Анализ методов проверки адекватности математической модели возмущенного движения самолета результатам сертификационных летных испытаний

Большая стоимость проведения летных сертификационных испыта­ний заставляет постоянно искать пути сокращения их объема. Одним из таких путей, широко используемым как у нас, так и за рубежом, является объединение результатов моделирования и летных испыта­ний с целью повышения достоверности принимаемых на их основе решений о соответствии характеристик самолета нормам летной год­ности [29]. При этом полноправное использование результатов моде­лирования требует прежде всего проверки адекватности математичес­кой модели самолета.

При проверке адекватности математической модели самолета выделяют два аспекта: детерминированный и статистический. Будем исходить из того, что уравнения движения самолета с системой уп­равления, составленные по результатам аэродинамических продувок и ожидаемых характеристик используемой аппаратуры (с учетом ре­зервирования и работы системы контроля), адекватно отражают ди­намику процессов управления, а в проверке нуждается математичес­кая модель, используемая для статистического моделирования с целью оценки точностных характеристик систем автоматического управле­ния. При этом полный диапазон возможных изменений оценивае­мых параметров движения самолета делится на области: больших оши­бок управления (±4-5а) и малых ошибок управления (±2-За). Рассмотрим область малых ошибок управления.

Действующие на самолет возмущения чаще всего являются нор­мальными случайными процессами. Динамическая система «само­лет-система управления» в малом диапазоне изменения ее перемен­ных квазилинейна и обладает свойством нормализовать проходящие

через нее сигналы. Все это позволяет в диапазоне (±2 — За) считать распределение ошибок управления нормальным [52]. Статистичес­кое моделирование проводится с учетом имевших место в летных ис­пытаниях случайных факторов (масса, центровка, ветер и т. д.) как в части диапазона их изменения, так и частоты появления различных
уровней. Летные испытания статистически независимы и охватыва­ют ожидаемые условия эксплуатации. Будем считать, что математи­ческая модель и реальный объект статистически подобны (статисти­чески однородны), если расчетные и опытные выборки извлечены из одной и той же генеральной совокупности.

Биномиальный закон распределения генеральной совокупности. Исходной информацией при использовании биномиального закона распределения для определения вероятности нахождения исследуе­мой характеристики в допустимом диапазоне, оцениваемой по час­тоте этого события, является число испытаний Hq и отказов d0 при статистическом моделировании и числа испытаний п и отказов d в летных испытаниях. Если оцениваемые вероятности Rq, R не равны,

т. е. если Rq*R, то вероятность события (</0, d) представляет собой

Анализ методов проверки адекватности математической модели возмущенного движения самолета результатам сертификационных летных испытаний

совместную вероятность двух независимых событий d0 и d:

При Rq = R результаты моделирования и летных испытаний мо­гут быть объединены, что приводит к объединению выборок (d0 + d), (л0 + л) и совместной вероятности

Подпись: P(d0+d) =________ Ч+я)!___________ R(r^+n)-{d0+d) (1 _ R,(d„+d)

(d0 +</)![Ц) +л)-Ц) +</)]!

Подпись: lilil Ч+л" [dQ+d]
Подпись: P(dQ,d) P(d0 +d)

Отношение этих вероятностей при Rq = R имеет гипергеометри­ческое распределение:

Анализ методов проверки адекватности математической модели возмущенного движения самолета результатам сертификационных летных испытаний image428

Если альтернативной гипотезой является гипотеза R < Rq, то об­ластью принятия нулевой гипотезы Rq = R является область, ограни­ченная условиями

где D = d0 +d, а — выбранный уровень значимости.

image429 Анализ методов проверки адекватности математической модели возмущенного движения самолета результатам сертификационных летных испытаний Анализ методов проверки адекватности математической модели возмущенного движения самолета результатам сертификационных летных испытаний

Используя биномиальную аппроксимацию гипергеометрическо­го распределения, получаем:

image431 Подпись: п л+лЬ Подпись: / Подпись: = а
image430

откуда при выборе d = 1 имеем простое соотношение для планирова­ния числа летных испытаний:

Таким образом, для принятия гипотезы однородности минималь­ное число летных испытаний до первого отказа должно определяться равенством:

1-V)irs

image433п

Так, при а = 0,1; = 0; Лц=46 имеем я = 5.

