МОДЕЛЬ РЕАЛИЗАЦИИ ПРОЦЕССА ИЗМЕНЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

Полученные в предыдущем параграфе модели изменения математического ожидания надежности изделия пригодны в основ­ном для прогнозирования, т. е. для расчетов на этапе, когда испы­тания еще не проведены. К сожалению, часто эти же модели ис­пользуют для оценивания реализации процесса, которая имела место при отработке данного изделия, что пщі малом числе испыта­ний приводит к существенному снижению точности расчетов. При­чины этого явления, по-видимому, нужно искать в недостаточно критическом приложении аппарата теории стохастических моделей обучаемости применительно к процессам опытной отработки Л А. Как уже отмечалось выше, при проведении опытов с биологически­ми объектами обычно в каждом испытании участвует большая груп­па животных, реакции которых на те или иные условия осредняют, что позволяет всегда использовать только математическое ожида­ние как наилучшую характеристику процесса. При отработке лета­тельного аппарата в каждом испытании, как правило, участвует только один образец, что приводит к необходимости применять мо­дель реализации процесса.

Перейдем к рассмотрению особенностей такой модели. После того как проведена серия испытаний, в ходе которых были дора­ботки, в нашем распоряжении имеется богатая опытная информа­ция, позволяющая точнее описать процесс. Действительно, при выво­де моделей (5.64), (5.6$), (5.74), (5.80) и других узловым моментом являлось установление связи между исходом испытания и приня­тием решения о проведении доработки. В модели закладывалось предположение о том, что доработку с определенной вероятностью проводят после любого исхода испытания, или она достоверно сле­дует только после успехов, или только после отказов и т. д. Именно эти положения были наиболее уязвимыми при обсуждении получен­ных моделей.

В рассматриваемом случае, когда испытания уже проведены, достоверно известны номера опытов, после которых были внесены доработки. Эти сведения и являются той основной дополнительной информацией, которая позволяет более точно описать реализацию, так как при этом ту или иную схему процесса заменяют достовер­ными данными.

Пусть проведена серия в п испытаний (/=1, 2, 3, …, п), в ходе которых выполнено v доработок (і = 1, 2, 3, …, v). Естественно, что число доработок не превышает число испытаний, т. е. v^n. Кроме того, известны моменты внесения доработок, т. е. определена связь

i(j). Например, первая доработка следовала после третьего испы­тания, вторая — после четвертого испытания и т. д. Для описания приращения надежности изделия за счет і-й доработки могут быть использованы те же линейные зависимости типа (5.38) и (5.39), которые применялись при выводе моделей математического ожи­дания, т. е.

Д Р 1=0,1 (1 — Рі—і) — biPi-u (5.84)

где Рг-1 — вероятность успешного испытания после (і— 1)-й дора­ботки; аи Ьі — коэффициенты, характеризующие эффективность t-й доработки.

В рассматриваемой модели нет смысла различать приращения надежности АРц, АРц в зависимости от исходов испытаний, как это делалось раньше, потому что при устранении причин отказов обычно учитывают всю накопленную до этого информацию по ре­зультатам успешных и неудачных опытов.

Вспомним, что при выводе моделей математического ожидания не удалось воспользоваться переменными коэффициентами в выра­жениях (5.38), (5.39), так как при этом оказывалось большое ко­личество неизвестных параметров. Информация же, которую име­ем после проведения испытаний, может быть использована не толь­ко — для определения моментов внесения доработок, но и для более точного описания приращений надежности. Так, при проведении каждой доработки известны предполагаемые или достоверные при­чины отказов. В начале испытаний обычно в каждой доработке уст­раняют несколько причин отказов, а на заключительной стадии — одну-две.

Например, в ходе нескольких ЛКИ могут быть установлены причины отказов двигателя, автомата стабилизации системы уп­равления и теплозащитного покрытия корпуса, для устранения ко­торых, например после пятого испытания, проводят доработку.

, Естественно, что устранение нескольких причин отказов сможет существеннее изменить надежность изделия, чем устранение одной. Основываясь на этих соображениях, сделаем следующее допу­щение:

ai=kia bi=kib, (5.85)

где ki — количество устраняемых в і-й доработке причин отказов; а, b — постоянные коэффициенты, характеризующие эффективность устранения одной причины отказов.

