Особенности цифровой коррекции при наличии слабодемпфированных колебательных звеньев

В некоторых случаях коррекция замкнутых систем может быть достигнута за счет прерывистого (дискретного) характера управления, т. е запас устойчивости исходной непрерывной системы может быть повышен при осуществлении процес­

са квантования сигналов по времени с их последующим восстановлением, напри­мер, при помощи экстраполятора нулевого порядка. Дополнительный демпфиру­ющий (стабилизирующий) эффект, возникающий при дискретном характере уп­равления, наблюдается, если непрерывная часть содержит колебательные или кон­сервативные звенья.

Этот эффект основан на транспонировании собственных частот колебаний таких звеньев и может использоваться для демпфирования весьма сложных в динамическом отношении систем [38].

Рассмотрим систему, непрерывная часть которой имеет передаточную функ­цию

Дискретная передаточная функция разомкнутой системы при экстраполяторе нулевого порядка

й=е-Еп,

п

Перейдем к дискретной частотной передаточной функции, заменив

г і ±jm 2

shS^-^-sinp7′

1 + V ‘ дт

rh 5 — — cos pT Ti

^>0 sh Є — sin pr > 0, chz~ — cos 8Г >0,

Ті і Гір Гі

Выражение (2.113) можно представить в следующем виде:

Здесь Тэ, 77, ёэ — эквивалентные постоянные времени и эквивалентный коэф­фициент затухания разомкнутой дискретной системы.

Как следует из выражений (2.115) эквивалентные постоянные времени тэ и 77 и эквивалентный коэффициент затухания представляют собой сложные функ­ции нескольких аргументов (7 | и Ті).

На рис. 2.7. даны графические зависимости |э построенные для различных значений коэффициента затухания непрерывной части системы |. Анализ полученных графических зависимостей и выражения (2.113) показывают, что при дискретной системе с непрерывной частью (2.111) при соответствующем выборе отношения 77Г] можно получить любое значение коэффициента затухания

S < $э < I

и осуществить транспортирование сопрягающей частоты 1/77 как в высокочастот­ную, так и в низкочастотную область.

Возможность использования демпфирующих свойств квантования по време­ни, проявляющихся в увеличении эквивалентного коэффициента затухания 10 очевидна. Для иллюстрации демпфирующих свойств путем транспонирования со­прягающих частот рассмотрим дискретную систему, передаточная функция непрерыв­ной части которой:

К( +Т?/>2)

Р (1 +Тр2)

В непрерывном варианте такая систе­ма устойчива лишь при выполнении очевид­ного УСЛОВИЯ Ті^Гі.

Дискретная передаточная функция ра­зомкнутой системы

W(z) = kTX

, Т . Т ті Т

— — sin — -1———— sin —

Т Ті ТТі Ті (г—1)^ г2— 2гсоБ + 1

Перейдем к дискретной частотной передаточной функции

А [I +7’э(Д)2]

W (Л) = ■

(2.118)

(2.119)

л3 +а о?2 + аг + а2 = О,

Т Д 1 —— > — (2k — 1) + arcsin — , fe = l,3,5,… 2Гі 2 М

 

Рис. £.8. Области усюі’нмвосги

Формулы (2.120) совместно с условиями устойчивости позволяют легко опре­делить предельное значение коэффициента КТ и допустимую величину T/Tt в за­висимости от требуемой величины показателя колебательности М.

При ті = 0 непрерывная система становится структурно неустойчивой. Однако, как следует из выражении (2.120) и рис. 2.9, использование только дискретного характера управления дает возможность и в этом случае получить достаточно большие запасы устойчивости.

На рис. 2.8 представлены области устойчивости, построенные в плоскости параметров КТ, Г/27 для различных значений у=ті/7.

При использовании дискретного управления для целей демпфирования наи­больший интерес представляет не сам факт устойчивости или неустойчивости сис­темы. а вопрос обеспечения достаточного запаса устойчивости. Чтобы оценить за­пас устойчивости системы, рассмотрим поведение ее логарифмических частотных характеристик. Логарифмические характеристики построим по выражению (2.118). Из аналитических выражений для эквивалентных постоянных времени т, к Г3 следует, что в устойчивой системе всегда тэ>Г3.

На рис. 2.9 построены два варианта логарифмических частотных характери­стик при дискретном управлении. Анализ взаимного расположения амплитудных и фазовых характеристик позволяет сформулировать два условия, выполнение ко­торых обеспечивает требуемый запас устойчивости системы, оцениваемый величи­ной показателя колебательности М.

Из выражения (2.120) следует, что запас устойчивости сильно зависит от отношения Т/Ті. Значения Т/Тt, близкие к 2«я (n= 1, 2, 3,…), являются наибо­лее предпочтительными. Это позволяет считать целесообразным построение само­настраивающихся дискретных систем управления, обладающих переменным (наиболее благоприятным) периодов дискретности. Величина периода дискретно­сти должна перестраиваться в зависимости от резонансной частоты консерватив­ного или колебательного звена. Такой путь построения систем является рацио­нальным. когда в процессе работы происходит изменение резонансной частоты в широких пределах.

г — 2г cos — + 1 Ті

При единичном ступенчатом воздействии на входе изображение величины иа выходе замкнутой системы имеет вид

г _ W (г, а) г г— 1 ~ 1 +W(z)’Z— ‘

Для определенности рассмотрим случай, когда Г/Ті«2пя. Ординаты переход­ного процесса, определяемые коэффициентами разложения функции У (г, о) в ряд Лорана в окрестностях начала координат, равны

Как следует из выражения (2.123), высокочастотные колебания внутри интер­валов дискретности быстро затухают, а очертания кривой переходного процесса в моменты съема определяются величиной коэффициента КТ. (При ЯТ<1 процесс является апериодическим, а при 1<К7<2 — колебательным. При КТ= 1 процесс имеет конечную длительность. Возможные очертания переходного процесса при­ведены на рис. 2.10.