Планирование объема испытаний при использовании байесовского метода

Байесовский метод оценивания в традиционной форме используется для анализа результатов испытаний и не приспособлен для решения задач планирования. Действительно, методика байесовского оцени­вания показателей эффективности системы основана, по существу, на использовании эмпирического байесовского подхода, при кото­ром априорная плотность распределения P(R) определяется по пред­варительным экспериментальным данным. Такой подход применим лишь в случаях, когда оцениваемый показатель эффективности при переходе на следующий этап отработки не измеряется по какому-либо неслучайному закону. При выполнении этого условия для подтверж­дения заданной вероятности достаточно проведения необходимого объема предварительных испытаний, последующие испытания для уточнения полученной априорной оценки не требуются.

Таким образом, целью проведения последующих испытаний мож­но считать проверку гипотезы о стационарности параметра R, кото­рая, как будет показано ниже, сводится к проверке гипотезы стати­стической однородности априорных и экспериментальных данных.

В том случае, если результаты последующих испытаний оказы­ваются однородными с принятым априорным распределением, па­раметры которого выбраны из условия подтверждения по априорным данным заданного значения показателя эффективности с необходи-

image402

Подпись: Рис. 14.1. Сравнение по точности различных методов получения объединенных оценок: а — зависимость среднего риска Wот объема выборки п б — зависимость объема испытаний п для подтверждения заданного значения А,; кривая 1 — метод максимального правдоподобия, кривая 2 — метод параметрических функций, кривая 3 — байесовский метод, кривая 4 — байесовский метод при учете неоднородности

Объединенные оценки показателей эффективности, полученные разными методами

Метод

получения

оценок

Алгоритмы получения оценок

Свойства

объединенной оценки

Выигрыш В точности

Характеристика

Байесовский

метод

оценивания

P(R/X) = ,

P0(R)P(X / R)dR

о

где Pq(R) — априорное рас­пределение; Р(Х/К) — фун­кция правдоподобия измере­ний

Нормальное биномиальное распределение:

1 п^>

Лб=—1— X*,

"о+пы

Оценка по объединенной выборке (л0 + л):

/І0 +Л /І0 +Л

где Д),^кс — априорная и экспериментальная оценки

Условие несмещенности: M[B0] = M[R3KC] = R

Оценка обеспечивает минимум среднего риска

оо оо

W= fdxTI(R, R)P(X/R)Pq (R)dR

при квадратичной функции потерь

п(л, л)=(л-л)2

Степень уменьшения дисперсии зависит от вида

распределения и соотношения между величиной и точностью априорной и экспериментальной оценок

Имеется

развитая теория

байесовского

оценивания. В

качестве

априорной

информации

может быть

использована

как

статистическая,

так и экспертная

информация.

Обеспечение

несмещенности

байесовских

оценок требует

проверки

статистической

однородности

объединяемых

данных

OS

40

U)

ON

NO

-tb

 

Метод

линейного

объединения

4*=1>А

1=1

Д — составляющие оценки; ос, — весовые коэффициенты

Условие несмещенности:

Xа/ =1; Л/ГД1 = Л; / = 1……….. /t

м

Условие эффективности:

1 / 1

ai = d г*—’

/ ы

где dt — дисперсия оценки Д

При равных dj do6 _ 1

dt к

Частный случай

байесовской

оценки

Обобщение байесовских оценок при неоднородных объединяемых данных

46=Jp^+(i-Jp)4KC.

где Р — вероятность од­нородности объединя­емых данных

Величина смещения для оцен­ки по объединенной выборке:

Д=±Р ЦР),

/^+/1

где 8(Р) — погрешность стати­стического решения об одно­родности.

При Р-> 1 Д->0

ddo _pl, ^ЭКС ^экс

+(1 — р)1

(ниже точности байесовских оце­нок)

Требует (на основе использования критериев статистической неоднород­ности) расчета вероятности Р

Метод

коррелиро­

ванных

процессов

A*=АКкс+RRo+CR’

А

где — модельная оценка;

R — известное при модели­ровании истинное значение:

А

Аэб^кс-^К-*).

Условие несмещенности:

В+ С =0

Условие эффективности:

^ = Ао/Аю»

где Z)jq — ковариация между экспериментальной и модель­ной оценкой; /)00 ~ дисперсия модельной оценки

4об _ 1

4.КС І-‘-2’

VAlAx)

коэффициент кор­реляции

В качестве априорной информации могут быть использованы только резуль­таты моделиро­вания с извест­ным истинным значением R

 

 

Джс-

ni=1

Ао =~S(^kcx _ Акс)(% ~ А’

^оо=^1К/-Л)2.

"(=1

пЫ 1

Замена истин­ных неизвест­ных /)10, D0о их оценками приводит к снижению точности объединенной оценки

Метод

параметри­

ческих

функций

4б = ^0 + ^1 Дэкс ’

А Л

*об = ^0 + ^экс ’

А А

^об "" ^1^ЖС’

Я-рХо — параметрические функ­ции, определяемые на основе априорной информации из ус­ловия обеспечения желаемых свойств оценок

При мультипликативной модели из условия среднего риска для биномиального распределения

х. 1 , muo~m(r2)

пм[яЧ

И’об 6л

^ЭКС 3(1 + 2//)

^об _ 6(л + 2) «"б 3(1 + 2я)

(ниже точности

байесовских

оценок)

Автоматически учитывает воз­можную неодно­родность объе­диняемых данных. Пара­метрические функции имеют сложную нели­нейную зависи­мость от момен­тов априорного распределения, полученную лишь для про­стейших случаев

мой доверительной вероятностью, требования к показателю эффек­тивности можно считать подтвержденными.