Это допущение позволяет учесть неодинаковую эффективность доработок, не увеличивая число неизвестных в модели, так как ве­личины ki нам достоверно известны.

В соответствии со вторым свойством процесса, сформулирован­ным в § 5.3, надежность изделия изменяется только после внесения доработки; следовательно, после ї-й доработки

<Р| = Л>+2 (5-86)

/=і

где Р0—-надежность изделия до первой доработки, совпадающая с вероятностью успеха в первом испытании.

Таким образом, искомая функции изменения надежности являет­ся ступенчатой. Если в качестве оси абсцисс принять номер дора­ботки, ТО функция Р(І)=Рі будет ИЗМЄНЯТЬСЯ СКЭЧКаМИ ДPi в каж­

.Р,-

15- ’

к

— I J-W-. і

скачки в соответствии с (5.84) и (5.85) пропор­циональны количеству устраняемых причин от­казов ku зависят от достигнутой надежности Pi—и а также коэффи­циентов а п Ь, характеризующих успешность устранения одной при­чины отказа, т. е.

A Pi = kia{— Pi-1) — ЬРі-і]. (5.87)

Выражения (5.86) и (5.87) с учетом логики процесса, представ­ленной на рис. 5.7, можно рассматривать как модель реализации. Искомая функция при подстановке (5.87) в (5.86) принимает вид

^ = kilaV-Pi^-bPt-i]. (5.88)

i=i

Таким образом, надежность зависит от трех неизвестных пара­метров: Р0, а, Ь. Если эти величины определить по результатам ис­пытаний, то можно рассчитать значения функции в точках прове­дения доработок. Нетрудно заметить, что выражение (5.88) являет­ся рекуррентным, так как формулу (5.88) можно записать в виде линейного разностного уравнения

Pt = Pi-г + ki[a(l — Pi-i) — bPi-г]. (5.89)

Естественно, что в такой форме использовать модель для опре­деления неизвестных параметров трудно. Однако выражения

(5.88) и (5.89) без дополнительных допущений сведем к явному выражению функции Pi только через величины Ро, а, Ь. Введя обо­значения

Рсв=а/(а—Ь), {а—Ь)=А, (5.90)

после элементарных преобразований (5.89) можно записать в виде Яі=Яоо-(Ясо-Я/-і)(1 — Akt). (5.91)

В соответствии с этим выражением составим ряд последователь­ных значений функции надежности:

P1=Pco-(Pco-P0)(l-Ak1y,

Р2= — {Ров — Pj) ( 1 _ Ak2) = Рп -[Рто-Ясо +

+ (Рос — Р0) ( 1 — Ak,)( 1 — Л*2) — Роо- (Рос—Р0) ( 1—Ak,)X

Х(1 — Ak2)

Р3=Рсо-(рте-Р2)(1 — Акй)=Роо -(Рсо-Ро)(1 — Akx) X
Х( 1 — Ak2) (1 —• Л£3).

Для і-го члена последовательности (5.92) с учетом обозначений (5.90) получим

Р*=Рсо—(Рсо —P0)ri (l-aki/Pco). (5.93)

і-/

Выражение (5.93) позволяет вычислить все значения функции надежности, кроме начального Р0. Поэтому формально будем счи­тать, что существует нулевая доработка, в которой всегда Х=0. При этом нижний предел произведения можно расширить, включив точку г’=0, т. е. получить

Pi=Рсо-(Р~-Р0) П(1-akJPn) (k0 = 0). (5.94)

/ = 0

Выражение (5.94) и является искомой моделью реализации про­цесса изменения надежности изделия в ходе его отработки. .Модель зависит от трех параметров Р0, Ре, а или Ро, а, Ъ, оцениваемых по результатам испытаний, в ходе которых фиксируются: исходы (ус­пех или отказ); номера испытаний, после которых вносились дора­ботки (связь і с /’); количества устраняемых в каждой доработке причин отказов

Нетрудно заметить, что при

kt =-k=const (5.95)

выражение (5.94) упрощается:

Р,-=Рсо — (Роо — Р0) (1 — ak/РооУ.

