СИЛЫ И МОМЕНТЫ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ БОКОВОЕ ДВИЖЕНИЕ. САМОЛЕТА В ТУРБУЛЕНТНОЙ АТМОСФЕРЕ

Как указывалось в § 4.1, приведенные там выражения для сил и моментов, действующих на самолет в возмущенной атмосфере, могут быть использованы лишь для анализа движения самолета, вызываемого единичными порывами заранее выбранной формы. Однако в реальных условиях полета таких порывов не бывает. Поэтому выводы предыдущего параграфа представляют интерес главным образом для оценки влияния постоянного поперечного ветра, вызывающего снос самолета. Анализ влияния нормальной составляющей ветра с постоянным по размаху крыла градиентом был проведен для получения передаточных функций, используе­мых ниже.

Целью этого параграфа является получение аналитических выражений для сил и моментов, вызывающих возмущение боко­вого движения самолета в турбулентной атмосфере, т. е. в усло­виях, значительно более близких к реальным, чем те, которые рассматривались в § 4.1. Из сказанного следует, что ниже будут

рассматриваться выражения для правых частей уравнений (2.28) я (2.30), поскольку именно эти правые части обусловлены дейст­вием ветра. Что касается левых частей уравнений этой системы, то они учитывают силы и моменты, возникающие в результате движения самого самолета, а не воздуха. Так как движение са­молета под действием ветра имеет примерно те же линейные и угловые скорости, что и при управляющих воздействиях рулевых органов, левые части уравнений (2.28) и (2.30) могут быть ис­пользованы для описания этого движения.

В создании боковой силы и моментов относительно осей X и у поперечным ветром наибольшую роль играют вертикальное опе­рение и фюзеляж. В общей постановке задачи о воздействии поперечного ветра на самолет коэффициенты сил и моментов, обусловленных ветром, являются функцией частоты изменения этого ветра [31]. Однако в работе [29] приведены эксперименталь­ные данные, показывающие, что боковая сила и моменты относи­тельно осей х и у от ветра wz незначительно зависят от частоты (в пределах частот, практически оказывающих воздействие на боковое движение самолета). Поэтому в данной работе будем считать, что коэффициенты ftp, /р и яр правых частей уравнений

(2.28) и (2.30) являются постоянными величинами, определяе­мыми формулами табл. 2.2.

Необходимо лишь выбрать выражение для корреляционной функции и спектральной плотности случайной составляющей по­перечного ветра wz. В соответствии с рис. 1.10 при поперечном ветре должны использоваться формулы для поперечных корре­ляционной функции (1.13) и (1.29) и спектральной плотности

(1.19) , (1.22) и (1.33).

Перейдем к определению момента относительно оси х, вызы­ваемого градиентом нормального ветра по размаху. В пределах линейного участка кривой Cy=f(a) этот момент может быть вы­ражен следующим образом:

Ц2

Mx=mJSqe=j Yz(z)zdz, (4.19)

где Yz — антисимметричная подъемная сила на единицу длины по размаху крыла (в сечении г).

Эта распределенная антисимметричная подъемная сила опре­деляется формулой

Yz(z)=Cy(z)qeb(z), (4.20)

где Су (г) —коэффициент антисимметричной подъемной силы в сечении г;

b (г) — хорда крыла в сечении г;

qe — скоростной напор в невозмущенном движении.

Коэффициент антисимметричной подъемной силы в сечении г может быть выражен в форме

Су (г)=С} (*)*«,. (4.21)

где Сау (г) — наклон кривой Су (г)=/ (а);

aw=wy(x, z)jVe — угол атаки в сечении z, обусловленный вет­ром wr

С учетом (4.20) и (4.21) выражение (4.19) приобретает вид

т

mJSqe=jj Cy{z)a. wqebz{z)dz. (4.22)

Произведя в (4.22) элементарные преобразования, получим выражение для коэффициента момента крена, обусловленного нормальным ветром, в функции координаты х, определяющей положение центра тяжести самолета на траектории полета:

где

и

z=2zll.

Функция е (г) представляет собой распределение подъемной силы крыла при линейном антисимметричном изменении угла атаки вдоль размаха.

