Особенности динамики контура директорного управления

Анализ динамики контура директорного управления осложня­ется неопределенностью, которая присуща характеристикам пилота как управляющего звена, поэтому целесообразно применять под­ход, основанный на фундаментальных идеях прямого метода А. М. Ляпунова и их развитии Е. А. Барбашиным и В. П. Зубо­вым [18].

Рассмотрим упрощенные уравнения бокового движения, полу­ченные из (1.29), в форме:

*1 ==Х2*

Xi=gXa,

Х3=ХА,

хі=ахА—Ьи,

где а, g и Ъ — коэффициенты, и введены обозначения z=X, V2=x2,

У = х3, их=Х4, бэ =и.

Зададим в пространстве состояний системы гиперплоскость S, в соответствии с уравнением

4

5= V CjXj—0,
j-і ’ ‘

7-і

где Cj (}=1, 2, 3) — постоянные коэффициенты; С4=1. Преобразуем систему к виду

*2 = Й-

3

х3=S~^CjXj,

І-і

S = rS— rciXi — (rc2 — Ci) x2— (rc3 —c2g) xr3-f bu,

где r=C3+o.

Рассмотрим подсистему системы (7.4), соответствующую S=sO и управлению u*—b~l[rcX—{rc2—C)x2—{rc3—c2g)x&

Xi=x2;

x2=gx 3;

з

X3= — 2 clxi 7-і

Выбором коэффициентов Cj можно придать этой системе жела­емые свойства, поэтому будем полагать, что матрица коэффициен­тов имеет собственные числа лишь с отрицательной вещественной частью. Тогда существует (и притом единственная) определенна

положительная функция Vu такая, что ее производная, вычислен­ная с учетом (7.4), определенно отрицательная функция Wx:

и-‘ _ дУх у______________ J2

і-1 J j= і

Рассмотрим теперь функцию

V = (xu х2, х3, S)=V1 + /2KS2, К> 0.

Учитывая систему (7.4) при управлении, описываемом системой (7.5):

W = — = — V х)+ 5+ rKS2.

dt дхз 1

По критерию Сильвестра существует такое К, что функция W — определенно отрицательная квадратичная форма. Таким об­разом, если пилот реализует управление (7.5) и г<0, то движение 5 (t) =0 устойчиво.

При построении директорных систем предполагается, что пи­лот выполняет функции пропорционального регулятора. Для этого случая положим командный сигнал, равным

т=/гс5,

где kc — масштаб командного прибора.

Управление, формируемое пилотом: и=—kBa, где kB — коэффи­циент передачи пилота.

В этом случае выражение для функции W примет вид:

3

W = — V х)+ 4^~S+ rf<s°-+ KS [rcxxx + (rct — cx) x2+

jBOi OXn

7=1

+ (rc3 — c^g) Ы — KknkcbS2.

Очевидно существуют k и kn такие, что функция W определенно отрицательна. Однако требование большого kn приводит к увеличе­нию напряженности пилота, поэтому целесообразно либо вводить управления (7.5), либо выбирать коэффициенты г и Cj такими, что­бы требуемое значение управления и* в соответствии с (7.5) было минимальным. Значение коэффициента г<0 при этом обеспечит устойчивость системы при прерывистом характере реальных про­цессов управления.

Рассмотрим самую «грубую» модель. Пусть пилот осуществля­ет релейное управление

(7.6)

211

Переключение управления происходит теперь на плоскости S. Пусть выполняется соотношение

1 bknkc > rciXi + (гс2 — сх) х2+ (/ с3 — Czg) Х3|.

Тогда в системе при отсутствии запаздывания должен возник­нуть скользящий режим, а плоскость S теперь будет плоскостью

притяжения. Производная функция расстояния^ = “^2: от плос­кости 5 будет

= ss = rS2 + [rc 1*! + (гс2 — су) х2 + (гс, — c2g) х3] S — — bkukc S < 0.

В системе (7.4) с управлением (7.6) имеет место непродолжимость движений через поверхность разрыва управлений S.

За счет запаздывания, присущего реальным управляющим уст­ройствам (при директорном управлении запаздывание вносится как БЦВМ, так и пилотом), около поверхности S существует слой, в котором происходят переключения.

Учтем запаздывание, введя неоднозначную функцию ср(ст), опи­сывающую гистерезис с зоной 2/:

Положим теперь

Применение теоремы В. И. Зубова об устойчивости систем с ре­лейными управлениями [18] к рассматриваемому случаю позволяет провести полный анализ поведения системы.

Функция W, представляющая скорость изменения функции V, перестает быть определенно отрицательной. В системе при управ­лениях (7.6) возникают стабильные колебания, расположенные в некоторой окрестности изолированной критической точки (положе­ния равновесия), если / достаточно мало. При этом каждая инте­гральная кривая системы (7.4), начинающаяся в некоторой фикси­рованной окрестности указанной точки, стремится к стабильному колебанию.

Следовательно, имеет место практическая устойчивость положения равновесия. Стабильные колебания могут быть в част­ности, автоколебаниями или вырождаться в точку покоя. Известно, что некоторые авиационные системы обладают лишь практической, а не асимптотической устойчивостью. Однако колебания около положения равновесия в автоматических системах после окон­чания переходных процессов все же являются нежелатель­ными, так как приводят к преждевременному износу исполнитель­ных органов, ухудшают качество управления. В полуавтоматиче­ских системах такие режимы увеличивают напряженность и за­грузку пилотов.