ЛОГИКО-ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ ПРОЦЕССА РОСТА НАДЕЖНОСТИ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

Для построения моделей могут быть использованы те или иные логические соображения, позволяющие связать вероятно­сти наступления отдельных событий, составляющих процесс. Такие модели принято называть логико-вероятностными.

Простейший пример построения логико-вероятностных моделей приведен в работе [60]. Предполагают, что изделие включает изве­стное число k блоков; вероятность отказа /-го блока равна q,= = 1 — pi, причем каждый блок может иметь лишь одну причину отказа, отказы блоков принимают независимыми и отказ любого из них приводит к отказу изделия; после появления отказа і-го бло­ка его причину устраняют с вероятностью gi. При этих условиях вероятность того, что отказ /-го блока не будет устранен после / испытаний, можно представить в виде

Qi=l-(l-Pi)giY=(l-Qigiy, (5.31)

а вероятность безотказной работы изделия после / испытаний опре­деляется выражением

Pj= П П-<?А) = гі [І-^П-адіУ]. (5.32)

г=і i-i

При gi=g=const и <7i=<7=const на основании (5.32)

P,=[i-Q(i-qgyr-

При qg<g. 1 можно принять

(1 — qgy^e-w. (5.34)

Подставляя выражение (5.34) в (5.33), получим

Принимая qeriBi<С 1, получим

Pjtzz 1 —kqe-4£j. (5.35)

Нетрудно заметить, что (1 — kq) — вероятность успеха в первом испытании (начальная надежность). Обозначив 1—kq=P0 и

qg=Э, в соответствии с выражением (5.35J получим двухпарамет­

рическую экспоненциальную модель, совпадающую с выражением (5.22),

(1 —Яо)е-эЛ (5.36)

На этом простом примере можно сразу же убедиться в преиму­ществе логико-вероятностного подхода к построению модели, так как при его применении четко формулируют допущения, которые можно проанализировать с учетом реальных условий отработки Л А. Так, остаются проблематичными допущения об известном чис­ле блоков* в каждом из которых имеется одна причина отказа, об устранении этой причины с постоянной для всех блоков вероятно­стью только после отказа и сразу же после его наступления и т. д. Однако в такой модели эти допущения сделаны явно, что дает предмет для размышлений и анализа.

Основное допущение, приводящее к модели (5.36), можно сфор­мулировать иначе, рассматривая изделие, имеющее не k блоков, а k причин (источников) отказов. Такие модели использовались в ря­де работ, однако, как и в первом варианте, трудно найти условия, при которых заранее известны причины отказа. Использование та­кой модели после проявления всех источников отказов, т. е. после отработки изделия, нецелесообразно (см. § 5.4).

Построение модели (5.36) было проведено в общем-то эвристи­чески, т. е. на основе ряда догадок или предположений получена окончательная зависимость, которую затем предлагают, так же как и статистические модели, апробировать опытными данными. Одна­ко для разработки логико-вероятностных моделей можно использо­вать определенную теоретическую базу.

В последние пятнадцать лет сформировалась теория стохасти­ческих моделей обучаемости, позволяющая количественно оцени­вать результаты обучения в принципе любых биологических объек­тов, включая и человека, при тех или иных воздействиях среды и экспериментатора.

Идеи н математический аппарат теории стохастических моделей об;.’ :■, к плодотворными для решения задачи моде­
лирования процесса изменения надежности сложных технических устройств, в том числе ЛА. В теории обучаемости часто возникает задача количественной оценки закрепления какой-либо реакции животного при многократном повторении опытов, в ходе которых желаемое поведение стимулируется. Так, например, группу крыс пускают по Т-образному лабиринту, из которого можно выйти на­лево и направо. Если в левой ветви лабиринта животные полу­чают корм, то постепенно, от опыта к опыту, все большее число крыс будет выбирать левое направление. Возникает задача отыска­ния аналитических зависимостей, которые бы характеризовали обу­чаемость, например возрастание вероятности поворота животным в лабиринте налево.

