Анализ методов проверки адекватности математической модели возмущенного движения самолета результатам сертификационных летных испытаний
Большая стоимость проведения летных сертификационных испытаний заставляет постоянно искать пути сокращения их объема. Одним из таких путей, широко используемым как у нас, так и за рубежом, является объединение результатов моделирования и летных испытаний с целью повышения достоверности принимаемых на их основе решений о соответствии характеристик самолета нормам летной годности [29]. При этом полноправное использование результатов моделирования требует прежде всего проверки адекватности математической модели самолета.
При проверке адекватности математической модели самолета выделяют два аспекта: детерминированный и статистический. Будем исходить из того, что уравнения движения самолета с системой управления, составленные по результатам аэродинамических продувок и ожидаемых характеристик используемой аппаратуры (с учетом резервирования и работы системы контроля), адекватно отражают динамику процессов управления, а в проверке нуждается математическая модель, используемая для статистического моделирования с целью оценки точностных характеристик систем автоматического управления. При этом полный диапазон возможных изменений оцениваемых параметров движения самолета делится на области: больших ошибок управления (±4-5а) и малых ошибок управления (±2-За). Рассмотрим область малых ошибок управления.
Действующие на самолет возмущения чаще всего являются нормальными случайными процессами. Динамическая система «самолет-система управления» в малом диапазоне изменения ее переменных квазилинейна и обладает свойством нормализовать проходящие
через нее сигналы. Все это позволяет в диапазоне (±2 — За) считать распределение ошибок управления нормальным [52]. Статистическое моделирование проводится с учетом имевших место в летных испытаниях случайных факторов (масса, центровка, ветер и т. д.) как в части диапазона их изменения, так и частоты появления различных
уровней. Летные испытания статистически независимы и охватывают ожидаемые условия эксплуатации. Будем считать, что математическая модель и реальный объект статистически подобны (статистически однородны), если расчетные и опытные выборки извлечены из одной и той же генеральной совокупности.
Биномиальный закон распределения генеральной совокупности. Исходной информацией при использовании биномиального закона распределения для определения вероятности нахождения исследуемой характеристики в допустимом диапазоне, оцениваемой по частоте этого события, является число испытаний Hq и отказов d0 при статистическом моделировании и числа испытаний п и отказов d в летных испытаниях. Если оцениваемые вероятности Rq, R не равны,
т. е. если Rq*R, то вероятность события (</0, d) представляет собой
![]() |
совместную вероятность двух независимых событий d0 и d:
При Rq = R результаты моделирования и летных испытаний могут быть объединены, что приводит к объединению выборок (d0 + d), (л0 + л) и совместной вероятности
________ Ч+я)!___________ R(r^+n)-{d0+d) (1 _ R,(d„+d)
(d0 +</)![Ц) +л)-Ц) +</)]!
![]() |
![]() |
Отношение этих вероятностей при Rq = R имеет гипергеометрическое распределение:
![]() |
![]() |
Если альтернативной гипотезой является гипотеза R < Rq, то областью принятия нулевой гипотезы Rq = R является область, ограниченная условиями
где D = d0 +d, а — выбранный уровень значимости.
![]() |
![]() |
![]() |
Используя биномиальную аппроксимацию гипергеометрического распределения, получаем:
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
|||
откуда при выборе d = 1 имеем простое соотношение для планирования числа летных испытаний:
Таким образом, для принятия гипотезы однородности минимальное число летных испытаний до первого отказа должно определяться равенством:
1-V)irs
п
Так, при а = 0,1; = 0; Лц=46 имеем я = 5.
Достоверность принимаемых решений характеризуется вероятностями ошибок первого а и второго |3 рода (вероятностями ошибочных приемки и браковки). Для определения значения р необходимо задать альтернативную гипотезу и соответствующее ей распределение, что в общем случае при произвольных dvid^ сделать достаточно сложно и не позволяет получить аналитическое решение.
Нормальный закон распределения генеральной совокупности. Традиционные критерии статистического подобия двух выборок, извлеченных из нормально распределенной генеральной совокупности, основаны на сравнении дисперсий и математических ожиданий [52]. Дисперсии считаются равными, если выполняется правило (критерий Фишера):
(15.5)
![]() |
где выборочные оценки дисперсий соответственно определяются как
Xj — значение исследуемого параметра в /*-м эксперименте (вычислительном или летном);
![]() |
«і, «2 — объемы выборок; -1, п^-1) — квантиль распределе
ния Фишера с (й| -1, /ij -1) числом степеней свободы уровня (1-а); в
числитель помещается большая из оценок S2 > S2.