После тождественного преобразования

3j = — In (1 — ak/Poo)

получим трехпараметрическую экспоненциальную модель: Р4=Рсо-(Роо-Р0)е-эХ

Так как обычно ak/Pc0<g;I, то выражение (5.98) можно приближен­но представить в виде

а ..

— — **

Я,»Я»-(Я«-Яо)е °° • * (5.99)

Однако даже при условии (5.95) модель реализации (5.96) не совпадает с моделью математического ожидания (5.74). Выраже­ние (5.74) связывает достигнутую надежность с номером испыта­ния /, а модель (5.96)—с номером доработки. Поскольку в про­цессе испытаний изделий, как правило, темп введения доработок неравномерный, то выражение (5.96) относительно аргумента / является довольно сложной функцией, которую в общем случае можно аппроксимировать гладкой кривой с (v—1)-м перегибом, где v — число доработок в п испытаниях (см. рис. 5.7). Модель (5.96) отражает задержки изменения надежности, когда в течение нескольких испытаний не удается установить причину отказов, а также увеличение частоты доработок в начале и их уменьшение в конце отработки.

Предположим, что при проведении п испытаний v известных доработок проводилось равномерно, т. е. число испытаний между двумя соседними доработками постоянно и равно отношению n/v, которое в реальных условиях может получиться и дробным. В этом случае номер доработки і связан с номером испытания формулой

i—vjin. (5.100)

Такая линейная зависимость i(j) позволяет свести модель (5.98) к выражению

Я;.=Я«,-(Ятс-Я0)е-э^/я, (5.101)

которое при 9iv/n=na/Poo совпадает с формулой (5.76). Если счи­тать, что в соответствии с (5.97) Эу та ak/Pco, то

v ak j

Pj~Poo—(Яво — Я0)е " Р°°. (5.102)

Совпадения моделей (5.76) и (5.102) при vka/n=a в условиях (5.95), (5.100) следовало ожидать, так как допущение о равномер­ном темпе внесения доработок отвечает схеме, представленной

табл. 5.3 и положенной в основу модели (5.76), в которой предпо­

лагают, что доработки проводят после каждого испытания с посто­янной вероятностью я. Кроме того, при допущении (5.95) с точ­ностью до обозначений совпадают операторы преобразования на­дежности этих моделей. Таким образом, частота устранения причин отказов доработками, определяемая отношением v/n, является ана­логом вероятности я. Естественно, что этот факт может быть ис­пользован для определения величины я при прогнозировании на­дежности.

Чтобы перейти к определению параметров, входящих в те или иные формулы, нёобходимо предварительно исследовать статиста-

ческуго зависимость результатов испытаний в процессах, описывае­мых этими моделями. Дело заключается в том, что статистическая независимость результатов испытаний в рассматриваемых задачах совершенно не очевидна, так как внесение доработок изменяет вероятность успеха в последующих экспериментах. В первую оче­редь интересует зависимость между двумя случайными событиями: исходами двух произвольных испытаний.

Все результаты п испытаний могут быть разбиты на (v+1) группу (i=0, 1, 2, …, v), внутри которых условия испытаний не из­меняются, так как не проводят доработку. Исход испытаний /-й группы определяют вероятностью Рг. Если в группе число испыта­ний больше одного, то результаты этих испытаний между собой статистически независимы, однако независимость результатов испы­таний, входящих в разные группы, требует доказательств.

Рассмотрим два события: /-е и (j + k)-e испытания, проведенные соответственно после і-й и (і+г)-й доработок. Вероятность успеха в j-м испытании равна Р,-, в (/’+/г)-м—Pi+r. По определению, ре­зультаты испытаний независимы, если вероятность Рг+Т не зависит от исхода (успеха или отказа) /-го испытания. Введем случайные величины X и У, отражающие исходы /’-го и (j+k)-ro испытаний. Они могут-принимать значения: 0 (отказ) или 1 (успех). Корреля­ционный момент дискретных случайных величин X и У

m )psl,

S І

где mx, tny — математические ожидания случайных величин X и У; xs, Уі — значения, которые могут принимать эти случайные величи­ны; /з8І=вер (X=xs; Y=yi) —вероятности того, что система (X, У) примет значение (xs, г/г) •