В формализованном виде такой процесс обучения весьма напо­минает ход испытаний ЛА, который за счет доработок как бы — «учится» высокой надежности. В основополагающей работе [10] дано несколько характерных схем процесса обучения; некоторые из них пригодны для решения нашей задачи. Рассмотрим их подроб­нее, попутно трансформируя термины и обозначения так, чтобы они отвечали условиям опытной обработки ЛА. Начнем с того, что сформулируем некоторые, на первый взгляд, очевидные свойства случайного процесса изменения надежности ЛА в ходе испытаний.

1. Установление предполагаемых причин отказов и их устране­ние доработкой в принципе возможно как после успешного испыта­ния, так и после отказа.

2. Надежность изделия может изменяться только за счет дора­боток, причем каждая доработка увеличивает, уменьшает или оставляет неизменной надежность, так как причины отказов и ме­ры их устранения устанавливаются недостоверно.

В доказательство справедливости первого свойства заметим, что большой объем опытной информации позволяет зафиксировать ряд отклонений в работе изделия, хотя формально отказ и не про­изошел. Кроме того, не всегда целесообразно или возможно про­водить доработку сразу же после испытания, закончившегося от­казом (например, очередной образец уже поступил на стенд, под­готовлен к эксперименту и его доработка невозможна).

Процесс отработки является рекуррентным, поэтому имеет смысл выделить из него произвольное /-е звено, включающее в се­бя исход испытания (успех или отказ), следствие (проведение или отсутствие доработки). Такое деление можно рассматривать как логическую основу процесса. Указанным событиям соответствуют определенные вероятности: Р, — успеха в /-м испытании; лі — про­ведения доработки после успеха; зг2 — проведения доработки после отказа. После любого испытания могут быть два несовместных следствия: проведение или отсутствие доработки, поэтому вероят­ность отсутствия доработки после успеха равна (1— ли), а после отказа—(1—зх2)- Соответственно и приращения надежности за счет доработок после успеха &Рц или после отказа A/V; в общем случае неодинаковы. Схема рассмотренного процесса представле­на в табл. 5.1.

На рис. 5.2 показана структура вет­вящегося процесса отработки ЛА на j-м шаге.

Рассмотрим подробнее зависимости изменения надежности изделия после доработки, так как именно они во мно­гом определяют окончательный вид модели. В соответствии со вторым свойством процесса

ДРї} ^ 0; ДР2] 0. (5.37)

Наиболее удачными выражениями для приращений надежности являются линейные конструкции, в которых учи­тывают возможность как повышения, так и снижения достигнутой надежно­сти, а также тот факт, что с ростом надежности ее повышение становится более трудным. Эти линейные опера­торы в общем виде можно представить следующим образом:

д Рц=Яу (1 — РІ-Ї)—bXjPj-1; (5.38)

Д Р 2 j== &ij (1 Рj—і) b]Pj—і» (5.39)

где aij, a2j — коэффициенты, характеризующие уменьшение остав­шейся после (/— 1)-го испытания вероятности отказа (1 —Р]-) за счет /-й доработки; Ьц, b2j — коэффициенты, характеризующие сни — жение’достигнутой надежности Р,- за счет j-я доработки.

Таким образом, выражения (5.38) и (5.39) предполагают в об­щем сл_ • і. іе де юі. результата доработки на две части: эффектив-

ную (первые члены) и негативную (вторые члены). Такие модели наглядны, просты и имеют ясное логическое обоснование. В прин­ципе вместо этих выражений можно было бы записать и целый ряд других конструкций. Заметим, что эти линейные зависимости приводят к нелинейному изменению функции Pj, так как по мере увеличения Pj даже при постоянных значениях коэффициентов а^, a2j, Ьij, b2j приращения АР существенно уменьшаются. Из дальней­шего изложения станет ясно, что оперирование и с линейными кон­струкциями (5.38), (5.39) достаточно сложно, поэтому для прак­тически реализуемых моделей нецелесообразно использовать ка­кие-либо нелинейные зависимости.