Достоверность принимаемых решений характеризуется вероятно­стями ошибок первого а и второго |3 рода (вероятностями ошибоч­ных приемки и браковки). Для определения значения р необходимо задать альтернативную гипотезу и соответствующее ей распределение, что в общем случае при произвольных dvid^ сделать достаточно сложно и не позволяет получить аналитическое решение.

Нормальный закон распределения генеральной совокупности. Тра­диционные критерии статистического подобия двух выборок, извле­ченных из нормально распределенной генеральной совокупности, основаны на сравнении дисперсий и математических ожиданий [52]. Дисперсии считаются равными, если выполняется правило (крите­рий Фишера):

(15.5)

image434

где выборочные оценки дисперсий соответственно определяются как

Xj — значение исследуемого параметра в /*-м эксперименте (вычисли­тельном или летном);

image435

«і, «2 — объемы выборок; -1, п^-1) — квантиль распределе­

ния Фишера с (й| -1, /ij -1) числом степеней свободы уровня (1-а); в

числитель помещается большая из оценок S2 > S2.

Для сравнения математических ожиданий используется одно из следующих правил:

1*1~*2І

Syj(n +nl)lnn2

Подпись: - h-a/2 (nl+n2~ 2)> Подпись: (15.6)

• при принятии гипотезы равенства дисперсий

где s2 =[*У12(Л1 — 1) + Sj(/*2 — 1)]/(л! +«2-2); +л2-2) — квантиль

распределения Стьюдента с (п1+п2-2) числом степеней свободы уров­ня 1-а/2;

• при принятии гипотезы неравенства дисперсий

Подпись: (15.7)*1 "*2

^l/nl + S2/n2

Подпись: V = image436,image437

где число степеней свободы v определяется в соответствии с прави­лом Сэттервейта:

и в зависимости от конкретных значений S2 и S2 меняется в диапа­зоне ma{nvn2}<v<{nl+n2-2).

Применение решающих правил (15.5) и (15.7) в случае статисти­ческой неоднородности сравниваемых выборок позволяет выявить ис­точник неоднородности — систематические или случайные ошибки.

При проверке равенства дисперсий альтернативную гипотезу удоб­но представить в виде а2 =5о2- Тогда зависимость между а, р, 5, nlt определяется из граничных соотношений:

Sl /S2 = F-cSn ~ 1. «2 "

S /5^2 = F$(n “I — ^2 -^)>

откуда «расстояние» между нулевой и альтернативной гипотезами

5 = F-a^n ~1> "2 ~iyF^ni -1. «2 -!)•

Таким образом, при принятии гипотезы равенства дисперсий с вероятностью р эти дисперсии могут различаться в 8 раз. Таблица 15.4 иллюстрирует зависимость величины 8 от пх = и2 = п ПРИ

а = р = 0,05.

V

10

20

30

40

60

120

5

8,870

6,240

4,392

2,860

2,354

1,828

Зависимость коэфф

III.

евта 5 от v

Таблица 15.4

Подпись: ной гипотезе статистика image438 Подпись: имеет нецентральное f-pac-

При проверке равенства математических ожиданий альтернатив­ную гипотезу удобно задать в виде т1=т2+ 8. Тогда при альтернатив­

8 Иі+«2

пределение с параметром нецентральное™ — ,|——-.

ау пхП2

Подпись: Р image439 Анализ методов проверки адекватности математической модели возмущенного движения самолета результатам сертификационных летных испытаний Подпись: J

Нецентральное распределение уже при п>5 хорошо аппрокси­мируется нормальным распределение, т. е.

Подпись: = 1-фimage4418 K+«2 1-а/2 »№

■f1 + {1-а/2 /2(п1 +л2-2) где Ф — интегральная функция стандартного нормального распреде­ления.

Окончательно имеем:

_5 К+”2

image442|_а/2 о у /Ij«2

•J1 + ^1-а/2/[2(я1 +л2 -2)]

Таблица 15.5 иллюстрирует зависимость величины 5/о от = л при а = р = 0,05.

Таблица 15.5

Зависимость отношения 8/а от л

п

106

27

13

8

6

5

4

4

5/а

0,5

1.0

1,5

2

2,5

3,0

3,5

4,0

Из численных значений, приведенных в табл. 15.4 и 15.5, вид­но, что необходимый объем испытаний определяется задачей срав­нения дисперсий.

