ПРИ УПРАВЛЕНИИ ЭЛЕРОНАМИ И СТАБИЛИЗАТОРОМ
Под типом пространственного маневра будем понимать характер изменения фазовых картин движения для всех возможных величин отклонений элеронов при фиксированной комбинации отклонений органов управления самолетом по тангажу, а в общем случае по тангажу и рысканию. В соответствии с этим тип пространственного маневра определяется управлением самолета по тангажу, а конкретная фазовая картина уже зависит от величины отклонения элеронов (величины момента Дт^о).
Функция Дт* (со*, ф) определяет количество особых точек и в большой степени определяет вид движения самолета в их окрестности, в частности, условие его апериодической устойчивости.
В связи с этим функция Ат* (со*, ф) является той характеристикой, которая определяет тип маневра, и в дальнейшем зависимость движения в фазовом пространстве от параметра управления анализируется с использованием этой функции, т. е. для каждого вида такой функции находится зависимость числа и вида особых точек от величины отклонения элеронов и анализируется движение в окрестности полученных особых точек. Рассмотрим возможные виды зависимости Ат* от параметров продольного управления. Вместо величины ф введем эквивалентную ей величину аб:
Из (20.1) следует, что угол аб приближенно равен приращению угла атаки в изолированном продольном движении при отклонении стабилизатора. Величина момента крена Ат*, потребного для балансировки самолета при вращении с угловой скоростью
со*, определяется из уравнения моментов крена при приравнивании производной со* нулю:
Am* = — m**cо* — m£(3CT + С|ш2 стсо^ ст.
В соотношении (20.2) сохранены только основные члены и рассмо-
Как показывают расчеты, слагаемое CpcoZCTco^CT оказывает влияний на характер изменения функции Дтх только в непосредственной окрестности критических угловых скоростей крена, где этот член становится определяющим. При угловых скоростях крена, не очень близких к критическим, его влияние несущественно и при качественных оценках может не учитываться. Благодаря этому обстоятельству задачу исследования зависимости А/тс* (со*) можно разбить на две части: исследование при угловых скоростях крена со*, отличных от критических, и исследование
при значениях со* в непосредственной близости к критическим скоростям крена.
Положим в соотношении (20.2) произведение угловых скоростей равным нулю. Такое упрощение позволяет выявить основные закономерности изменения функции Дт*, определяющие управляемое движение самолета.
Начнем анализ со случая, когда qr = 0. Выпишем выражение для рст (соА.) из табл. 9.1 с учетом введенного ранее обозначения для аб (20.1):
(20.3)
Рассмотрим случай, когда А0 имеет нули, равные значениям критических скоростей крена соа и сор. Из соотношения (20.3)
следует, что вид функции рст (солСТ) зависит от знака и величины аб. В результате, подставив (20.3) в (20.2), получим два основных
типа зависимости Дтх (со*) для положительных и отрицательных значений балансировочного угла атаки самолета (рис. 20.1). При конкретных значениях Ага* из зависимостей, построенных
на рис. 20.1, определяются значения со* в особых точках, с помощью которых на основании формул, приведенных в табл. 9.1, находятся значения всех параметров движения в особых точках.
Таким образом, зависимости Дга* (со*) определяют количество особых точек. В рассматриваемых случаях, как следует из рис. 20.1, может быть от трех (вариант А) до пяти особых точек (вариант Б).
Для случая близких значений критических скоростей крена,
когда соа = сор, примеры зависимостей рст (со*) и Дга* (со*) приведены на рис. 20.2 для аб > 0 и аб < 0. Видно, что количество особых точек в зависимости от величины момента управления Дга* может уменьшиться до одной, хотя в некоторых диапазонах
|
|
|
|
значений Дтх их может быть и три, как в общем случае произвольных значений соа, сор.
Рассмотрим возможные виды зависимости Дга* (со*). Подставим в равенство (20.2) выражение для |3СТ (соА), определенное с помощью соотношений табл. 9.1 для управления аб и величины срг:
Произведя необходимые преобразования и группируя члены при
одинаковых степенях со*, приведем формулу (20.4) к удобному для анализа виду:
,,2~ — tJx р (дхтх
В соотношении (20.5) приняты следующие обозначения:
Поскольку на функцию Л0 (сох) не влияют параметры управления в продольной плоскости (аб и фг), для определения возможных
видов зависимости Атх (сох, аб, <рг) достаточно исследовать функцию Cl К), стоящую в числителе. Из формулы (20.6) следует,
что функция Сі (со*) является параболой по со*. При | сох | ->оо независимо от параметров управления величина Сх -> оо. Из этого
результата следует, что вид параболы С2(со*) можно полностью определить по значениям нулей, поскольку направление ее кривизны известно.
Исследования различных видов функции Сх(со*) удобно проводить на плоскости параметров аб, срг. Рассмотрим прежде всего
поведение функции Сі (со*) в окрестности точки со* = 0. При выполнении условия
Cl (0) > 0 (20.8)
функция Сх(со!) может иметь либо два положительных корня Xi и Х. г, либо не иметь ни одного корня, либо в особом случае касания
кривой Сі (со!) оси абсцисс один корень. В том случае, когда
Сі (0) < 0, функция Сі К) имеет только один положительный корень.
Выразим условие (20.8) через параметры самолета и характеристики управления. Пренебрегая малыми членами вида
получим выражения для условия (20.8) в приближенном виде:
гх
Прямая, описываемая уравнением (20.9) (прямая 1 на рис. 20.3), разделяет плоскость параметров (срг, аб) на две области, в одной
из которых функция Сi(co|) имеет либо два, либо не имеет ни одного нуля, а в другой один нуль.