Поскольку не наложили еще никаких ограничений на коэффи­циенты aij, Oij, bij, b2j, то рассмотренная схема изменения надеж­ности сложного изделия в ходе его испытаний весьма полная. По сути, логика ветвящегося процесса, представленная табл. 5.1 и рис. 5.2, а также выражения (5.38) и (5.39) составляют искомую модель роста надежности, поэтому целесообразно проанализиро­вать ее в общем виде, не внося каких-либо допущений.

В предыдущем параграфе указывалось, что процесс изменения надежности является случайным. Полученная выше модель отра­жает случайный ветвящийся процесс, реализации которого в соот­ветствии с рис. 5.2 можно характеризовать определенными вероят­ностями. Другими словами, в каждом сечении такого процесса су­ществует конечное, хотя, может быть, и очень большое, число точек, в которые может прийти процесс из заданного начального положения. При этом каждой точке отвечает определенная вероят­ность попадания в нее реализации, т. е. для каждого сечения су­ществует распределение вероятностей.

Сейчас имеет смысл вернуться к важному положению, которое было высказано в § 5.2. Речь идет о том, что при отработке ЛА в каждом испытании участвует, как правило, один образец. Это при­водит к тому, что изменение надежности ЛА в ходе отработки от­ражается одной реализацией случайного ветвящегося процесса, которую необходимо описать. В таком случае существенно разли­чают задачи определения модели, отражающей реализацию про­цесса и его математическое ожидание. Если отработка проведена и нужно оценить ее ход, то необходимо использовать модель, кото­рая хорошо отражала бы имевшую место реализацию Pj процесса, а если нужно прогнозировать ход процесса, то удобнее всего ис­пользовать модель его математического ожидания М[Р&

Таким образом, уже общий анализ полученных выше зависимо­стей позволяет найти существенные различия в требованиях к мо­делям, используемых для статистического оценивания и прогнози­рования изменения надежности.

Далее остановимся на разработке моделей, которые могут быть применены для прогнозирования роста надежности, а в следующем параграфе получим модель, описывающую реализацию исследуе­мого процесса.

Рассмотрим подробнее модель, представленную табл, 5.1 и за­

висимостями (5.38), (5.39). Ее определяют начальная надежность Р0, представляющая собой исходную точку процесса, параметры яь яг, а также величины ац, a2j, &ід Ьц. Таким образом, если не сделать каких-либо упрощений, то для описания изменения надеж­ности в ходе п испытаний нужно будет знать (4/г + З) параметра.

При ИСПОЛЬЗОВаНИИ ПОДОбНЫХ МОДелеЙ СЧИТаЮТ, ЧТО ВеЛИЧИНЫ fi;,v °2j, bij, &2з не изменяются в ходе данного процесса. Для условий отработки ЛА это означает, что остается постоянной эффективность устранения причин отказов, определяемая опытом и квалификаци­ей персонала, а также возможностями применяемого оборудования и аппаратуры. Допущение

a1j—(ii, a2j=ci2, bij==b1 b2j—b2 (5.40)

позволяет упростить операторы (5.38) и (5.39):

Д/,у=«1(1 — Р}~i) — W-i=«i — fl — а,) Рнь J ф

Д/32у = й2 ( 1 — Ру—l) b2P1 = &2 (1 Иг) Pj—ь I

гдеа!=1—«j — Ь{, а2=1—а2—Ь2.

у Несмотря на допущение (5.40), приращения надежности зави­сят от номера испытания, так как в них входят значения Pj-. Сле­дует, однако, заметить, что в ходе отработки изделий в начальный период вскрывают, как правило, большее количество причин от­казов, а на заключительном этапе доработки проводятся реже. Этот факт можно было бы учесть при переменности коэффициен­тов ci, cl% b, Ь2 или п, я2, но в этом случае не удается получить явное выражение для математического ожидания процесса.