Рассмотренные критерии имеют один существенный недостаток: раздельное сравнение дисперсий и математических ожиданий приво­дит к снижению достоверности принимаемых решений, так как

1 —aL = (l-a1)(l-a2), где ava2 — уровни значимости при проверке

равенства дисперсий и равенства математических ожиданий. Так, при

выборе ctj = а2 = 0,1 a z= 0,19, т. е. увеличивается почти в 2 раза.

Закон распределения Рэлея генеральной совокупности. В [29] для демонстрации соответствия характеристик выдерживания траектории при автоматической посадке предлагается использовать максималь­ные отклонения от линии курса или глиссады, имеющие при введен­ных выше допущениях распределение Рэлея:

Р(х) = 1-ехр{-х2/(2а2)}.

image443
Подпись: і image444 Анализ методов проверки адекватности математической модели возмущенного движения самолета результатам сертификационных летных испытаний Подпись: /=1

Параметры а2 и а2 двух выборок считаются равными, если вы­полняется правило: о2 /о2 < /j_a (1пх, 2л2), где выборочные оценки параметров распределения Рэлея имеют вид:

Зависимость между а, р, к, п^, п2 определяется из граничных соот­ношений

blb=Fx_a{2n{y2n2),

в? /(Sdl) = ^р(2"1’2я2)-

откуда находится расстояние между нулевой и альтернативной гипо­тезами:

8 = W2"l — 2л2 )/М2и1 — 2*2 )•

В табл. 15.6 приведены значения 8 в зависимости от п^=п2=п

при а = р = 0,05. Сравнение табл. 15.4 и 15.6 показывает, что оценка параметра распределения Рэлея производится по «двойной» выбор­ке. Это приводит к уменьшению необходимого объема испытаний и повышению достоверности статистического решения.

Таблица 15.6

Значение 8 в зависимости от л

п

5

10

20

30

, 60

6

4,646

2,895

2,103

1,831

1,532

Проверка адекватности с использованием толерантных интерва­лов. Проблема множественного сравнения может быть решена пере­ходом на сравнение толерантных интервалов.

Так как оценка К = (xa-x}lS имеет приближенно нормальное распределение с математическим ожиданием М[К] = UR и дисперси­ей D[K] = l/n+K2/2(n-l) ,то задача сравнения статистической одно­родности двух выборок сводится к сравнению двух математических ожиданий при известных неравных дисперсиях. Соответствующее ре­шающее правило имеет вид:

(15.8)

При использовании решающего правила (15.8) альтернативная гипотеза задается в виде URl = UR2 + AUR. Тогда зависимость между а, р, AUrv Пу, п2 определяется из граничных условий

Подпись: і*1

кх-К2 +AUR/^jDi+D2 = Up, откуда получим AURj^I+D2 = Ux_a, 2 — Un

В табл. 15.7 представлена зависимость величины AUR/JDl + D2 от Л[ = л2 = л при а = Р = 0,05.

Таблица 15.7

Зависимость ДUR JD^+Щ от л

п

44

11

5

3

2

AUR/yjDl+D2

0,5

1,0

1,5

2

2,5

Для сопоставления полученных результатов приведем их к еди­ной шкале путем вычисления ошибки при оценке вероятности на­хождения исследуемого параметра в заданных пределах. Результаты

проведенных вычислений при заданных Д, = 0,95 и Л| = Л2 = 40 сведе­ны в табл. 15.8.

Таблица 15.8

Зависимость ошибки в оценке вероятности от метода

Метод

Сравнение

дисперсий

Сравнение

математи­

ческих

ожиданий

Сравнение

параметров

распределения

Рэлея

Сравнение

толерантных

множителей

Оценка

вероятности

0,7167

0,799

0,789

0,9267

Ошибка в оценке вероятности

0,2395

0,151

0,161

0,0233

Таким образом, метод сравнения толерантных множителей при проверке адекватности математической модели возмущенного движе­ния самолета имеет существенное преимущество перед остальными методами.