Поскольку здесь mK=Pi и tnv=Pi+T, a s, 1=1, 2, то корреля­ционный момент

К = {х! Р;) (г/i Рг+г) Рп~~{х2 — Р/) (гд —Рг+Г) Р2і“Ь

+ (■*! — Pi) ІУ2 — Pi+r) Pl2 — (■*2 — Рг) [у2 —Pi+r) Р22- (5- ЮЗ)

Для определенности ПОЛОЖИМ Хі = г/і=0; Х2 = У2=1, тогда вероят­ности Psi принимают следующие значения:

А1=вер(*=0; К=0)=(1~р.)(1_р.+г|Л.].); рп=вер (26 = 1; Y = 0) = Pf (1 — р.+г |л-2р; Рі2=вер(^-=0; К=1) = (1-р.)р.+г(х^; (5.Ю4)

рп= вер(Х=1; K=I)==p|p/+r|^i

где Pl+rxlj=Pj+kx^j и Pi+гx.)j— Pj+kU2. — условные вероятности

успеха в (j+k)-м испытании после (гЧ-г)-й доработки, если в /-м испытании был отказ или успех.

Подставляя выражения (5.104) в зависимость (5.103), при х = = г/і=0 и Х2=у2= 1 после преобразований получим

К~Р‘( 1 Pi) (Pi+r x2j Pi+r U’iy) =

=Pj(l-Pj) (Pj+kX2].-Pj+k, J, (5.105)

коэффициент корреляции случайных величин X и Y имеет вид

Р =K!1TdJ, (5.106)

где Dx, Dv — дисперсии этих величин.

По определению,

^=2 xlps-т= 0 (1 — Я,) + 1 -/>,- -■/>?= Я, (1 — Pi), (5.107)

S^l

аналогично,

Dy=Pi+T{-Pi+rt (5.108)

Подставляя выражения (5.105), (5.107) и (5.108) в (5.106), по­лучим

р=(Л+, u2/- Pi+r Uiy) V Л(1-Л)/[Л+г(1-Л+г)]=

= (Pj+kх2-Pj+nUJ VPj^-PjV[Pj+^~Pj+k)]- (5.109)

Используем выражение (5.109) для анализа статистической за­висимости результатов испытаний в ряде частных случаев изме­нения надежности. Пусть доработки безусловно следуют только после отказов лі=0, пц=1, модель (5.68). В этом случае все резуль­таты испытаний статистически зависимы. Для двух соседних испы­таний (г = 1) условные вероятности, входящие в выражение (5.109), принимают следующий вид:

Рi+r Ujy=0— Рі+і, (5.110)

так как в /’-м испытании был отказ и проведена доработка, повы­сившая надежность изделия с Рі до Рі+ь

Из выражения (5.112) видно, что коэффициент корреляции меж­ду результатами испытаний в таком процессе, где надежность рас­тет (АРг+1>0), отрицателен. Это означает, что получение отказа в /-м испытании повышает вероятность успеха в последующих. На ве­личине коэффициента корреляции сказывается также достигнутый

уровень надежности и отдаленность одного испытания от другого. Если в ходе испытаний доработки проводятся только после успеш­ных исходов, то на основании аналогичных рассуждений для коэф­фициента корреляции результатов испытаний можно получить за­висимость вида

р = Л Pl+1 Yp, (1 — Pi)/[Pi+1 (1 — />!„)], (5.113)

т. е. в этом случае по сравнению с выражением (5.112) изменяется только знак.

В соответствии с принятым в моделях (5.68) и (5.74) оператором изменения надежности имеем

Д Pl+ =a{-Pi)-bPi. (5.114)

Подставляя в (5.112) или (5.113) выражение (5.114), получим Р= + [а(1— Р,)- ЬРДХ

Влияние достигнутого уровня надежности Pi и эффективности доработок (коэффициента а) при 0 на статистическую зависи­мость результатов испытаний иллюстрируется рис. 5.8 и 5.9. Из графиков видно, что с увеличением надежности и уменьшением эффективности доработок эта зависимость ослабевает. Заметим

также, что для результатов двух соседних испытаний коэффициент корреляции сравнительно мал, а при а—О (отсутствует изменение надежности) результаты испытаний, естественно, некоррелированы. Если доработки следуют после каждого испытания, то вероятность ‘ успеха в любом сечении процесса зависит лишь от номера испыта­ния, а не от предыдущих исходов. В этом случае условные вероят­ности Pj+kx2j и Pj+hxip входящие в выражение (5.109), равны