Для сравнения математических ожиданий используется одно из следующих правил:
1*1~*2І Syj(n +nl)lnn2 |
![]() |
![]() |
• при принятии гипотезы равенства дисперсий
где s2 =[*У12(Л1 — 1) + Sj(/*2 — 1)]/(л! +«2-2); +л2-2) — квантиль
распределения Стьюдента с (п1+п2-2) числом степеней свободы уровня 1-а/2;
• при принятии гипотезы неравенства дисперсий
*1 "*2
^l/nl + S2/n2
![]() |
![]() |
где число степеней свободы v определяется в соответствии с правилом Сэттервейта:
и в зависимости от конкретных значений S2 и S2 меняется в диапазоне ma{nvn2}<v<{nl+n2-2).
Применение решающих правил (15.5) и (15.7) в случае статистической неоднородности сравниваемых выборок позволяет выявить источник неоднородности — систематические или случайные ошибки.
При проверке равенства дисперсий альтернативную гипотезу удобно представить в виде а2 =5о2- Тогда зависимость между а, р, 5, nlt определяется из граничных соотношений:
Sl /S2 = F-cSn ~ 1. «2 "
S /5^2 = F$(n “I — ^2 -^)>
откуда «расстояние» между нулевой и альтернативной гипотезами
5 = F-a^n ~1> "2 ~iyF^ni -1. «2 -!)•
Таким образом, при принятии гипотезы равенства дисперсий с вероятностью р эти дисперсии могут различаться в 8 раз. Таблица 15.4 иллюстрирует зависимость величины 8 от пх = и2 = п ПРИ
а = р = 0,05.
V |
10 |
20 |
30 |
40 |
60 |
120 |
5 |
8,870 |
6,240 |
4,392 |
2,860 |
2,354 |
1,828 |
Зависимость коэфф |
III. |
евта 5 от v |
Таблица 15.4 |
![]() |
![]() |
![]() |
При проверке равенства математических ожиданий альтернативную гипотезу удобно задать в виде т1=т2+ 8. Тогда при альтернатив
8 Иі+«2
пределение с параметром нецентральное™ — ,|——-.
ау пхП2
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Нецентральное распределение уже при п>5 хорошо аппроксимируется нормальным распределение, т. е.
8 K+«2 1-а/2 »№
■f1 + {1-а/2 /2(п1 +л2-2) где Ф — интегральная функция стандартного нормального распределения.
Окончательно имеем:
_5 К+”2
|_а/2 о у /Ij«2
•J1 + ^1-а/2/[2(я1 +л2 -2)]
Таблица 15.5 иллюстрирует зависимость величины 5/о от = л при а = р = 0,05.
Таблица 15.5 Зависимость отношения 8/а от л
|
Из численных значений, приведенных в табл. 15.4 и 15.5, видно, что необходимый объем испытаний определяется задачей сравнения дисперсий.
Рассмотренные критерии имеют один существенный недостаток: раздельное сравнение дисперсий и математических ожиданий приводит к снижению достоверности принимаемых решений, так как
1 —aL = (l-a1)(l-a2), где ava2 — уровни значимости при проверке
равенства дисперсий и равенства математических ожиданий. Так, при
выборе ctj = а2 = 0,1 a z= 0,19, т. е. увеличивается почти в 2 раза.
Закон распределения Рэлея генеральной совокупности. В [29] для демонстрации соответствия характеристик выдерживания траектории при автоматической посадке предлагается использовать максимальные отклонения от линии курса или глиссады, имеющие при введенных выше допущениях распределение Рэлея:
Р(х) = 1-ехр{-х2/(2а2)}.
![]() |
|||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Параметры а2 и а2 двух выборок считаются равными, если выполняется правило: о2 /о2 < /j_a (1пх, 2л2), где выборочные оценки параметров распределения Рэлея имеют вид:
Зависимость между а, р, к, п^, п2 определяется из граничных соотношений
blb=Fx_a{2n{y2n2),
в? /(Sdl) = ^р(2"1’2я2)-
откуда находится расстояние между нулевой и альтернативной гипотезами:
8 = W2"l — 2л2 )/М2и1 — 2*2 )•
В табл. 15.6 приведены значения 8 в зависимости от п^=п2=п
при а = р = 0,05. Сравнение табл. 15.4 и 15.6 показывает, что оценка параметра распределения Рэлея производится по «двойной» выборке. Это приводит к уменьшению необходимого объема испытаний и повышению достоверности статистического решения.
Таблица 15.6 Значение 8 в зависимости от л
|
Проверка адекватности с использованием толерантных интервалов. Проблема множественного сравнения может быть решена переходом на сравнение толерантных интервалов.
Так как оценка К = (xa-x}lS имеет приближенно нормальное распределение с математическим ожиданием М[К] = UR и дисперсией D[K] = l/n+K2/2(n-l) ,то задача сравнения статистической однородности двух выборок сводится к сравнению двух математических ожиданий при известных неравных дисперсиях. Соответствующее решающее правило имеет вид:
(15.8)
При использовании решающего правила (15.8) альтернативная гипотеза задается в виде URl = UR2 + AUR. Тогда зависимость между а, р, AUrv Пу, п2 определяется из граничных условий
*1
кх-К2 +AUR/^jDi+D2 = Up, откуда получим AURj^I+D2 = Ux_a, 2 — Un
В табл. 15.7 представлена зависимость величины AUR/JDl + D2 от Л[ = л2 = л при а = Р = 0,05.
