ОБЪЕДИНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИИ ПРИ ОЦЕНИВАНИИ НАДЕЖНОСТИ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

Процесс отработки ЛА или его основных элементов можно разделить на этапы, при которых испытания проводят в различных условиях (рис. 5.1) и при неодинаковых статистических планах. Кроме того, испытания одного этапа также могут быть разнородны­ми (например конструкторско-доводочные, в ходе которых надеж­ность изделий изменяется, и зачетные, при которых надежность остается неизменной). Для более эффективной оценки достигнутой надежности учитывают опытную информацию, относящуюся к пред­шествующему этапу отработки или группе испытаний. При этом возникают две важные практические задачи: проверка соответствия двух или нескольких групп опытных данных (выборок) одному и тому же истинному значению надежности; расчет объединенных ста­тистических оценок надежности по всей опытной информации, от­ражающей одну и ту же надежность изделия.

В связи с этим целесообразно объединять только результаты испытаний однотипных изделий в одинаковых условиях, но при раз­личных статистических планах, так как смена условий или объек­тов отработки, как правило, приводит к существенному изменению надежности (см. рис. 5.1 и 5.16).

Для того чтобы решить вопрос о возможности объединения тех или иных опытных данных, можно известными статистическими ме­тодами проверить гипотезу о совпадении средних значений надежно­сти, при которых получены выборки. Рассмотрим практические прие­мы решения этой задачи. Пусть по первой группе пі независимых испытаний получена оценка надежности Рі и дисперсия этой оценки 012, а ПО второй группе — соответственно п2, Р2, 022- Допустим, что обе выборки независимы, а величины Р, P<z— оценки математиче­ских ожиданий Рі, Р2 нормально распределенных величин с одина­ковой дисперсией 02. В этих условиях можно проверить нулевую гипотезу

P1=P2 = P, (5.231)

т. е. предположение о том, что оценки Рі и Р2 отражают одну и ту же неизвестную надежность Р.

При сделанных допущениях величина (Pj—Р2) имеет нормаль­ное распределение со средним квадратическим отклонением

0i,2=V 0і/я1+°|/«2» (5.240)

поэтому нетрудно по аналогии с (5.175) найти доверительный ин­тервал с коэффициентом доверия у:

{Рг — Р2)~ «(і+і)/2’Зі,?<(Р1 — я2)< (Pt —/^г) + «(1Ч-Т)/2°1,2- (5.241)

Если (5.241) включает точку 0, то гипотеза (5.239) не противо­речит опытным данным. При проверке статистических гипотез обыч­но величину (1-у) называют уровнем значимости, или вероятно­стью ошибки первого рода (вероятностью отвергнуть нулевую ги­потезу, когда она справедлива). Заметим, что уменьшение уровня значимости (увеличение у) облегчает принятие нулевой гипотезы, так как доверительный интервал становится шире. В практических задачах обычно принимают 1—у=0,1. Если при проверке

(Р — 7j2)+m(h-t)/20i,2 < 0, (5.242)

то принимаем Р<Рг, если <*•

(Р1 — Р2)— Ц(і+т)/2аі,2^*0. (5.243)

имеем Pi>P2.

Допущения, принятые при постановке задачи, могут быть не­сколько смягчены. Так, если при прежних условиях известны

не истинные значения <ц, a2l а только их оценки «ц, то до­верительный интервал может быть построен с помощью распреде­ления Стьюдента по аналогии с формулой (5.180):

{Pi— Р2) — 2< {Р—Рг)^!^31 — Ръ)—1-(.ка1,£, (5.244)

31,2=1^ (Л-|-2)(/г1о1-(- n2°2)l{knln2), (5.245)

где k — ih + n2—2 — число степеней свободы распределения Стью­дента; 7,,* —квантиль распределения Стьюдента с k степенями свободы, определяемая по табл. 7 приложения. —

Условия проверки нулевой гипотезы и принятие решений (5.242) или (5.243) остаются и в этом случае прежними.

