УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА. МАСС САМОЛЕТА

Уравнение движения центра масс в векторной форме

Положение и движение самолета в полете определяют относительно поверхности Земли. Поэтому за основную систему отсчета, принимают геоцентрическую неинерциальную систему ко­ординат, связанную с Землей и совершающую вместе с ней суточное

вращение с угловой скоростью со3 (земная система отсчета).

Движение центра масс самолета описывается динамическим

—► —>- —►

уравнением (1.7), которое после подстановки FBIi = RA + mgr примет вид

m^^P + RA + mgr + F’ + F*, (1.32)

где 1/к — вектор скорости движения центра масс самолета относи-

—►

тельно Земли и gr — вектор гравитационного ускорения.

Переносную и кориолисову силы инерции, связанные с враще­нием Земли, определяют известными из теоретической механики выражениями

Fe — — mWe == — m[iо3 х (со3 X r)]

KK = — m#K = — 2m(to3 x VK), . (1.33)

где r —- радиус-вектор, проведенный из начала геоцентрической си­стемы отсчета 0° в центр масс самолета; We и И7К — переносное и кориолисово ускорения центра масс, обусловленные вращением выбранной геоцентрической системы отсчета относительно инер­циальной. ‘ .., .

Поскольку в справочных таблицах обычно приводятся значения ускорения свободного падения с учетом переносной силы инерции в зависимости от высоты, то в правой части уравнения (1.32) можно

геометрическую сумму сил гравитационного притяжеция. mgr и переносной силы инерции F1 заменить силой тяжести G:

G = mgt + Fe — mg. (1-34)

—> s

В (1.34) g—вектор результирующего ускорения свободного паде­ния и центробежной силы,.

Векторное уравнение (1,32) с учетом (1.34) запишем в виде

т^г=? + ^ + ®1+?к — О-35)

Как было указано в § 1.1, при практическом применении вектор­ное уравнение движения проектируется на оси прямоугольной си­стемы координат. Выбор систёмы координат для составления-диф­ференциальных уравнений движения центра масс самолета опреде­ляется задачей исследования. При исследовании траекторий обычно применяют траекторные оси. В то же время задачи устойчивости и управляемости удобнее рассматривать в связанной системе коор­динат.

Уравнения движения центра масс в траекторией системе координат

Наиболее простую и удобную форму система динамиче­ских уравнений движения центра масс самолета (поступательного движения) примет, если векторное уравнение (1.35) спроектировать на оси траекторной системы координат.

Применяя формулы (1.9) для проектирования левой части урав­нения (1.35) и учитывая, что 1/*„ = VI:, Vm = Vzi: =0, получим

тУк = Рхи Г Ххк ~Ь GXK ~Ь Р*к‘> тыг^Ук — Р!,к г Уi; b G,;K — F(1.36) — тыугУК — РZK “Ь ~Ь GZK ф F*к,

где (оун, согк — проекции на траекторные оси вектора угловой ско-

—У

рости (о„ вращения траекторной системы координат относительно Земли; в правой части приведены проекции соответствующих сил на траекторные оси.

Для написания этих уравнений в развернутом виде необходимо

—►

найти проекции угловой скорости сок, а также проекции кориоли-

—V

совой силы инерции FK на траекторные оси. Проекции внешних сил и тяги на эти оси были определены в § 1.6.

Угловую скорость со„ можно представить в виде суммы переносной

угловой скорости сокр нормальной системы 0XgYgZg в системе от-

» —►

счета O^X^YqZq и угловой скорости сок& вращения скоростной си­стемы относительно нормальной:

—► —У —У

сон = соКр -|- coKg. (1.37)

—►

Переносная угловая скорость сокр, в свою очередь, может быть представлена суммой угловых скоростей:

Шкр —Я-ф-ф, (1.38)

. —>•

где К — угловая скорость поворота меридиональной плоскости,

—-V

содержащей центр масс О, вокруг оси вращения Земли; ф — угловая скорость поворота радиуса-вектора центра масс в меридиональной плоскости вокруг оси, лежащей в плоскости экватора (см. рис. 1.4).

Угловая скорость coKg также может быть представлена в виде

суммы угловой скорости Фг вокруг ОСИ OYg и угловой скорости 0 вокруг оси OZg (см. рис. 1.5):

Используя табл. I (см. приложение) направляющих косинусов, находим проекции вектора сок на оси OY„ и OZK траекторной системы

co^j, = Я (sin ер cos 0 — cos ф sin Y sin 0) ф sin Y sin 0 + !F cos 0;

согк = Я, cos ф sin V — ф cos V ~f — 0, (1-40)

которые после подстановки выражений (1.21) в результате неслож­ных преобразований будут иметь вид

gj,(K = ¥ cos 0 V sin 4r cos20 tg ф/(/?з — f Я);

co2K = 0 — И cos Q/(R3 + Я). (1.41)

Найдем теперь проекции кориолисовой силы инерции на траек — торные оси. Вектор кориолисовой силы инерции определяется из­вестной из механики формулой

FK ~ — mwK = — 2т(и3 х Кк) (1-42)

и перпендикулярен (03 и Ук.

