс. П. 1). Во всех задачах рассматривается тот из них все стороны которого меньше 180°. Сумма углов сферического тре­угольника всегда больше 180°. Сфе­рическим избытком треугольника на­зывается разность

е = А +В -НС —180°. (П.1)

Площадь сферического треугольника S = R„e (е — в радианах).

Элементы сферических треуголь­ников в практических задачах выра­жают в градусной мере, а при рас­смотрении теоретических вопросов — н радианах.

Сферический треугольник считает­ся заданным, если известии три лю­бых его элемента. Под решением тре угольника понимается отыскание его неизвестных элементов.

Формула косинуса сто­роны. В сферическом треугольнике косинус стороны равен произведению косинусов двух других сторон плюс произведение синусов этих сторон иа косинус угла между ними (т. е. на косинус угла, противолежащего ис­комой стороне). Для стороны а

cos a — cos Ь cos c + sin h sin c cos A

(Г7.2)

Формула косинуса угла. Косинус утла сферического треуголь­ника равен отрицательному произве­дению косинусов двух других углов плюс произведение синусов этих уг­лов на косинус стороны между ними (т. е. на косинус стороны, противоле жашей искомому углу).

Чля угла Л

cos А — — cos В cos С — — f — sin В sin С cos а. (П. З)

Формула синусов. В сфе­рическом треугольнике синусы сторон от носятся как синусы противолежа­щих углов:

sin a sin A =sin b ‘sin В =

— sin с sin С. (П.4)

Формула котангенсов (формула четырех рнтом лежащих элементов) Она связывает четыре элемента треугольника, лежащие ря­дом, например АсВа (см. риє. П.1). Из них всегда — два угла и две сто­роны. Одни угол всегда крайний, другой внутренний и одна сторона крайняя, другая внутренняя. Форму­ла читается следующим образом

произведение котангенса крайнего угла на синус среднего угла равно произведению котангенса крайней стороны на сииус средней стороны минус произведение косинусов сред­них элементов.

Например,

ctg A sin В =ctg a sin с—

— cos с cos б. (П.5)

Формула пяти элементов связывает три стороны и два угла сферического треугольника.

В ием сииус стороны, умноженный иа косинус прилежащего угла, равен произведению косинуса стороны, про тннолежащей этому углу, на синус третьей стороны минус произведение синуса противолежащей стороны на косинус третьей стороны и на косинус угла между ними

Например,

sin a cos В = cos b sin с—

— sin b cos с cos А. (П.6)

Формулы полупериметра используются для вычисления yiлов треугольника А, В. С по заданным трем сторонам а, Ь, с:

V 5ІП р
-— ->■ —Ь) sin (р—с)
А	sin р R
! 2 “	sin (р—а)
В	R
2	sin (p—b)
С	R
! 2	sin (р—с)

sin (р— и) sin (р—

(П.7)

Эти же формулы могут быть исполь­зованы для определения сторон тре­угольника по известным углам. Для этого определяют стороны полярного треугольника

а’ — 180 —Л; Ь’ == 180° — В;
с’ = 180’—С

и подставляют их в приведенные вы ше формулы. После определения по (П.7) углов полярного треугольника Л’, В’, С’, осуществляется переход к искомым сторонам заданного тре угольн ика

а — 18С — Л’; Ь =180° —В*.
с =180° —С’.

Приведенные формулы позволяют решать произвольные (косоугольные) треугольники Для исключения оши бок рекомендуется переобозначить стороны и углы решаемого треуголь ника в соответствии с обозначениями в приведенных формулах.

Если один из углов сферического треугольника является прямым (ра вей 90°), то решение треугольника существенно упрощается. При реше­нии прямоугольных треугольников по двум заданным элементам отыскива ется третий. Для решения может ис пользоваться одно из следующих правил:

косинус гипотенузы равен произ ведению, косинусов катетов;

сииус каждого из катетов равен синусу гипотенузы, умноженному иа синус противолежащего угла;

тангенс кал loro катета равен про — н. іведеиню тангенса гипотенузы на ко­синус угла, ему прилежащего,

тангенс очного из катетов ранен произведению синуса другого катета на тангенс противолежащего угла, произведение котангенсов углов, прилежащих к гипотенузе, равно ко синусу гипотенузы:

косинус одного из углов равен произведению косинуса противолежа­щей стороны на синус другого угла.

Мнемоническое правило Не п е ра объединяет приведенные выше формулы решения прямоуголь­ных треугольников. Катеты следует считать лежащими рядом (прямой угол как бы не считается елементом). а нмссто катетов следует брать до волнения их до 90°. изменяя соответ­ственно наименования триюномстрн — ческнх функций (например, если по формуле следует брать косинус кате­та, равного 40°, то бере’тся косинус 00е), Правило формулируется следу­ющим образом: если три элемента треугольника лежат рядом, то коси­нус среднего элемента равняется про и зве денню котангенсов крайних эле ментов; если элементы не лежат ря­дом, то косинус отдельно лежащего элемента равен произведению chhYcof Элементов, лежащих рядом.

Нели все стороны сферического треугольника малы, то его можно ре шать как плоский треугольник.

Если в прямоугольном сфериче ском треугольнике одни из углов и противолежащий ему катет — величи ны малые, то гипотенуза приблн женио равна второму катету, а ма лын катет приближенно равен проти волежаидему углу, умноженному на гипотенузу.