Рассмотренная задача, к сожалению, не всегда достаточно пол­но отражает реальные условия, которые возникают при оценива­нии надежности. Так, остается проблематичной возможность ис­пользования допущения о том, что истинная надежность изделия Р является не постоянной, а случайной нормально распределенной величиной; кроме того, не всегда оценки Р и Р2 имеют нормальное распределение. Если оценка надежности найдена с использовани­ем модели (5.94), то, как было показано выше, ее плотность вероят­ности близка к нормальной или усеченной нормальной. При малом числе испытаний и надежности, близкой к единице, распределение оценки вероятности безотказной работы может быть существенно асимметричным; кроме того, форма распределения зависит и от выбранного статистического плана. Так, например, полученное ра­нее выражение (5.218) для плотности вероятности оценки надеж­ности Р при плане [п, Б, Т] имеет большую положительную асим-

MiilO

На практике часто зачетные испытания проводят по биноми — альному плану, при этом оценка надежности Р (5.186) имеет так — . же биномиальное распределение, которой при большом объеме выборки сходится к нормальному. Это позволяет приближенно при­нимать плотность вероятности биномиальной оценки Р в виде:

Mb—-L-exp [—————- ; (5-246)

]/2ясб. L 2об J

ов=Ур(1-Р)/п. (5.247)

Таким образом, при допустимости замены биномиального рас­пределения нормальным, можно использовать рассмотренную выше процедуру проверки гипотезы о том, что две выборки отражают од­ну и ту же неизвестную надежность, если испытания велись по би­номиальному плану.

Используя результаты. испытаний с доработками и применяя мо­дель (5.94), получаем оценку надежности в конечном сечении Рп и ее дисперсию (Тп2, или, точнее, оценку этой дисперсии. При этом из­вестно общее число проведенных испытаний п, однако оно не может быть непосредственно использовано в процедуре проверки нулевой гипотезы, так как в ходе испытаний изменялась надежность. Ре­зультаты испытаний с доработками можно рассматривать как эк­вивалентные какой-то неизвестной выборке при биномиальном плане и неизвестной в ходе испытаний надежности. В этих услови­ях естественно считать, что совпадают оценки Рп, ап, получаемые при использовании модели (5.94) с соответствующими оценками Рэ, оэ, определяемыми по эквивалентной выборке, т. е. эквива­лентность определяют выражениями:

Рп=Рэ; (5.248)

°л=° э — (5.249)

В соответствии с зависимостями (5.248), (5.249), (5.186) и

(5.187) получим формулу для объема эквивалентной выборки пэ и числа т, э отказов в ней:

пэ~Рп(1 -Рп)1°1; (5.250)

тэ~пэ(1— Р„). (5.251)

Нетрудно заметить, что на основании формул (5.187), (5.156) и условий (5.249), (5.250) можно получить

— (0,7 -4- 0,9) V Рп{ 1 — Р„)Ш= Рп(1 — Рп)Шэ ,

откуда пэ= 0 ■ J0>9)2 п — (1,22,0)п.

Поскольку коэффициент при величине п имеет значительный разброс, то стоит отдать предпочтение более строгой формуле (5.250), в которой используют полученное в результате расчетов конкретное значение а„, а не ориентировочную величину (5.156).

Таким образом, результаты п испытаний с доработками, в ходе которых было т отказов, заменяют п э независимыми испытаниями изделий С неизменной надежностью, при которых произошло ТП в отказов. Как уже говорилось выше, правомочность такой замены не вызывает сомнения при большом объеме выборки.

Отметим, что в работе {20] предлагается процедура проверки гипотезы о совпадении надежности Р и Pi по двум группам испы­таний, проведенных при биномиальном плане. В случае большого числа испытаний и надежности, меньшей 0,9, предлагают использо­вать замену биномиального распределениям частоты отказов /п/п нормальным распределением величины arcsin V min с дисперсией

1 /п. По-видимому, такая замена не совсем удачна, так как приводит к результатам, резко не совпадающим с применением обычного пе­рехода к нормально распределенной величине m/її с дисперсией Р{ — Р)!п. В этой же работе для случая биномиальных планов двух малых выборок и надежности, близкой к единице, дается таб­лица, позволяющая легко проверить гипотезу о совпадении Р и Pi. Однако и эти данные приводят к неожиданным результатам, по-видимому, связанным с рядом допущений, положенных в основу предлагаемой процедуры. ‘Проиллюстрируем примером проверку гипотезы о совпадении истинных значений надежности, отвечающих разным выборкам.

