С УЧЕТОМ БЕЗОТКАЗНОСТИ
При эксплуатации АС к очередному моменту проведения работ по восстановлению вероятность отказа систем должна быть не выше заданного значения. Это требование вытекает из условия обеспечения безотказности АС в полете, качества выполнения полетного задания и т. п.
Сформулируем это условие как дополнительное ограничение в системе ограничений (3.5) |15|.
В произвольный момент времени t в стационарном режиме параметр может находиться в состоянии і—1,2, . .., F с вероятностью
![]() |
В соответствии с допустимыми решениями (3.3) возможно либо провести восстановительные мероприятия, либо не. вмешиваться в работу АС. Поэтому вероятность оказаться в одном из работоспособных состояний /е 1, F— 1 при заданном і равна л,- "V Di}-. Из
![]() |
![]() |
отражающее условие, чтобы. вероятность отказа Q0 на очередном шаге не превышала некоторого заданного значения v, примет вид:
(3.29)
или с учетом (3.24)
(3.30)
Теперь задача по определению правила проведения восстановительных работ с учетом указанного условия сводится к решению следующей задачи линейного программирования: определить х-1К такие, чтобы минимизировать значение выбранной целевой функции типа (3.20) при ограничениях (3.39) и (3.30).
Найдем область определения величины v. Из вероятностной природы величины v понятно, что верхняя граница I. Для
определения нижней границы цтщ рассмотрим матрицу вероятностей переходов (3.1) и выберем
qmF=mn{qiF}. (3.31)
І
Обратимся теперь к выражению (3.29) и попытаемся найти его минимальное значение. Очевидно, что оно зависит от выбора значений Оі}, так как Ци? — постоянны и задаются исходной матрицей вероятностей переходов. Без снижения общности результата допустим, что для каждого 1=, 2,.. ., F— 1 существуют решения вида Dim>0 и Dih=l—Dim, т. е. в каждом состоянии і с вероятностью Dim осуществляется изменение состояния параметра до такого значения т, для которого выполняется соотношение (3.31), и с вероятностью 1—Dim выполнено любое другое изменение. Тогда
Qc = 2 rt, Dmqmp + (1 ~Dlm) qkF]. (3. 32)
i=i
В силу условия (3.31) для любого qhF—qmF+г, е>0. Тогда (3.32) примет вид:
Qo—2 яі DimqmF-{-{ Dlm) [qmF-)-e)]==e (^ nt — ^ -)-
/=i «—і /=i )
“Ь^ 1 ~ 2 (3. 33)
Из формулы (3.33) следует, что если решения для любого і выбрать в виде распределения по возможным состояниям, то значе-
F
ние Qo всегда будет больше, чем qmF, так как 1 — ^ я;/_)(т >0.
і=і
Глобальный минимум (3.33) при выборе Dim достигается только в том случае, если Dim= 1 для всех і. Тогда
min Q0=min є ^ 1 — ^ n, Dm j + qmF=qmF-
Из этого выражения следует, что нижняя граница для величины v должна быть не меньше члена <7mF=min {qiF} матрицы вероятно-
І
стей переходов. Поэтому область определения величины v задается интервалом
min {qiF} Q <. 1. (3.34)
leTTF
Рассмотрим полученные результаты. Обычно предполагается, что минимальная вероятность отказа соответствует «новому» состоянию параметра. Для АС это верно в подавляющем большинстве случаев. Поэтому (3.34) можно записать в виде:
(3.35)
При выборе t)<^min {qiF} система ограничений будет противо-
І
речива, так как не существует таких Оц>0, чтобы выполнялось (3.29).
Уменьшение величины v означает требование обеспечить на очередном шаге меньшую вероятность отказа. Этого можно достигнуть более частым проведением предупредительных работ. Поэтому введение ограничений (3.30) может привести к уменьшению значения і*. Очевидно, что при этом возрастут средние удельные затраты, что эквивалентно снижению коэффициента технического использования (готовности). В связи с этим следует особо подчеркнуть, что при заданных вероятностных характеристиках процесса и затратах на восстановительные работы требования максимума. готовности и максимума безотказности не всегда могут быть удовлетворены одновременно. Это необходимо иметь в виду при использовании изложенной формулировки задачи. Учет вероятности отказа к очередному моменту контроля позволяет перейти к более общему критерию типа коэффициента оперативной готовности.