Таблица 15.7 Зависимость ДUR JD^+Щ от л
|
Для сопоставления полученных результатов приведем их к единой шкале путем вычисления ошибки при оценке вероятности нахождения исследуемого параметра в заданных пределах. Результаты
проведенных вычислений при заданных Д, = 0,95 и Л| = Л2 = 40 сведены в табл. 15.8.
Таблица 15.8
Зависимость ошибки в оценке вероятности от метода
|
Таким образом, метод сравнения толерантных множителей при проверке адекватности математической модели возмущенного движения самолета имеет существенное преимущество перед остальными методами.
Универсальный показатель степени адекватности. Рассмотрение приведенных критериев проверки адекватности математической модели результатам испытаний показывает, что для каждого закона распределения степень адекватности характеризуется конкретным показателем (разность математических ожиданий, отношение дисперсий, разность квантилей распределения), что неудобно для сравнения и выдачи рекомендаций по использованию этих критериев.
Универсальный показатель степени адекватности, робастный к виду критерия, может быть получен на основе анализа влияния уровня значимости 0<а<0,5 на процедуру принятия решения об адекватности. При а ->0 область принятия гипотезы адекватности расширяется, и любые данные моделирования и испытаний признаются принадлежащими одной выборке. Таким образом, если гипотеза адекватности принимается при малых значениях а, то соответствующая степень адекватности мала. Аналогично, если гипотеза адекватности принимается при больших значениях а-»0,5, степень адекватности велика. Следовательно, критическое значение ос^, при котором еще принимается гипотеза адекватности, может служить универсальным показателем степени адекватности. Проиллюстрируем предлагаемый подход на наиболее простом примере биномиального распределения.
Пусть п = л0, тогда ос^ = 0,5; при л0 = 46, п = 1 ~ 0,02. Более
наглядными являются нормированные значения а* = /0,5. Тогда в
первом случае а* = 1, а во втором — а* = 0,04.
Показатель степени адекватности необходимо учитывать при объединении данных моделирования и испытаний. Для такого объединения рассмотрим две гипотезы: адекватности с вероятностью а* и
неадекватности с вероятностью 1-а*. Тогда в соответствии с формулой полной вероятности получим, например, для биномиального распределения
A-^a-aW.
где Rqб = (я*о +лі)/(лд + л) — оценка, полученная в результате объединения данных моделирования и испытаний (щ = л0 — </0, m = n-d); Джс = т1п ~ °Ценка> полученная только по результатам летных испытаний.
(1-а*)У- ~0г(п-г) |
яга-*/* |
![]() |
Аналогично получим правило подтверждения требований к заданной вероятности Л, с использованием нижней доверительной границы
При отсутствии отказов (d= dQ = 0) это выражение приобретает
![]() |
(l-a)R^ +а* J^+n° = 1-у,
откуда Rз = (1 — y)/[l — a* + а* (1 — у0)] = 1 — уэкв, где = 1 — у0 — пра — вило подтверждения заданного значения R^ при проведении моделирования объема л0; у0, У» Уэкв — соответствующие доверительные вероятности.
Поскольку знаменатель 1 — а* + а* (1 — у0) всегда меньше единицы,
значение уэкв всегда меньше у, следовательно, объединение информации всегда позволяет сократить число летных испытаний.
В табл. 15.9 приведены результаты расчетов числа лад, летных испытаний до пёрвого отказа (d = 1), необходимых для проверки адекватности, и пл — для подтверждения требований к вероятности Rз = 0,95, у = 0,9 по результатам объединенных испытаний при
nQ = 46, dQ = 0.
Таблица 15.9 Результаты расчетов числа летных испытаний лад и пл
|
Нетрудно видеть, что лад =пл « 25, т. е. « п0/2 хватает и для проверки адекватности и для подтверждения заданного значения вероятности при условии, что это значение подтверждено результатами моделирования.
[1] Центральный аэрогидродинамический институт.
Рис. 8.2. Стратегия поиска и изучения особенностей динамики и управляемости опытного самолета при летных испытаниях и установление допустимых эксплуатационных границ
[3] R = £/2, т. е. величина среднего риска при ц < 1 и I; £ 1 — т| не зависит от у.
Приведем далее уравнение, полученное для расчета оптимальной величины контрольного допуска и учитывающее корреляционную зависимость между у и 5, для нормальных плотностей вероятностей /і (у) и /2 (5). Пусть эксплуатационный допуск на параметр является симметричным, тогда уравнение оптимальной величины контрольного допуска будет иметь вид:
[4] правило браковки системы