и р = 0. Рассмотрим случай, когда проведение доработки равновероят­но как после успеха, так и после отказа [модель (5.74), табл. 5.3]. При этом условные вероятности Pj+hxj и Pj+hxt] также равны, т. е. и в этом случае отсутствует корреляция между результатами испытаний, хотя они могут быть и зависимыми. Для модели реализации процесса (5.94) в общем случае вероят­ность успеха в (/+£)-м испытании не зависит от результата /-го ИСПЫТаНИЯ. ДеЙСТВИТеЛЬНО, Изменение Вер*5ятНОСТИ ОТ Pj ДО Pj+k происходит из-за внесения доработок, а они возможны как после успешных испытаний, так и после отказов. Причем факты внесения доработок не связываются с исходами испытаний, а являются досто­верными событиями, что предопределяет их статистическую незави­симость. В ЭТОМ случае вероятности Pj+kx2j И Р]+кх^} являются безусловными и равными между собой, т. е. в соответствии с выра­жением (5.109) имеем

р=0, что подтверждает выполнение необходимо­го условия независимости результатов испытаний.

Перейдем, далее, к ста­тистическому определе­нию параметров модели

(5.94) . Для решения этой задачи можно использо­вать метод максимума правдоподобия и те прие­мы, которые были приве­дены в § 5.2, так как при их выводе предполагалась статистическая незави­симость наблюдений. Там рассматривалась такая же задача в об­щем виде применительно к произвольной функции изменения на­дежности, зависящей от постоянных as и аргумента / [см. (5.2)]. Применительно к модели (5.94) имеем три неизвестных параметра: а, Р0, Рос. В соответствии с принятыми при выводе модели обозна­чениями функция правдоподобия (5.4) принимает вид

где щ— число испытаний между і-й и (і+1)-й доработками; ті — число отказов в Пі испытаниях.

Подставляя выражение (5.94) в (5.116), получим искомую функ­цию правдоподобия, зависящую от параметров модели:

Переходя к логарифмической отрицательной функции правдопо­добия, минимум которой совпадает с максимумом выражения (5.117), и сокращая ее на постоянный множитель, получим

і=-2І^1п[1-я~+(Ясо-я0)П(і-р^^

+ («/ — Я) In [ Ясс — (Яю — Я0) Щ1 — — XL k І. (5.118)

L *=,04 °°

Уравнение (5.118) включает в себя известные опытные данные Пі, ти ki и Неизвестные параметры а, Р0, Рос. Оценками максималь­ного правдоподобия а, Р0, Рос этих параметров будут такие значения а, Р0, Рос, при которых функция (5.118) обращается в минимум. Для решения этой задачи могут быть использованы стандартные программы определения минимума нелинейной функции. Посколь­ку функция (5.118) нелинейна, то имеет смысл убедиться, что она имеет только один минимум. Для этого нужно показать, что функ­ция— 1пР выпуклая и задана на выпуклом множестве. По логике модели имеем:

0<а< 1; 0<Яо<1; О < Ято < 1.

Из этого следует, что функция (5.118) задана на выпуклом мно­жестве. Для дважды дифференцируемой функции необходимым и достаточным условием выпуклости является положительная полу — определенность матрицы вторых производных [28, 59], т. е. в на­шем случае матрицы

A = V2 [ —In £(П, X)],

значений щ, ти kt.

Функция (5.118) является дважды дифференцируемой, в чем можно непосредственно убедиться, взяв производные по парамет­рам. Для положительной полуопределенности матрицы А необходи­мо доказать, что ее квадратичная форма неотрицательна. По опре­делению, квадратичная форма с учетом введенных обозначений может быть представлена зависимостью [18]

Q=nTAn,

где Пт-—транспонированная матрица параметров П. Раскроем выражение (5.121):

In L

В области (5.119) задания параметров а, Ро, Рсо, как показыва­ют расчеты, частные производные, входящие в (5.123), являются от­рицательными, что подтверждает положительность квадратичной формы, а следовательно, и выпуклость функции (5.118). Таким об­разом, функция (5.118) имеет единственный минимум в точке