С учетом операторов изменения надежности (5.41) после ряда громоздких преобразований, которые, к счастью, проделаны в книге [10], можно записать формулу математического ожидания вероят­ности успеха в (/+1)-м испытании

Щрі+і]=02Л-{аі — <h+<h)M[Pj-{- (ах — a2)M*[Pj], (5.42)

где М[Р} — математическое ожидание процесса Pj в сечении /

С1^ —- Jt — ^2^2»

aj=l — яД1 — сц); a2—1—я2(1—а2).

Из выражения (5.42) видно, что имеем дело с рекуррентной не­линейной зависимостью или разностным квадратным уравнением, которое_элементарно не решается. Уравнение можно упростить, приняв ai = a2, т. е. считая, что

яДІ —аі)=я2(1 —а2). ‘ (5.43)

В этом случае разностное уравнение (5.42) становится линей­ным:

Известно, что разностное уравнение вида Xn+l — Pi-^n ~|~(1 Pl)l*l

имеет точное решение:

л„=Рі — (Р!—JCo)Pi, (5.46)

где х0 — начальное значение величины х.

Введя обозначения

Р=а,—а2+а2; (5.47)

р=а2/(1 — а! + а2 —а2); (5.48)

нетрудно привести уравнение (5.44) к виду (5.45):

Ж[Р/+і]=рЩР,.]+(1-р)р. (5.49)

В соответствии с (5.46) решение уравнения (5.49) записывают

следующим образом:

M[P.] = fx-(,x-P0)^ (5.50)

где Ро — начальная надежность, постоянное значение которой со­впадает с ее математическим ожиданием.

Разностное линейное уравнение (5.49) можно свести к при­ближенному дифференциальному уравнению, которое легко решить. Действительно, вычитая из левой и правой частей (5.49) величину М [Pj] и деля обе части на приращение А/= 1, получим

дм [Я,]/ДУ=м [Pf+l] — м [Я,-]= — (1 — Р) М [Яу]+(1 — Р) р. (5.51)

Переходя в (5.51) к пределу при Д/->0, получим искомое диф­ференциальное уравнение dM[P}]ldj+( 1 — Р)А* [/>,] = ( 1 — Р)р, (5.52) имеющее при /=0 начальное условие ^Не­ (5.53) известно, что дифференциальное уравнение у’ {х)-~ау = Ь (5.54) имеет решение у=Ь/а—С1е-ах. (5.55) Для начального условия при х—0 У—Уо (5.56) получим Cj= — (b/a—г/0). (5.57) Подставляя (5.57) в (5.56), найдем решение: Н“(НИ- (5.58)

Дифференциальное уравнение (5.52) и начальное условие (5.53) с точностью до обозначений совпадают с уравнением (5.54) и усло­вием (5.56), поэтому в соответствии с (5.58) искомое решение име­ет вид

М [Я,-] s V — (Р — Р0) e-O-W. (5.59)

Из выражения (5.59) следует, что величина р, является предель­ной надежностью, т. е. р,=Рсо, так как при /->оо получим lim(M[Pj]) =р. С учетом (5.47) и (5.48) можно записать, что

1_-Р=а2/р=а2/Ясо, (5.60)

тогда решение (5.59) принимает вид

-—3

М [Р} ^ Ре—(Рос — Р0) е Р“ . (5.61)

Заметим, что переход от точного решевия (5.50) разностного уравнения (5.44) к решению (5.59) приближенного дифференци­ального уравнения соответствует замене величины |33’ экспонентой ехр(— (1 — {$)/]. Следовательно, приближенное решение обладает достаточной точностью при |3, близких к единице. В задачах рас­чета функций надежности ЛА обычно имеем

0,8 <р< 1, (5.62)

что приводит к ошибке, меньшей 3%, при замене точного решения (5.50) приближенным (5.59).