Выделим на плоскости (осб, фг) область, в которой функция
Сг (со*) не имеет ни одного нуля, т. е. область, где функция Сг (со*)
знакопостоянна. Условием знакопостоянства функции Сх (о>*) является отрицательность подкоренного выражения в формуле для корней полинома
Подставляя в формулу (20.10) выражения для Z)2, Dx и D0 и производя необходимые преобразования, получим приближенное условие знакопостоянства функции Сх (со*) в виде неравенства
Кривая, полученная из соотношения (20.11), на рис. 20.3 обозначена цифрой 2. Для параметров управления, лежащих в области между двумя прямыми, описываемыми (20.9), (20.11), функция Сх (со*) имеет два нуля.
Особый интерес представляет положение нулей Яь Х2 функции
Сг (со*) по отношению к нулям свободного члена Л0 (со*). Уравнение кривых на плоскости (аб, срГ), на которой нули функции
Сх (о)*) и нули Л0 совпадают, можно получить, подставив в выражения (20.6) значение со*, равное нулям Л0 (рассматриваются только случаи, когда они существуют):
co*i = co«; (20.12)
со*2 ■—сор. (20.13)
Подставляя (20.12) и (20.13) в формулу (20.6), получим два уравнения границ таких областей
Лвр С0сс (x)aD -J — Dq = 0; (20.14)
ЛЄр2с4 + copD! + Do = 0. (20.15)
Используя соотношение, являющееся определением для С0а и СОр,
173
выражения (20.14), (20.15) можно упростить. Проделав необходимые выкладки, получим:
соаАцВ 4^- -f — фг — т“б (-у — j = 0; (20.17)
трЛрВ — у + т%гп‘у фг — т^ — m“yj аб = 0. (20.18)
Из выражений (20.17), (20.18) следует, что линии, разграничивающие области, отличающиеся различным взаимным положением
нулей функций Сг (со*) и Л0 (со*), являются прямыми, проходящими через начало координат aG = фг = 0 (см. рис. 20.3, кривые 5, 4).
В практически наиболее интересном случае анализа динамики самолета с малым демпфированием выражения (20.17) и (20.18) можно дополнительно упростить, воспользовавшись приближенными формулами для со| и cojt*
Проведенный анализ возможных видов функций Сх(со*) позволил выявить ее основные свойства и разделить плоскость (аб, срг)
на области с различным характером поведения кривой Сх (со*) по отношению к А0 (сЬх). Из расчетов следует, что взаимное положение областей с различным характером изменения Сх(со*) практически не зависит от соотношения между критическими скоростями крена соа и со,}. Учитывая, что зависимость Атх (со*) представляется в виде (20.5), можно выделить шесть основных видов функций Aтх = f (со*, осб, срг) для различных величин аб, срг, которые изображены на рис. 20.4 и соответствуют шести типам маневров крена, обозначенных буквами Л; В; С; D Е F.
Расположение особых точек в фазовом пространстве подчиняется определенным закономерностям. Например, в рассматриваемом случае (при Iу = /2 (С = 0) и m* = const) особые точки
Рис. 20.4. Возможные виды зависимости Ат* (со*), характеризующие типы маневров крена при управлении в продольном канале (m^ — const) |
типа фокус чередуются при изменении параметра йх с седловыми особыми точками. Действительно, в этом случае характер разрыва зависимости Атх (со*) при приближении о>* к значению критической скорости таков, что производная dmxl(d(bx) при прохождении через критические угловые скорости крена не изменяет знака, а величина А0 ((Ьх) меняет знак. С другой стороны, в областях непрерывного изменения функции Атх (со*) очевидно, что если Ат* ((ох) принимает одинаковые значения при двух различных величинах угловой скорости крена сох, то между этими угловыми скоростями в силу непрерывности функции производная изменяет знак. Отсюда, с учетом критерия устойчивости (10.8), (10.9) получим, что особые точки с положительными и отрицательными действительными корнями (типа фокус и седло) чередуются по параметру со*.
Подробно зависимость характеристик динамики самолета от вида функции Атх (со*) будет рассматриваться далее, однако целесообразно сделать некоторые замечания уже на данной стадии исследований. Даже беглый взгляд на кривые статических решений показывает, что в области угловых скоростей крена, меньших первой критической, функция Атх (со*) стремится либо к +оо, либо к —оо, откуда, в частности, следует, что во втором случае при отклонении элеронов на величину, большую некоторого значения, непрерывная связь между величиной Ат* и угловой скоростью крена нарушается. В этом случае самолет может быть выведен на угловые скорости, большие, чем вторая критическая (^гкрит)- Из рис. 20.4 следует, что такие свойства присущи движению самолета в случаях В и D.
Влияние продольной балансировки при маневрах с креном 175
В области угловых скоростей крена, превышающих вторую критическую, наиболее практически важным является вопрос — существует ли пересечение кривой статического решения Атх(йх) с осью Атх = 0. Существование такого пересечения (маневры типа А у В, С) означает наличие особой точки, соответствующей движению самолета с угловой скоростью крена > со2крит при неотклоненных элеронах. Очевидно, что исследование таких случаев представляет большой практический интерес, поскольку попадание самолета в подобные условия движения означает не что иное, как потерю управляемости элеронами.