У[-1п1(П, ЛГ)]=0,

являющейся решением системы уравнений правдоподобия: a in z. q. a in l _q. a in l q

да ~ ’ дР0 ~ ’ дР№ ~ ‘

Рассмотрим функцию правдоподобия (5.118) для ряда частных случаев. Так, при Роо= 1

V і

— lnZ,= — т In(1 — Р0) — 2 In(1 — aki) —

i = 0 i = 0

1-(1-Р0)П (1-а*,)], (5. <=о J

^ VI ^

где m=2j mt.

i= 0

Если Роо= • и все ^ = ^=const, то

V V

— In L — — т In (1 — PQ) — In (1 — ak) 2 itn-t — 2 (fit — tni) X

«=0 i=t>

X ln[l —(1 — /-*0)(1 —ak)l. (5.127)

Если доработки проводились после каждого испытания (v=п, П{= 1) И Роо= 1, ki — k, то

— lnZ,= — т In(1 — Р0) — In(1 — ak) 2 jm~

— 2 In [ 1 — (1 — Pq) (1 — ak)in~m], (5.128)

1n—m 1

где jm — номер испытания, в котором был отказ; /п-т — номер ус­пешного испытания. • ,

Если доработки проводились лишь после отказов (v—m, /Пі=1) И Роо= 1, ki = k, то

— In L=—m In(1 — Р0)—"Цт + ) in(l—ak)—

m

-2 (я4—1)1п[1-(1-Р0)(1-^)‘-], (5.129)

1=1

m

так как 2 1)/2.

i=i

Наконец, в том случае, когда доработки были только после, ус­пешных испытаний (v—n—m, Пі—Ші— 1) и Роо=1, имеем

п—т

— hiL=—mn(~P0)—ln(l—ak) 2 —

і-о

п—т

— 2 In {1 _ (1 — Я0) (1 — ak)1]. (5.130)

i = 0

Однрвременно с определением оценок а, Ро, Рос по матрице вто­рых частных производных логарифмической функции правдоподо­бия, обозначенной в формулах (5.8), (5.120), (5.121) через А, мож­
но найти ковариационную матрицу В (5.9), (5.10) этих оценок. В рассматриваемом случае она имеет вид

3«°Р„РаР0

В соответствии с (5.14) оценку Pj функции надежности примени­тельно к модели (5.94) можно — найти в форме

і

где С (у) — П (1 —akj/P^); E(j)=2 IV(1 — aki/P«>)] (^о = 0);

t=о

/ — число доработок, проведенных до /-го испытания.

Заметим, что применение (5.17) и (5.133) для нахождения дис­персии оценки нелинейной функции (5.94) дает приближенный ре­зультат, вызванный ее линеаризацией. Однако, как показывают

Величина Oj изменяется от значения аРо, т. е. от среднего квад­ратического отклонения оценки Ро, заметно уменьшаясь с ростом номера испытаний. Некоторое возрастание о3- в последних сечениях вызвано лишь структурой функции (5.94), проявляющейся в значе­ниях частных производных. Из формул (5.133) и (5.134) следует, что при /=1 (г’=0) величина aj=°p0■ Действительно, при i=0, по определению, ko=0. Следовательно, С(/ = 1) = 1 и £(;’ = 1)=0, поэтому

(dPj/da)j=i=(dPj/dPco)j=i—0 и (dPj/dP0)j-i=l.

При ЭТИХ условиях непосредственно ИЗ (5.11) получим а} = ар0.

Найденные в результате минимизации функции (5.118) оценки о, Ро, Роо имеют закон распределения, близкий к нормальному, строго говоря, асимптотически нормальный при п-*-оо, так как это оценки максимального правдоподобия. Известно, что уже при 10-^20 асимптотические свойства оценок максимального прав­доподобия проявляются достаточно хорошо. Если пренебрегать не­линейностью функции (5.132), то и оценку надежности Pj можно считать оценкой максимального правдоподобия. Таким образом, в практических расчетах, полагая закон распределения Pj нормаль­ным, можно построить доверительный интервал (5.232) или (5.233) (см. § 5.6) для оценки Pj в каждом сечении процесса, считая