Проекции кориолисовой силы инерции на оси траекторной системы выражаются формулами

Кк = 0; FyK = 2ma>aVR cos ф cos

F*к = 2mcoaVK (sin ф cos 0 — cos ф sin ‘P sin 0).

Подставляя в (1.36) выражения для проекций угловых скоростей, определенные формулами (1.41), проекции тяги, аэродинамической силы, силы тяжести (см. формулы (1.27) и (1.28), а также (1.30)) и проекции кориолисовой силы инерции, выраженные формулами (1.43), получим систему динамических уравнений движения центра масс самолета относительно сферической вращающейся Земли в про­екциях на оси траекторной системы координат (при отсутствии ветра ук = V, ¥ = фи):

mV — Р cos (а + ф,) cos р — Ха — mg sin 0; (1.44)

mVQ = Р [sin (а + Фр) cos уа -{- cos (а +- фґ) sin P sin уЭ+ Уа cos уа —

— Zu sin y„ — mg cos 0 — j0$mu>3V cos ф sin ‘P — f mV^cos 0/(/?3 Я);

7 (1-45)

— mV cos 0 *P = P [sin (а + Ф/ ) sin ya — cos (a ф^ зіп p cos yj -|-

-j — Ya sin yu + Za cos ya -1- 2/ж.>зV (sin ф cos 0 — cos ф cos lP sin 0) —

— mV2 cos2 0 sin Y tg ф/(/?8 + Я). (1.46)

Эти уравнения называют уравнениями поступательного движения.

Приведем некоторые оценки величин членов правых частей уравнений (1.44) … (1.46), связанных с суточным вращением Земли и кривизной ее поверхности. Кориолисова сила, связанная с вра­щением Земли, пропорциональна скорости полета. При скоростях полета свыше 2000 … 3000 м/с кориолисово ускорение составит 2 … 3 % от ускорения свободного падения. Центростремительное
ускорение, обусловленное кривизной Земли, пропорционально ква­драту скорости полета и при скорости 1000 м/с достигает около 1,6 % от ускорения свободного падения. При расчете траекторий самолетов, летающих со скоростями до 1000 м/с, кориолисову силу инерции и силу инерции, связанную с кривизной поверхности Земли, обычно не учитывают.

В динамические уравнения движения центра масс входит масса самолета, заметно меняющаяся у некоторых типов самолетов в про­цессе полета. Э общем случае характер изменения массы самолета из-за выгорания топлива зависит от скорости, высоты полета и режима работы двигателя:

m = — mT — qs, (1-47)

где qs {V, Н, R) — секундный массовый расход топлива; R = = Р/Рном — степень дросселирования тяги двигателя.

Перегрузка. Уравнения движения центра масс в безразмерной форме

При исследовании многих задач динамики полета исполь­зуется понятие перегрузки. Перегрузкой называется отношение суммы векторов тяги и полной аэродинамической силы к величине силы тяжести

(1.48)

. Вектор перегрузки характеризует маневренность самолета, по­скольку он учитывает величину и направление сил, изменяя кото­рые, можно управлять полетом.

Проектируя вектор перегрузки на оси координат, получим составляющие перегрузки по осям. Проекции перегрузки на оси скоростной системы координат равны:

■ і

^ cos (<х + Фя) cos Р — JQ;

Oj/a = -^g[/>sin(a 4-фр) +FJ; ‘ (1.49)

«;« = -^[—Р COS (a — f фя) sin р + ZJ

и называются соответственно тангенциальной, нормальной’скорост­ной и боковой перегрузками.

Проекции вектора перегрузки на оси траекторной системы координат составят (при отсутствии ветра):

пхк = і cos (« + Фи)cos Р — *a] = пха

п1т = Р fsln (« + COS Уа + cos (о — f Фя) Stalin уа1 +

+ Ya cos у a — Zu sin Y0} = nya cos у a — nzU sin ya nzк = -^{p [sin (« f Фг) sin Vo — COS (os ] фР) sin p cos yJ h + У a sin ya + Za cos = tiya sin Yn + «го COS Yo-

В (1.49) и (1.50) аэродинамические силы определены в скорост­ной системе осей координат. .