Таким образом, идея замены разностного уравнения (5.44) диф­ференциальным (5.52) оказалась целесообразной. В связи с этим имеет смысл, не делая сильного допущения (5.43) о равенстве па­раметров си и аг, попытаться преобразовать разностное нелинейное уравнение (5.42) в дифференциальное и решить его.

Вычитая из левой и правой частей уравнения (5.42) величину М[Р}], деля обе части на А/ = 1 и переходя к пределу при А/->-0, получим искомое дифференциальное уравнение:

—(1 — ах—а2— о,2)М [P^]-j-

+(«1 —а2)Ж2[Р.]+а2. (5.63)

Это уравнение при начальном условии (5.53) имеет решение [10]: М [ЯЛ ^ -| ^ Се— , (5.64)

2(0]—а2) 2(0] — а2) 1 — СеР-7

где — а2+а2; р= V{ 1 — Р)2 — 4az(al~а2);

С=[2 (а, — а2) Р()—(1 — Р)—р]/[2 (cij — а2) Р0— (1 ■— Р) — f — р];

Oj= 1 — Л] (I — О]); а2= 1 — я2(1 — а2);

о1 = л1о!: а_ — тх2а2 а^І— ал — Ь{, а2=1—а2 — Ь2.

Таким образом, выражение (5.64) является искомой аналити­ческой, но приближенной моделью процесса, в которую входят семь параметров: Р0, аи а2, Ьи Ь2, ях, зт2 или Р0, Щ, а2, сц, а2, ях, я2. В пре­деле при у—>-00 отношение (1 +CePj)/(l — С’ер5) стремится к едини­це, поэтому предельную надежность, к которой сходится процесс, определяют зависимостью

PcoS(l—Р—p)/[2(aj —а2)]. (5.65)

Заметим, что из формулы (5.64) непосредственно не может быть получено решение (5.61) как частный случай при ai = a2, так как при этом знаменатели (5.64) и (5.65) обращаются в нуль.

Точность решения (5.64) оценить трудно, так как неизвестно строгое решение разностного уравнения (5.42). Приведенные выше рассуждения о малой ошибке, возникающей при замене линейного разностного уравнения (5.44) дифференциальным (5.52) в случае, когда р близко к единице, строго говоря, являются лишь аналогией, а не доказательством.

Механизм процесса внесения доработок, представленный табл. 5.1, естественно, является не единственно возможным, хотя и достаточно общим. Можно рассмотреть и другие условия отработ­ки ЛА, при которых исход испытания полностью, достоверно опре­деляет проведение той или иной доработки. Схема такого процесса может быть представлена в табл. 5.2.

Таблица 5.2

Исходы J-го испытания	Вероятности исходов	Сле. істпия	Вероятности следствий	Вероятности успеха в (/+1)-м испытании
Axj (успех)	Pi	ом (доработка)	Р]	Pj+APu
A2j (отказ)	X-Pj	Phj (доработка)	1 — Pi	Pj+hP%i

Будем полагать, что приращения надежности за счет дорабо­ток, так же как и в предыдущей модели, определяются линейными конструкциями (5.41), т. е.

APiy=a! — (1— aJPj-й ДР 2]=а2 (1 аг) Ру—ь

СЕ| — 1 ci‘ [ b х, а2 — 1 52.

Поскольку тот или иной вид доработки следует достоверно пос­ле определенного исхода испытаний, то вероятности Лі и я2, входя — .щие в (5.42), равны единице, т. е.

„ ^[Ру+і] = а2 + («1-«2-|-а2)Л’Ц/37Н-(аі-а2)Л/2[/57]- і5’67)

Уравнение (5.67) с точностью до обозначений совпадает с (5.42), поэтому, преобразуя его к дифференциальному виду, можно

1С0

2 (at — а2) 2 (аі — а2) і _ С0е?°і

где а2+о2; P0=’V/С1 —Ро)2—— а2);

С0=[2 (Oi — а2) Р0 — (1 — Ро) — РоМ 2 («! — а2) Я0— (1 — Ро) + Pol;

Gj— 1— ах — Ь,; а2=1— а2— Ь2.