При введении ограничения (3.29) может измениться характер решений: возможны рандомизированные решения. При системе ограничений (3.5) решения Dis оказываются внутри подкласса Д’ — подкласса нерандомизированных решений. Введение ограничения
(3.29) в общем случае нарушает условия существования нерандомизированных решений, а это эквивалентно утверждению, что теперь решения необходимо искать не в подклассе Д’, а во всем классе Д, что и означает возможность появления рандомизации в решениях. Докажем этот факт строго.
Рассмотрим систему ограничений (3.5). Эта система (У+1) уравнений имеет ранг F, поскольку одно из уравнений является линейной комбинацией остальных. В самом деле, просуммируем
F F F
![]() |
первые F уравнений по у:зт,==0; так как для
пением, что и подтверждает высказанное утверждение относительно существования линейной зависимости.
Поскольку ранг этой системы равен F, то любое допустимое базисное решение задачи линейного программирования содержит ровно F положительных переменных, остальные переменные равны пулю (это следует из основных свойств симплекс-метода).
Из анализа системы уравнений (3.9) ясно, что при бФ] коэффициенты qSj неположительны, тогда величины (1—щ) положительны, а переменные xfs в силу определения (3.7) неотрицательны. Тогда должен существовать по крайней мере один коэффициент вида (1 -—qu), при котором для всех і XiS>0. Иными словами, для каждого і существует по крайней мере одна переменная XjS>0.
Бели ДЛЯ некоторого j существуют две переменные Xjs>0, то в некотором і-м ограничении отсутствует слагаемое с сомножителем (1 — q-a), поскольку любое допустимое базисное решение имеет ровно F положительных переменных Xis, а остальные равны нулю. Но в этом случае будет нарушено условие равенства правых частей ограничений нулю или единице. Следовательно, для каждого — і существует только одна переменная Х;я>0, а остальные равны, нулю.
Введение дополнительного независимого ограничения означает изменение ранга нашей системы до Б-Н. Из общих свойств симплекса-метода вытекает, что в этом случае допустимое базисное решение должно содержать ровно F+1 положительных переменных, а это при числе состояний в эргодическом классе ровно F означает существование для некоторого і не менее двух переменных xis>0, и условие равенства правых частей нулю или единице нарушено не будет.
Пусть для некоторого j существуют .Хд)>0 и xjp^>0, s ф р..
Ху j Хур
Тогда, используя (3. 10), получим: DJS ———————— ;БЬ =——————— .
Xjs^rXjp Xjs+Xjp
Величины DjS и Djp строго меньше единицы, что и означает существование рандомизированных решений.
Пример 3. Рассмотрим параметр, поведение которого может быть описано’ с помощью матрицы вероятностей переходов (3.16). В соответствии с (3.35) область возможных значений величины v определяется неравенством 0,03 ^н^1. Некоторые результаты решения задачи линейного программирования по минимизации (3.15) при ограничениях (3.5) и (3.29) представлены в табл. 3.2, где u — glgo, gu — значение целевой функции при ц=1 для заданного t>.
Таблица 3.2′
Примечание. Для q=0,05, g=0,0631 и и=1 при всех V. |
Из таблицы следует, что при о>0,1 введение ограничения-
(3.29) не оказывает влияния на значение целевой функции; прш о <0,1 наблюдается увеличение средних удельных затрат, причем! степень влияния зависит как от отношения затрат на восстановительные работы Q, так и от допустимого уровня отказа и.