Pj=P со средним квадратическим отклонением о,-=стР. На рис. 5.11 в качестве примера показаны графики оценки Р, (сплошная линия) и ее доверительных пределов (пунктирные линии), найденные с уче­том значений Од соответствующих графику, изображенному на рис. 5.10, при коэффициенте доверия у=0,95. В том случае, когда оценка Pj близка к единице, следует ограничиваться односторонним ниж­ним пределом, так как закон распределения оценки становится су­щественно несимметричным (по физическим соображениям величи-

Рис. 5.11. Графики оценки функции надежности и ее до­верительных пределов

на Р,^1). Следовательно, в этом случае закон распределения оценки Pj приближенно можно рассматривать как усеченный нор­мальный.

С увеличением объема выборки п оценки а, Р0, Рос становятся точнее, уменьшаются их дисперсии, входящие в ковариационную матрицу (5.131), и величины а3- во всех сечениях j. Другими слова­ми, функция a j, полученная по большей выборке, как бы распола­гается эквидистантно ниже этой же функции, но полученной по меньшему числу испытаний. Для фиксированного сечения процесса с ростом выборки (числа испытаний п) монотонно убывает диспер­сия о,2 оценки Pj. На рис. 5.12 показан характер этой зависимости, значения Gj вычислены в сечении, где Р3«0,5, для шести процес­сов, отличающихся параметрами а, Р0, Рос. Разбросы точек вызваны различием параметров процессов, а также тем, что вычисляемые для них ковариационные матрицы типа (5.131), строго говоря, со­держат не истинные значения дисперсий и корреляционных момен­тов, а их оценки. Изменение функции а3(п) с ростом п, как и для всякой статистической оценки, пропорционально п’л. На рис. 5.12 для сравнения приведен график зависимости аДп) =0,45Д п.

Изложенный выше материал позволяет перейти к сравнению точ­ности различных моделей. Для решения этой задачи перечислим прежде всего основные источники погрешностей определения Функ-, ций роста надежности изделий, возникающие при прогнозировании и оценивании хода отработки. Первая группа причин, приводящих к ошибкам, заключается в том, что та или иная схема процесса, ис­пользуемая для получения конечной формулы, не полностью соот­ветствует реальным условиям от­работки ЛА. Такие погрешности можно назвать методическими. Статистический подход, заклкк чающийся в интуитивном выборе формулы, которой можно аппрок­симировать опытные данные, не дает возможности учесть методи­ческие ошибки. Методические ошибки логико-вероятностных мо­делей складываются из двух со­ставляющих: погрешностей, вы­

званных неточностью, неполнотой принятого механизма (логики) внесения ^оработок и неточностей операторов изменения надежности (формул для определения вели­чин APj).

Другая группа причин, приводящих к погрешностям, связана с неточностью определения параметров, входящих в те или иные мо­дели. Эти ошибки можно назвать статистическими. Если решают за­дачу определения надежности по результатам уже состоявшихся испытаний, то погрешности связаны с ограниченностью выборки, по которой находят оценки параметров, а также с принятым статисти­ческим методом оценивания и числом неизвестных параметров. Тут имеется явная связь между методическими и статистическими ошиб­ками. Действительно, увеличение числа параметров, входящих в модель, чаще всего уменьшает методические погрешности. Так, на­пример, модель (5.64) содержит семь неизвестных параметров и полнее описывает механизм внесения доработок (если он нам не­известен), чем модель (5.74), зависящая от трех параметров. Одна­ко точность определения оценок функции надежности, как и в дру­гих статистических задачах такого типа, обратно пропорциональна разности числа испытаний и числа оцениваемых параметров. Следу­ет заметить, что с ростом числа испытаний, по результатам которых определяют оценки параметров модели, эта связь ослабевает. При больших п следует отдать предпочтение более точной, хотя и более сложной, модели.

При прогнозировании роста надежности того или иного изделия в качестве исходных данных могут быть использованы значения па­раметров, полученные по результатам испытаний аналогичных об­разцов, почерпнутые из документации и других источников. В каж­дом конкретном случае можно с большей или меньшей достовер —

ностыо судить о предполагаемых отклонениях ожидаемых истинных значений параметров процесса от принимаемых оценок. Кроме то­го, при прогнозировании процесса следует учитывать, что наши предположения относятся к математическому ожиданию, а в дейст­вительности отработка приведет к осуществлению какой-либо реали­зации. Выше мы исследовали характер изменения дисперсии про­цесса (см. рис. 5.6), которая определяет величины возможных от­клонений реализаций от прогнозируемого математического ожидания.