Универсальный показатель степени адекватности. Рассмотрение приведенных критериев проверки адекватности математической мо­дели результатам испытаний показывает, что для каждого закона рас­пределения степень адекватности характеризуется конкретным пока­зателем (разность математических ожиданий, отношение дисперсий, разность квантилей распределения), что неудобно для сравнения и выдачи рекомендаций по использованию этих критериев.

Универсальный показатель степени адекватности, робастный к виду критерия, может быть получен на основе анализа влияния уров­ня значимости 0<а<0,5 на процедуру принятия решения об адек­ватности. При а ->0 область принятия гипотезы адекватности рас­ширяется, и любые данные моделирования и испытаний признаются принадлежащими одной выборке. Таким образом, если гипотеза адек­ватности принимается при малых значениях а, то соответствующая степень адекватности мала. Аналогично, если гипотеза адекватности принимается при больших значениях а-»0,5, степень адекватности велика. Следовательно, критическое значение ос^, при котором еще принимается гипотеза адекватности, может служить универсальным показателем степени адекватности. Проиллюстрируем предлагаемый подход на наиболее простом примере биномиального распределения.

Пусть п = л0, тогда ос^ = 0,5; при л0 = 46, п = 1 ~ 0,02. Более

наглядными являются нормированные значения а* = /0,5. Тогда в

первом случае а* = 1, а во втором — а* = 0,04.

Показатель степени адекватности необходимо учитывать при объе­динении данных моделирования и испытаний. Для такого объедине­ния рассмотрим две гипотезы: адекватности с вероятностью а* и

неадекватности с вероятностью 1-а*. Тогда в соответствии с форму­лой полной вероятности получим, например, для биномиального распределения

A-^a-aW.

где Rqб = (я*о +лі)/(лд + л) — оценка, полученная в результате объеди­нения данных моделирования и испытаний (щ = л0 — </0, m = n-d); Джс = т1п ~ °Ценка> полученная только по результатам летных ис­пытаний.

(1-а*)У-

~0г(п-г)

яга-*/*

Анализ методов проверки адекватности математической модели возмущенного движения самолета результатам сертификационных летных испытаний

Аналогично получим правило подтверждения требований к за­данной вероятности Л, с использованием нижней доверительной гра­ницы

При отсутствии отказов (d= dQ = 0) это выражение приобретает

Подпись: вид

(l-a)R^ +а* J^+n° = 1-у,

откуда Rз = (1 — y)/[l — a* + а* (1 — у0)] = 1 — уэкв, где = 1 — у0 — пра — вило подтверждения заданного значения R^ при проведении модели­рования объема л0; у0, У» Уэкв — соответствующие доверительные ве­роятности.

Поскольку знаменатель 1 — а* + а* (1 — у0) всегда меньше единицы,

значение уэкв всегда меньше у, следовательно, объединение инфор­мации всегда позволяет сократить число летных испытаний.

В табл. 15.9 приведены результаты расчетов числа лад, летных испытаний до пёрвого отказа (d = 1), необходимых для проверки адекватности, и пл — для подтверждения требований к вероятности Rз = 0,95, у = 0,9 по результатам объединенных испытаний при

nQ = 46, dQ = 0.

Таблица 15.9

Результаты расчетов числа летных испытаний лад и пл

"ад

5

10

20

30

46

а

0,2

0,35

0,57

0,74

1

Уэкв

0,87

0,85

0,8

0,66

0

ил

41

36

31

20

0

Нетрудно видеть, что лад =пл « 25, т. е. « п0/2 хватает и для про­верки адекватности и для подтверждения заданного значения вероят­ности при условии, что это значение подтверждено результатами моделирования.

[1] Центральный аэрогидродинамический институт.

Рис. 8.2. Стратегия поиска и изучения особенностей динамики и управля­емости опытного самолета при летных испытаниях и установление допус­тимых эксплуатационных границ

[3] R = £/2, т. е. величина среднего риска при ц < 1 и I; £ 1 — т| не зависит от у.

Приведем далее уравнение, полученное для расчета оптималь­ной величины контрольного допуска и учитывающее корреляцион­ную зависимость между у и 5, для нормальных плотностей вероятно­стей /і (у) и /2 (5). Пусть эксплуатационный допуск на параметр является симметричным, тогда уравнение оптимальной величины кон­трольного допуска будет иметь вид:

[4] правило браковки системы

Оставьте ответ

Вы можете использовать эти HTML теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>