Таким образом, модель процесса, при котором доработки досто­верно определяются исходом испытания, содержит пять парамет­ров: Ро, «і, 0.2, Ь,. Ь2 или Р0, аь а2, аь а2. Предельную надежность в этом случае определяют зависимостью, аналогичной (5.65),

Рсо~(1 — Ро Р0)/[2(Gj — а^]. ^ (5.69)

Рассмотрим другие частные случаи процесса отработки ЛА, ко­торые приводят к упрощениям общей модели (5.64). Для начала еще раз вернемся к допущению (5.43), которое было введено фор­мально для исключения нелинейного члена в (5.42). Условие (5.43) выполняется, например, при яі=я2=я; ai=«2=G. Так как «1=1 — «і — и а2=1— а2 —&2, то для выполнения ai = a2 можно счи­тать, что а = а2=а b = b2=b. Таким образом, условие ai = a2 мо­жет быть выполнено при

— ЭХ2 ■’ •" зх»

— CL<1 — CLy

bl = b2=b.

В этом случае доработка, одинаково изменяющая надежность изделия на величину

д Pj=a (1 — Pj-1) — bPj-X=a—{ 1 — a) Pj-, (5.71)

проводится с равной вероятностью я как после успеха, так и после отказа. Модель такого процесса представлена в табл. 5.3.

Таблица 5.3 Исходы ]-го испытания Вероятности ИСХОДОН Следствия Вероятности следствий Вероятности успеха в (У-И)-м испытании ■4)7 (успех) Ouj (доработка) Л Pj Pj+APj Pj 0x2) 0|ет доработки) (1-я )Р, Р) уІ2у(отказ) 1 — Pj 021/ (доработка) я(1-Яу) Pj+APj 022) (НЄТ доработки) • (1 яХ1 Pj) Pj G—1218 1С1

Для рассмотренного процесса математическое ожидание, как было показано выше, точно определяется выражением (5.50):

(5.72)

При условиях (5.70) упрощаются обозначения (5.47) и (5.48):

Р= 1 — я (1 — а)— 1 — п{а-{-Ь) р=/5сс==а/(1 — a)=aj{a—b).

(5.74)

где а—па.

Выражение (5.74) включает четыре параметра: Р0, я, а или Ро, я, а, Ь. Для случая, когда доработки не ухудшают надежность изделия, т. е. при Ь=0, в соответствии с (5.73) предельная надеж­ность равна единице. В этом случае модель (5.74) содержит три параметра Р0, а, я и имеет вид

і — (і—я0)(і — «у.

Нетрудно заметить, что величины я и а, в силу того что в фор­мулах (5.74) и (5.75) они представлены произведением, можно рас­сматривать как один параметр. Приближенное выражение для ма­тематического ожидания, найденное решением дифференциального уравнения, в соответствии с (5.61) имеет вид

и при Рсо= 1 (&=0)

M[Pj^ 1-(1-Я0)е-«Л

Таким образом, для случая, когда доработки, одинаково изме­няющие надежность изделия, следуют с равной вероятностью после любого исхода испытания, имеем двух — или трехпараметрические модели изменения математического ожидания, описываемые точны­ми выражениями (5.74), (5.75) или приближенными, но тоже до­статочно точными при малых значениях параметра а формулами (5.76), (5.77).

Выше говорили о том, что точность модели (5.64) и (5.68) труд­но проверить, так как неизвестно строгое решение уравнения (5.42). Для одного частного случая модели (5.68), когда доработки досто­верно следуют после успешных испытаний и достоверно отсутству­ют после отказов, т. е. при яі=0; яг=0; аі = а; а2=0; аі=а и а2=

=0, удается найти формулы для верхней Мв и нижней Мн границ математического ожидания (10]:

где Рсо=а/{а—Ь).