Пример 20. Пусть «1 = 15 зачетных испытаний изделия, в ходе которых надеж­ность не изменялась, проведены по биномиальному плану и в них получено /чі=3 отказа. По результатам КДИ с использованием модели роста в конечном сечеиііи найдена оценка надежности этого же изделия Рп =0,875 и ее среднее квадратическое отклонение ап = 0,0523. Проверить возможность объединения ре­зультатов двух групп испытаний.

Решение. На основании (5.250), обозначая пэ =п2, ои = о2, найдем п2=

= 0,875(1—0,875)/0,05232 ~40. В соответствии с (5.186) и (5.187) имеем 1 =,1— —3/15=0,800;

01= У 0,800(1 —0,800)/15 я 0,103.

Полагая, что оі и о2 известны на основании (5.240)

с1>2 = Y0,103-/15 + 0,0523“/40 = 0,028.

При у=0,9 по табл. 4 приложения находим Мо,95=,1,645 и строим доверитель­ный интервал (5.241)

(0,800 — 0,875) — 1,645 -0,028 < (Я, — Р2) < (0,800 — 0,875) +

+ 1,645-0,028; — 0,121 < (Ях — Я2) < —0,029,

і с нулевую гипотезу отвергаем с 10%-ным уровнем значимости и в соответствии. припилом (5 242) принимаем Р<Р2. Если здесь считать, что истинные значе-

.

л л г

кия о, и 02 неизвестны, а найдены их оценки <4=0,103 и с2=О, О503, то в соот­ветствии с (5.245)

При *v 0,9 и k= 15 1 40—2=53 по табл. 7 приложения находим fo. s; б;<~ 1,675 и строим доверительный интервал (5.244)

(0,800 — 0,875) — 1,675■ 0,0216 < (Ру — Р2) <(0,800 — 0,875) +

+ 1,675-0,0216; —0,111 <(Pi — P2) < —0,039.

Таким образом, и в этом случае имеем Рі<Рг-

Следует заметить, что при использовании распределения Стью — дента дозерительный интерзал станозится уже, так как о12 <а12, хотя М(1н)/2 <^т, й — Из структуры формул (5.240) и (5.245) следует, что только при Пу—щ—п имеем оі, гОо1і2, причем <4,2=

= Ynl{n— l)0lj2.

Если в результате проверки гипотезы (5.239) или в силу каких — либо логических соображений можно считать, что две группы опыт­ных данных получены при одинаковой истинной надежности изде­лия, то возникает необходимость расчета объединенной оценки. В зависимости от видов объединяемой информации можно предло­жить ряд практических приемов получения обобщенной оценки надежности.

Рассмотрим характерный случай, когда после проведения кон­структорско-доводочных испытаний, по данным которых с примене­нием модели (5.94) найдена оценка Рп и ее среднее квадратиче­ское отклонение оп, выполняют заключительную серию в «з зачет­ных испытаний по биномиальному плану, в ходе которых опреде­ляют т3 отказов.

Если число п3 сравнительно невелико, то серию зачетных испы­таний можно рассматривать как дополнительную информацию о числе испытаний и отказов, отражающих последнюю «ступеньку» функции надежности (после v-й доработки, см. рис. 5.7). Действи­тельно, если после v-й доработки было проведено /г« испытаний, в которых наблюдалось т-. отказов, то, добавляя к этому результаты зачетных испытаний (п3, т3), можно получить новую, несколько измененную общую выборку, по которой найти оценки а, Ро, Рто параметров модели (5.94) и новые значения Рп, оп. В этом случае результаты двух групп испытаний объединяют в рамках модели рос­та надежности.