Полученные численные результаты подтверждают сделанный ранее вывод о том, что не всегда можно одновременно получить заданные значения безотказности и готовности. В примере 3, если безотказность удовлетворяет условию о>0,1, то будет получена максимально возможная при заданных исходных данных готовность. Можно также обеспечить о<0,1, но готовность будет ниже, чем в первом случае (к возрастает). Иными словами, достижение малых значений вероятностей отказа на очередном шаге требует иногда весьма существенного увеличения затрат в системе технической эксплуатации. Как следует из табл. 3.2 затраты возрастают сильнее при больших значениях q. Это обусловлено тем, что при q, близких к единице, значение упреждающего допуска близко к границе области работоспособности F, и решение задачи линейного программирования. в большей мере определяется ограничениями
(3.29) . По мере уменьшения q влияние этого ограничения на значение целевой функции падает, а при очень малых Q не проявляется.
Аналогично ограничение (3.29) влияет. на показатели безотказности, одним из которых является средний интервал времени TFF между моментами попадания в состояние F. Результаты расчетов
т Трр{уФ) л 00
величин 1FF и отношения г| =———————- представлены в табл. 3.3.
TFF(v= I)
Таблица 3.3
Примечание. Для всех значений v при q=0,05 и 0,01 соответственно равны ■25,6 и 33,3, а все Т)=1. |
Для того чтобы представить характер изменения. величины x(v) при фиксированно, м q, найдем с помощью метода наименьших квадратов аналитическое выражение этой зависимости на интервале 0,04<ц<0,11 в форме полинома:
х=а0 — f axv — f — f….. — f, anvn,
где п=2, 3, 4.
Рассмотрим результаты расчета коэффициентов полиномов указанных степеней, суммарной ошибки (табл. 3.4) и модуля погреш
(табл. 3.5), где ні — значение н из табл. 3.2;
Таблица 3.4S |
||||||
Є=0,8 |
q=0,4 |
|||||
Показатель |
Степень полинома п |
Степень полинома п |
||||
2 |
3 |
4 |
2 |
3 |
4 |
|
O. Q |
10,08 |
9,31 |
3,08 |
4,82 |
5,00 |
2,45 |
а, |
—175,08 |
— 140,04 |
238,07 |
—75,11 |
—83,57 |
70,79 |
а2 |
841,07 |
346,76 |
—7861,79 |
368,45 |
487,77 |
—2863,31 |
а3 |
— |
2196,96 |
78034,98 |
— |
-530,31 |
30430,05 |
at |
— |
— |
252793,56 |
— |
— |
103201,06 |
Суммарная ошибка 8 2(хі — Хі)2 |
0,019 |
0,016 |
0,005 |
0,008 |
0,008 |
0,00& |
/ = 1 |
Таблица 3.5
|
кі —значение х, полученное в точке і при сглаживании по методу наименьших квадратов.
Из табл. 3.4 видно, что коэффициенты при переменных />2′
существенны, а суммарная ошибка для всех выбранных п практически невелика. Данные табл. 3.5 показывают, что максимальное значение модуля погрешности в диапазоне 0,04<о<0,11 не превышает 6%, причем увеличение степени полинома не приводит к существенному уменьшению погрешности. Следовательно, зависимость средних удельных затрат от величины v носит нелинейный’ характер, а для практических расчетов достаточно использовать уравнение ветви квадратической параболы при н>0.
Упреждающий допуск при учете ограничения (3.29) изменяется следующим образом:
v…………………………………………… 1,0=0,1 0,09 4-0,08 0,07 0,06 0,054-0,04
I*……………………………………………. 7 6 5 4 3
Для большей наглядности приведем две матрицы решений (q=0,8; v— = 0,1 и о=0,05), где указаны только элементы, отличные от нулевых.
S 1……………………………………… ‘ |
/‘ ……………………………………………….. л |
|
. 1………………………………….. |
1…………………………………… |
|
. . 1 . . . . |
0,218 . 0,782 …. |
|
. . . 1 |
. |
1 . . …. |
. . . . 1 . . |
1 . . …. |
|
1 . . . . . |
||
Vі……….. ^ |
v…… J |
Методика расчета элементов матрицы полностью соответствует изложению примера 1 § 3.1. Отличие состоит только в том, что для состояния 3 необходимо было вычислить два элемента: D3i и D33, появление которых дает основание говорить о рандомизации решений. Кроме того, сравнение матриц наглядно иллюстрирует изменение значения упреждающего допуска с i*=7 до £*=3. |