В качестве статистики для проверки гипотезы однородности при подтверждении требований к вероятности выполнения задачи может быть использовано число успехов т при проведении испытаний. Тео­ретическим законом распределения этой величины является безус­ловное распределение Р{т), учитывающее как априорную, так и эк­спериментальную информацию. Слишком малые или слишком боль­шие значения т говорят о том, что экспериментальные данные не согласуются с принятым априорным законом распределения эффек­тивности. Однако использование такой статистики не позволяет пла­нировать число испытаний.

Подпись: P(n/d,q) = image404

Более удобной в этом отношении является статистика — число я испытаний до получения заданного числа отказов. Если число отка­зов d зафиксировано, а число испытаний является случайной вели­чиной, то функцией правдоподобия является распределение Паскаля

где q = l-R — вероятность отказа.

Априорным распределением для вероятности отказа является 13-

распределение с параметрами Уо > ‘По :

Р(д) = В{у0,ц оУ10"1^-?)70"1-

Планирование объема испытаний при использовании байесовского метода Подпись: (d+Цо -1)!(Xq +n-d)!(я-1)!(у0 +Лр -1)! (d -1) !(т|0 -1) !(YQ -1) !(л+Y0 + Л0 "!)!
image405

Безусловное распределение числа испытаний до заданного числа отказов d представляет собой бета-паскалево распределение:

Значения нижней и верхней границ критической области опреде­ляются из условия:

Вер{я^лв} = Yi» Вер{я<лн} = 1-у2,

где у. + у — -1 = у ~ заданная доверительная вероятность.

Так как таблиц бета-паскалева распределения не существует, то для практических расчетов удобно использовать биномиальную апп­роксимацию интегральной функции бета-паскалева распределения при условиях d « л, т|0 « у0 +т|0, л « у0 +т)0 — 1, </ + т|0 « max{Yo +Ло*я}:

Планирование объема испытаний при использовании байесовского метода

 

Планирование объема испытаний при использовании байесовского метода

Для верхней границы с учетом дискретности распределения имеем:

Вер{л £ л,,} = 1 — Вер{л й «3}+Вер(яв) = Yi,

гле Prnfrt/1- (^+11о~1)!(‘Уо+яв~</~1)!(яв~1)!(уО+11о~1)!

(</-і)!(л0-1)!(«в -^ЖУО -^("в +У0 +Ло -1)1

Минимальное число испытаний, необходимое для проверки ста­тистической гипотезы о соответствии-экспериментальных данных ап­риорному распределению, будет не менее ян. Для высокоэффектив­ных изделий необходимое число испытаний удобно рассчитывать, исходя из числа испытаний до получения первого отказа.

При выборе d = 1 формула для односторонней нижней границы преобразуется к простому виду:

1-[1-ян/К+Уо +Л0 — I)]110 = 1~У>

откуда находим

image406

Простой вид для нижней границы получается также при Ло = 1:

Нетрудно видеть, что при y0=riQ-d0, Ло=^о + 1 полученный критерий проверки статистической однородности совпадает с крите­рием проверки равенства параметров двух биномиальных распределе­ний. В табл. 14.5 приведены критерии проверки статистической од-

ON

SO

oo

 

Критерии проверки однородности параметров ряда распределений

Распределение

Исследуемый

параметр

Безусловное распределение измерений

Решающее правило

Паскаля

R

Бета-паскалево распределение

(d + Ло -1)!(їо +яв -^-1)!(и~1)!(Уо +% -1)! (d — 1)!(л0 — rf)!(Yo -‘1)!(л + Yo +ТІ0-1)1

4, = о

"V«SYo

</ = і

^і-Л/Пмї, А "а ^

Нормальное

т

Нормальное распределение (2я)-1/2 ехр{-1(х-*о)2 Аэ«об}( V*o6 )V2

| |

о0л/1/ло + 1/« _“Na/2’ wi-a/2 “ квантиль нормально­го распределения

о2

Обратное Р-распределение 2-го рода:

, ( уь/2

/ г.2 Я о 2

p(s2/s2)= п 1, .xLLJ^iL.

V’ г*J ^ ♦ іV

V У

$2

с2-/І-а(Я-ЛЬ)>

^1_а — квантиль распределе­ния Фишера

 

 

Для математического ожидания:

• условное относительно S2 /-распре­деление Стьюдента с параметрами

 

Планирование объема испытаний при использовании байесовского метода
Планирование объема испытаний при использовании байесовского метода

-1) + »У2(я-1) п$+п

«О+л-2 «о

— h-ajl (^О + я ~ 2)> h-a/2 — квантиль распределе­ния Стьюдента

 

Планирование объема испытаний при использовании байесовского метода

• безусловное относительно З2 /-рас­пределение Стьюдента с параметрами

 

Планирование объема испытаний при использовании байесовского метода

«о п

 

п-1

 

 

/

 

Для дисперсии:

• условное относительно х обратное 13- распределение 2-го рода с параметра­ми

і-._______________ по+п.

2( 2%’ п-1

• безусловное относительно х обрат­ное p-распределение 2-го рода с пара­метрами

afrca

 

(Aw

to?

«Ь Яо+я

 

‘Ъ-1)

*0

 

ON

40

 

 

нородности априорных и экспериментальных данных для ряда других распределений, выведенные на основе предложенного подхода и со­впадающие с известными в математической статистике критериями однородности параметров распределений.

Оставьте ответ

Вы можете использовать эти HTML теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>