В соответствии с принятыми условиями, отвечающими такому процессу отработки, модель (5.68) существенно упрощается, так как после преобразований

Л1[Ру1«0,бРвоГ 1 + . (5.80)

L П + (Рто-Ро)е-“^ J

Расчеты показывают, что в данном частном случае модель (5.80) практически совпадает с верхней границей математического ожи­дания (5.78). На рис. 5.3 показаны графики нижней и верхней гра­ниц математического ожида­ния, вычисленные по форму­лам (5.78) и (5.79) при яі = 1,

Яг —0, Роо = 0,98; я=0,1; Ро—0,1 и 0,4. Из рисунка видно, что границы при низкой начальной надежности расходятся сущест­венно, однако общий характер роста надежности достаточно хорошо отражает специфику процесса. Действительно, при малой начальной надежности в первых испытаниях мало успе­хов, что приводит и к малому числу доработок; лишь с увели­чением надежности рост ее ускоряется, так как доработки следуют чаще (кривая имеет перегиб в точке /, где М [Pj]=

= 0,5Роо). Если начальная на­дежность достаточно велика, то участок «вялого» роста надежности до величины 0,5РТО мал.

Для случая, когда доработки проводят только после отказов, т. е. когда jti=0; яг=1; ai=0; а.2=а ai = l; аг=а, можно найти ниж­нюю границу математического ожидания:

1-Го,

—р— а1

-Д, Г-Рс-(Яос-Яо)е 00 <М[/М — (5.81)

О’ 163

Нетрудно заметить, что формулы (5.76), (5.79), (5.81) отлича­ются лишь показателями степени. Так, если доработки равноверо­ятны после любого исхода, то перед множителем aj/Poo стоит вели­чина вероятности доработки л; если доработки следуют достоверно после успеха, то роль этой вероятности играет начальная надеж­ность Р0; наконец, в том случае, когда надежность изменяется до­стоверно только после отказа, появляется величина начальной ве­роятности отказа 1—/V Вероятность я отражает внесение дорабо­ток в ходе всего процесса, а в формулы (5.79), (5.81) входят только начальные вероятности доработок.

На рис. 5.4 приведены гра­фики нижних границ матема­тического ожидания для слу­чая доработок только после успешных испытаний, т. е. при ЗХІ = 1, 3X2 = 0 (сплошные ли­

нии), или только после отка­зов, Т. Є. при Я1=0, Я2=1

(пунктирные). Кривые рассчи­таны при а=0,1; Рсс = 0,98; Ро=0,] 0,4; 0,5. Из рис. 5.4 видно, что в случае малой на­чальной надежности резко рас­тет кривая, отвечающая прове­дению доработок только после отказа. По мере приближения Р0 к величине 0,5 обе кривые меньше расходятся, а при Ро= =0,5 — совпадают, так как частота проведения доработок стано­вится одинаковой. Заметим также, что с увеличением начальной надежности падает конечное значение функции, отвечающей про­ведению доработок только после отказа. Это объясняется тем, что в процессе отработки возникает меньше отказов, которые при при­нятой модели ведут к увеличению надежности.

Аналогией таких процессов является обучение человека на соб­ственных ошибках или на закреплении положительных реакций. Если человек имеет слабые навыки выполнения какой-либо работы и может их приобрести, развить только в результате удачного ее выполнения, то обучение пойдет очень медленно. Если же обуче­ние будет состоять только в анализе сделанных ошибок и развитии на этой основе нужных навыков, то при малых начальных знаниях процесс обучения будет протекать быстрее (при этом предполага­ется одинаковая эффективность обучения за одну удачную или не­удачную попытку).

На рис. 5.5 представлены графики функций надежности, вычис­ленные при условиях, представленных в табл. 5.4.