Из сказанного следует, что при статистическом оценивании функции роста надежности по результатам испытаний общая по­грешность (дисперсия) в /’-м сечении

А (У) ~ gUm + gDm + g¥), (5.135)

где Dm —дисперсия, характеризующая неточность принятого в модели реализации процесса механизма внесения доработок; Dm. — дисперсия, вызываемая неточностью принятого в модели реализа­ции процесса оператора изменения надежности при доработке; а,2 — определяемая по формуле (5.133) дисперсия статистической оценки функции надежности в сечении /; gi— веса соответствую­щих ошибок.

При прогнозировании процесса изменения надежности общая погрешность (дисперсия) в /-м сечении

А (у.) ^ qD’m+qD’m+q^+Qy [Pj], (5.136)

где D’m — дисперсия, характеризующая неточность принятого в модели математического ожидания механизма внесения доработок; D’m —дисперсия, характеризующая неточность принятого в моде­ли математического ожидания оператора изменения надежности за счет доработки; а}2 —дисперсия определения математического ожидания процесса из-за неточности знания параметров модели; о2 [Pj] — дисперсия процесса, характеризующая возможные разбро­сы реализации от математического ожидания; qi — веса соответ­ствующих ошибок.

Попытаемся хотя бы качественно сравнить погрешности А(/) и D2(j), полагая что веса gi и qi соответственно равны. При выводе модели реализации указывалось, что после проведения испытаний имеется достоверная информация о моментах внесения доработок, которая и учитывается в выражении (5.94). Поэтому можно счи­тать, что первая составляющая методической ошибки в формуле

(5.135) отсутствует. Для моделей математического ожидания нельзя считать, что принятый механизм внесения доработок достоверен, поэтому

Au=0; Dmi>0. (5.137)

практически используемых в моделях математического ожида­ния, то

^М2^>^М2> (5.138)

так как в операторе модели реализации на основе достоверной ин­формации о количестве устраняемых причин отказов учитывают переменность коэффициентов, характеризующих эффективность доработок.

Аналогично, имеем

(5.139)

так как величина о/ включает в себя не только ошибки статисти­ческого оценивания параметров модели реализации по данным об­разца-аналога, т. е. величину Gj, но и погрешности определения других параметров, входящих в модели математических ожиданий. Так, например, для использования модели (5.64) необходимо кроме величины Р0 оценить пять параметров, каким-то образом трансфор­мируя оценки й, Рсо для образца-аналога на величины аи а2> щ, а2. Следует заметить, что главная ошибка при определении парамет­ров моделей математического ожидания возникает при выборе об­разца-аналога, а также при прогнозировании механизма отработки нового изделия, что соответствует выбору той или иной модели.

С учетом соотношений (5.135)-т-(5.139) ясно, что прогнозирова­ние, как и следовало ожидать, ведется всегда менее точно, чем ста­тистическое оценивание реализации по результатам проведенных испытаний. Отсюда можно сделать практический вывод: имея опыт­ные данные по отработке конкретного образца, нецелесообразно использовать модели математического ожидания для определения роста его надежности. Действительно, если для нахождения стати­стических оценок параметров вместо модели (5.94) использовать формулы (5.64), (5.68), (5.74) или какие-то другие и по ним опре­делить оценку функции надежности, то это приведет к существен­ным дополнительным ошибкам, так как увеличатся методические и статистические погрешности.

Таким образом, нецелесообразно пользоваться формулами для оценок максимального правдоподобия или для оценок, получаемых другими статистическими методами, в моделях математического ожидания. Такие оценки имеют смысл только применительно к мо­делям реализаций, а при прогнозировании роста надежности воз­можные значения параметров и их предполагаемые разбросы опре­деляют в соответствии с опытом, накопленным в ходе отработки других образцов. Более подробно практические рекомендации по использованию моделей роста надежности рассмотрим в § 5.5.