‘ Разделив левые и правые части уравнений (1.44) … (1.46) на О = mg, получим динамические уравнения движения центра масс в перегрузках

V ?= пХа — sin 0;

-jr ё = tlya COS Yu — «za Sin Yu — COS 0 |-

f — cos ф sin ¥ (/?з + //)’. (1.51)

——— — і = nya sin Yu — «70 cos Ya H — — C0B к (simp cos 0 —

8 ,8

— cos ф cos ¥ sin 0) — Vі cosE0 sin ¥ tg <p/(Rs — f H).

‘При рассмотрении частных случаев движения самолета выра­жения для проекций перегрузки значительно упрощаются.

Для]) полета без скольжения (ft == О, Za = 0) с малыми углами атаки, когда можно принять sin (a + фР) « а + фР, cos (os + + Фр) » 1, формулы (1.49) и (1.50) примут вид

Р-Ха. .. Р(а + Фр) + Ко. ха~ mg ■’ пч°~ Ищ *

пга = 0 (1,52)

и, без ветра, " ‘ 1 ‘ ■

«жк ~ «зса» пу* =.■«№COS Yu’.. «Лі = «j/аSin Yu — (15 )

В проекциях на связанные оси вектор перегрузки может быть представлен составляющими пх, пу и nz, которые называются продольной, нормальной и поперечной перегрузкой соответственно. Используя таблицу направляющих косинусов, получим

Пх = пха COS a COS Р + пиа sin о — nzu cos os Sin Р; 4

пу — — пха sin a cos Р -)- пуа cos a + пга sin a sin P; (1-54) «г = nxa Si» P + «га cos P-

§ 1.8. ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ САМОЛЕТА ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС

Исследование движения самолета относительно центра масс (вращательного,- илн углового) удобно выполнять, если ис­пользовать динамические уравнения в проекциях на оси связанной системы координат 0XYZ. При изучении углового движения само-

лета так же, как и при определении траекторий центра масс, при­меняют в качестве системы отсчета неинерциальную систему, свя­занную с Землей.

Проектируя векторное уравнение (1.8) на оси связанной системы координат и применяя формулы (1.9) для вычисления проекций производных по времени от вектора кинетического момента самолета, получим систему скалярных уравнений движения самолета относи­тельно центра масс (вращательного, или углового движения)

*§.- + coyKz-a>zKy = MRx)

-j — агКх ьзхКг = Мру’, (1.55)

A TS

-rff — •+ ЫхКу — Ь)1/Кх = Мрг,

где К. х, К у, Кг — проекции вектора кинетического момента са­молета на связанные оси координат; (ох, ыу, (oz — проекции век­тора угловой скорости самолета относительно Земли на те же оси; MRx, MRu, MRz — проекции результирующего момента аэроди­намических сил и тяги относительно центра масс на те же оси. Сле­дует иметь в виду, что момент массовых сил (сил тяжести, центро­бежных и кориолисовых сил инерции) вокруг центра масс самолета равен нулю.

Угловая скорость самолета относительно Земли является сум­мой векторов угловой скорости самолета относительно нормальной

системы координат и угловой скорости (о«р вращения нормальной системы координат относительно Земли вследствие кривизны по­верхности Земли, Для реальных условий полета самолета последняя

составляющая ы„р мала и ею можно пренебречь.

Проекции кинетического момента К на произвольные подвижньЙ! оси записываются в теоретической механике^как /’V-;

Кх JХ^Х ‘ /xytoy /хг(0г)

где /ж, Jy, Jz осевые, а 7*„, Jxz, uJyZ — центробежные моменты инерции, которые определяются формулами:

Jx = J (уг + z[5]) dm Jy — J (Xі — f z-) dm)

m m

Jz = j (Xі + Уъ) dm; Jay = jxy dm

. m m

Jxi = j xz dm) Jyz = j t/z dm.

m m

Моменты инерции самолетов с заметно изменяющейся в полете массой являются функциями времени.

Поскольку основная плоскость OXY связанной системы коорди­нат является плоскостью симметрии самолета, то в связанных осях центробежные моменты инерции, содержащие координаты г, равны нулю: Jxz — Juz — — 0.

С учетом этого упрощения, используя выражения (1.56), урав­нения (1.55), запишем в виде

Jх^х ^ху®у і г ^ у) ^ ху^х^у == рх)

Jу®У ^ху®х (/ж ‘ *^г) ®жВ)г Jx^z == ^Ry’i

Jг Ь (^у ^х) ^[>х^[)у Jxy (Щ* Wp) = Аі рг.

Подробнее выражения для проекций результирующего момента MRx, MRy и MRz будут рассмотрены во второй части книги при анализе углового движения самолета.