Правомочность такого приема не вызывает сомнения, так как при выводе модели (5.94) предполагалось, что вслед за последней доработкой могут быть испытания, в ходе которых надежность не изменяется. Далее, в силу того что после v-й доработки не вноси­лись изменения в конструкцию и технологию изделия, достигнутая после п и (п+п3) испытаний надежность остается неизменной. По­
этому нет необходимости проверять гипотезу о том, что достигнутая после п испытаний с доработками истинная надежность Рп совпа­дает с той надежностью Р3, которую отражает выборка (п3, т3). Следовательно, возможность объединения результатов конструктор­ско-доводочных и зачетных испытаний зависит от объема п3 послед­ней серии испытаний. Действительно, если величина п„+п3 слиш­ком велика, то исходные данные, при которых применяют модель

(5.94) , станут неоднородными, что может исказить конечные ре­зультаты. Часто в практике отработки ЛА и в ходе зачетных ис­пытаний проводят доработки, что облегчает возможность объеди­нения информации в рамках модели (5.94), так как важно, чтобы после последней доработки было не слишком много испытаний.

Не представляет особого труда установить то допустимое число испытаний в последней серии после v-й доработки, при котором можно всю информацию использовать для определения оценок Рп и оп. Входящие в выборку значения щ (см. табл. 5.5) представ­ляют наблюдения случайной величины числа испытаний между со­седними доработками. Эта случайная величина может принимать дискретные значения 1, 2, 3, … с вероятностями Р(щ), подчиняющи­мися закону

Я(иг)=ае^Р("‘“1), (5.252)

где а=0,454-0,60; р=0,654-0,90.

Заметим, что, по определению вероятности,

S Р(п,)=а 2 е-К"*-1* =1. (5.253)

1 "г1

Известно, что степенной ряд такого вида сходится. Так,

со

2 С**=.-1/(1 —С*) (5.254)

ь=о

при С>0, х<0 или 0<С< 1, х>0 (£=0, 1, 2,…, оо). Вводя обозначение Сх=ехЫа, после преобразований на основании (5.253) и'(5.254) можно получить уравнение, связывающее величины а и р [см. (5.252)] так, чтобы полная вероятность событий была равна единице:

р = — In (1—а) или а=1—е-^. (5.255)

Например, принимая р=0,7 в соответствии с (5.255), необходимо считать а=0,503.

На основании закона распределения (5.252) нетрудно найти до­пустимое значение Пд^Пу+Пз числа испытаний после v-й доработ­ки, которое бы не противоречило с какой-то вероятностью у ранее наблюдавшимся числам т испытаний между соседними доработка­ми. Величина йд будет у-квантилыо распределения (5.252), т. е.

(5.256)

Например, при (3=0,7 и а = 0,503 в соответствии с (5.256) имеем 0,503(1+0,497 + 0,247 + 0,061 + 0,030 + 0,015 + 0,07 + 0,04 + 0,02 + + 0,01) Следовательно, при выбранных величинах а и (3 с дове­рительной вероятностью y = 0,9 имеем пд=3; при y = 0,95 имеем пд^4, при y = 0,99 величина %^7 и при y=0,999 значение ид^9.

Таким образом, в случае, когда последняя серия включает не более 3+10 испытаний, задачу объединения опытных данных сводят к определению оценки функции надежности по обобщенной выбор­ке. Если условие ttv +Пз^Пд не выполняется, то можно с учетом ве­личин Рп и ап, найденных с использованием модели (5.94), по фор­мулам (5.250), (5.251) заменить результаты п испытаний с доработ­ками биномиальной выборкой {пэ, тэ), отвечающей надежности Рп, достигнутой к окончанию КДИ. При этом будем иметь две биномиальные выборки, отражающие одну истинную надежность Рп, по которым обобщенная оценка

Рї=1 —(тэ + т3)/(лэ + «з), (5.257)

а ее среднее квадратическое отклонение

/Д(1 — Ре)/(«э+«3)- (5.258)

По величинам Яц=/гэ + я3 и ms = тэ -]- т3 при заданной? дове­рительной вероятности у. пользуясь номограммами приложения, нетрудно найти и односторонний нижний доверительный предел обобщенной оценки надежности.

Объединение опытной информации, когда надежность близка к единице, планы зачетных испытаний небиномиальные и общее число испытаний невелико, целесообразно проводить с использова­нием теоремы Бейеса. Методы решения таких задач рассмотрены в [51] на стр. 470—476.