Из графиков видно, что при малой начальной надежности быст-

рее растут кривые с высоким значением зхг, причем за счет большей величины лі эффективнее идет процесс, описываемый моделью (5.74). При большем значении Ро эти различия сглаживаются, одна­ко на рост надежности преоб­ладающе действует величина м:о,] вероятности ЗГь

Для рассмотренных выше основных моделей роста на­дежности важной характерис­тикой является не только ма­тематическое ожидание, но и дисперсия о2 [Pj определяю­щая рассеяние реализаций Р-3 в сечении j. К сожалению, для рассмотренных моделей не уда­ется получить конечные выра­жения дисперсий через посто­янные параметры. Однако, мо­делируя на ЭЦВМ процессы изменения надежности, можно в каждом сечении j найти зна­чения реализаций Рf п вычис­лить оценку дисперсии:

(5.82)

где I — число моделируемых реализаций процесса; Pjr — значение надежности в сечении j при r-й пробе. ________________________________ _______________ Таблица 5.4. Принцип изменения надежности на величину ЬРГ«-(1-а) Обозначе­ние на рис. 5.5 Значения параметров Формула TZt 7Га а Ро С вероятностью П после успеха и с ве­роятностью я2 после отказа (5.64) Пунктир­ ная 0,3 0,6 0,1 0,98 0,1 и 0,4 С вероятностью я после любого исхода (5.74) Сплош­ ная 0,6 0,6 0,1 0,98 0,1 и 0,4 Достоверно только после успеха (5.80) или (5.78) Штрих- пунктир­ ная 1,0 0 0,1 0,98 0,1 и 0,4

1G5

ше формул. При достаточно большом числе проб можно для конт­роля определять и оценку математического ожидания процесса:

і

ЩР}]=^РІГ. (5.83)

Суть моделирования процесса изменения надежности для кон­кретности можно пояснить на примере модели (5.64) и соответст­вующей ей табл. 5.1, полагая, что приращение надежности в резуль­тате доработки как после успеха, так и после отказа одинаково, т. е.

Ь. Ри=кРц=кР,=а — { — a) Pj^.

По заданной вероятно­сти Р0 моделируют слу­чайный исход испытания (событие А) методом, рас­смотренным в гл. I. Если получен успех, то с веро­ятностью яі, а если был отказ, то с вероятностью яг моделируется событие О (следствие). При полу­чении события Оц или 02і (доработка) надеж­ность увеличивается от значения Р0 на величину АРі = а— (1 — а)Ро — Если получены события С>12 или О22 (нет доработки), то надежность не изменяется. В соответствии с новой вероятностью Рі = Рс+АРі или Р = Р0 цикл повторяется. Если исход испытания определяет факт доработки [см. (5.68)], то цикл упрощается, так как нет необходимости моделировать случай­ное событие О.

Результаты моделирования роста надежности показывают, что процесс сначала расходится от начальной точки Р0, но по мере уве­личения числа испытаний j достаточно быстро стягивается к мате­матическому ожиданию. Это связано с тем, что процесс не может выйти из полосы (Р0, Рсо), а математическое ожидание M[Pj] асим­птотически стремится К Предельной надежности Рос, являющейся граничной точкой, в которую сходятся все реализации. Из сказан­ного выше ясно, что дисперсия процесса существенно зависит от значений Р0 и Рос. Поскольку величина Рх в реальных условиях все­гда близка к единице, что свидетельствует о возможности путем от­работки обеспечить требуемую высокую надежность изделия, то практически существенна зависимость дисперсии от начальной на­дежности. На рис. 5.6 показано характерное изменение среднего квадратического отклонения a[Pj] процесса при различных значе­ниях Р0, полученное для модели (5.77). Из графика видно, что при

/^3= 304-70 разбросы реализаций процесса от математического ожи­дания малы. Это позволяет иногда использовать полученные выше формулы не только как модели математического ожидания, но и в качестве моделей реализации процесса на участках, где число ис­пытаний велико.