Перейдем к определению корреляционных функций для коэф­фициента момента крена, обусловленного неравномерным и слу­чайным распределением вертикальной составляющей ветра по размаху. На основании (4.23) эта функция определяется выра­жением

X

Rmx(.x2-xx)=lim — тх(*2)тх(*,)dxx = lim -±- X

Х Х-оо 2Х J Х-оо IX

-X

где

RwU2—*lt l2-zx)= lim — wy(xb zJWyfa, z2)dxv (4.26)#

* X-+°o ZA J

-X

Корреляционная функция для вертикальной составляющей ветра зависит от двух координат. Такая функция уже рассматри­валась в гл. 3 при анализе усредняющего действия размаха кры­ла на подъемную силу, создаваемую вертикальным ветром [фор­мула (3.58)]. На основании допущения об осесимметричности турбулентности можно считать, что эта корреляционная функция зависит только от абсолютного значения пространственного сме­щения, т. е. от VOc2—-*і]? + (-г2—zi)2*

Вводя новые переменные с помощью подстановок

z2—z1~ 2Дг/(—і],

Xs — Xt — Vx, можно представить выражение (4.25) в виде / —- о л (я»“-0 — /?«,(^)=-LV-r(i))/?»(KeT, Ч)йЫ, W*. о где ‘-ТЧ _ _ r(l)= J «(*і)«(*і + Ч)<**і (4.27) (4.28) И *wy{V. x. тї)=°ІЯпІУ(УехГ+(Щ2у}- (4.29) В (4.29) Rn является поперечной корреляционной функцией, определяемой формулами (1.13) и (1.29). Пояснение преобразо­ваний, сделанных при переходе от (4.25) к (4.27), приведено в «Приложении С». Поскольку в данной работе для расчета используется аппарат спектральных плотностей, необходимо от корреляционной функ­ции (4.27) перейти к спектральной плотности коэффициента момента крена. С помощью преобразований Фурье получаем 0° у а) у ^ •ЧМ=^ 5 v‘ в’«УЛ — оо (4.30) Подставив выражение для Rm (Vex) в (4.30), получим f “ж )2 2 $*>)=-“- [ШР(ЧУ„ (4.3 L)

<» . СЦ у т

РНУ» ч)“ $ е (4-32)

— оо

При теоретическом анализе сил и моментов, создаваемых кры­лом, обычно рассматриваются следующие типы распределения подъемной силы по размаху: равномерное, эллиптическое, пара­болическое и треугольное. Эти термины определяют характер распределения подъемной силы при скачкообразном изменении угла атаки крыла. В работе [32] показано, что характер распре­деления подъемной силы по размаху не оказывает значительного влияния на спектральную плотность коэффициента момента. По­этому в данной работе будет рассмотрен только простейший случай равномерного распределения^ подъем ной силы по размаху.

Вывод формулы для функции e(z) при равномерном распреде­лении подъемной силы по размаху приведен в «Приложении С». Подставив значение этой функции в (4.28) из выражения (4.31), получим формулу для спектральной плотности коэффициента момента крена, обусловленного неравномерностью нормального ветра по размаху [32]:

/ « 2

smx(»)=[33]9 [тхХ)/ ад. (4.33)

nVl

Функция SK(v), входящая в правую часть (4.33), в свою оче­редь определяется выражением *

5*(v)= д4(1+;^ (aV (Ко wrf*-Ha4+16<*2о -*2)] Ко («)+

+ [2 а3 (3—v2)+32а (1 — v2)] Ki (а)+2а2(1 — 3v2)—32(1 — v2)

де a=k іЛ-fv2, k=lL и K0(a), Kx(a)- модифицированные функции Бесселя второго рода нулевого и первого порядков [33].

Безразмерная частота v, являющаяся аргументом в (4.34), связана с временной частотой м соотношениями (1.20) и (1.31), откуда следует

у=ш!/1/е. (4.35)

На рис. 4.6 приведены графики функции SK(v), построенные на основании (4.34) для различных значений k — отношения раз­маха крыла к масштабу турбулентности.

Как следует из (4.19), формула (4.33) выражает спектраль­ную плотность безразмерного коэффициента момента крена. Для перехода к той форме, в которой моменты учитываются в урав­нениях (2.28) и (2.30), этот коэффициент должен быть умножен на lSpeVe2l2 и разделен на /*. В выражение для спектральной плотности эти дополнительные множители войдут в квадрате.

Рис. 4.6. Графики функций S* (v), входящей в выражение для спектральной плотности безразмерного коэффициента момента крена

После некоторых преобразований спектральная плотность коэф­фициента момента крена, обусловленного неравномерным рас­пределением по размаху крыла вертикальной составляющей вет­ра, приобоетает окончательный вид

Smx(»)=«*, V } — S*(v)=°iAS*(v). (4.36)

яі2 *3Xf|X6

Применение формулы (4.36) для расчета параметров боко­вого движения поясняется в следующем параграфе.