В практике опытной отработки ЛА могут быть такие ситуации, когда переход к испытаниям новой модификации изделия в тех же условиях не приводит к падению надежности, как это обычно бы­вает (см. рис. 5.16), однако в дальнейшем вновь проводят доработ­ки, повышающие надежность. В этом случае по окончании КДИ или ЛКИ новой модификации можно, применяя модель (5.94), рас­считать оценку функции надежности для второго этапа. Если оцен­ка начальной надежности на последующем этапе Рог близка к ве­личине Рп, г-1 и при проверке гипотезы Роі — Рп, і-і получен положи­тельный результат, то можно объединить обе выборки, рассмат­ривая переход к новой модификации как очередную доработку, и рассчитать по всем опытным данным обобщенные оценки парамет­ров модели роста надежности.

Контрольные вопросы

1. Вследствие каких причин изменяется надежность ЛА в процессе его соз­дания и эксплуатации?

2. Как изменяется надежность ЛА при переходе к новому этапу его отра­ботки?

3. В чем суть статистического подхода к построению моделей изменения надежности ЛА?

4. Какие математические методы применяют для определения статистиче­ских оценок параметров моделей изменения надежности ЛА и их дисперсий?

Б. Какие аппроксимирующие зависимости используют для описания функции надежности ЛА?

6. В чем заключаются недостатки статистических моделей изменения на­дежности?

7. На каких принципах основано построение логико-вероятностных моделей изменения надежности?

8. Перечислите основные гипотезы о способах внесения доработок, которые используют при построении моделей изменения надежности изделий.

9. Запишите и проанализируйте зависимости, описывающие основные моде­ли математического ожидания процесса роста надежности ЛА.

Ю. Используя модель (5.76), при Яот = 1, /3о=0,2 и а=0,1 постройте график изменения математического ожидания вероятности успешного исхода испытаний в зависимости от номера эксперимента.

41. На основании данных табл. 5.4 и рис. 5.5 проанализируйте влияние па­раметров различных моделей на процесс изменения надежности изделия.

12. Какую исходную информацию используют при построении модели реа­лизации процесса изменения надежности ЛА; чем она отличается от информа­ции, используемой для разработки моделей математического ожидания про­цесса?

13. Запишите и проанализируйте выражение для модели реализации процес­са изменения надежности ЛА; каков вид функции, описываемой моделью?

44. При каких условиях совпадают модели математического ожидания и реализации процесса изменения надежности ЛА?

1,5. Каким методом и по каким формулам определяют статистические оцен­ки параметров модели реализации процесса изменения надежности?

іШ. Как по статистическим оценкам параметров модели найти статистиче­скую оценку функции надежности ЛА и определить точность этой оценки?

17. Почему в различных сечениях процесса неодинакова дисперсия об­еденки функции надежности?

Ш. Как изменяется в одном и том же сечении. процесса дисперсия о. (л) оценки функции надежности в зависимости от объема выборки п>

,1®. В каких практических задачах нужно использовать модели математиче­ского ожидания, а в каких — реализации процесса изменения надежности ЛА?

20. Какие исходные данные необходимы для определения статистической оценки функции надежности ЛА по результатам его испытаний; какие приемы и алгоритмы используют для этого?

21. Как приближенно по результатам испытаний рассчитать дисперсию ста­тистической оценки функции надежности ЛА?

22.Чем отличаются доверительные пределы статистической оценки диспер­сии случайной величины, определенные по одной и той же выборке при извест­ном и неизвестном значениях математического ожидания?

23. Что такое толерантные пределы и как с их помощью найти нижний до­верительный предел оценки вероятности безотказной работы изделия?

24. Зависят ли доверительные пределы оценок параметра К от выбранного статистического плана испытаний изделий?

25. Как проверить принадлежность двух выборок к одной генеральной сово­купности?

26.Укажите практические приемы расчета объединенных статистических оценок по двум выборкам из одной генеральной совокупности.

27. При каких условиях для расчета оценок надежности можно объединить результаты зачетных испытаний и испытаний, в ходе которых проводились до­работки?

Оставьте ответ

Вы можете использовать эти HTML теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>