Примеры использования полиномиальной аппроксимации нестационарных параметров
Таблица 10.9
|
При этом необходимо построить критерий для проверки адекватности выбранного полинома или обоснования перехода к более сложному виду. В том случае, если дисперсия погрешности измерений известна, для проверки адекватности используемой модели используется статистика
Xo=S2{n-k)/ci2.
При неизвестной дисперсии погрешности измерений используется статистика
Fo=S2/S2,
где Sq — остаточная сумма квадратов неполной модели; S2 — остаточная сумма квадратов следующей по сложности модели.
Гипотеза адекватности используемой модели принимается, если
Xo^Xi-a(«-^) или Fo<F{_a(n-k, n-k-).
Применение неадекватной модели приводит к смещению оцениваемых параметров. При малом временном интервале смещение будет незначительным. На этом свойстве основаны модификации метода наименьших квадратов, «забывающие» прошлые данные. При использовании метода скользящего среднего оценка вычисляется из соотношения
j<m;
= т І Ь’ j>m,
i=j-m
где т — некоторое выбранное заранее число «забываемых» измерений. Дисперсия этой оценки определяется как £)(в0) =—с2 •
‘ ‘ /И
Применяются также алгоритмы, основанные на рекуррентной форме метода наименьших квадратов, например алгоритм с экспоненциальной памятью, для которого получаем рекуррентную оценку вида
во і = вом +a(*r “вам). (10.5)
где a — некоторая заранее выбранная константа сглаживания.
Поскольку операция (10.5) проводится одинаково для всех измерений, запишем выражение (10.5) с учетом более ранних наблюдений:
0О,- =аг,+(1-а)ё0/_1 =аг,+(1-а)[ёо,_2+а(г,_1-в/-2)] = — =
1-1
= а £ (1 — a)j Zi-j + (1 — a) Goo-
j=о
Таким образом, оценка fy, является линейной комбинацией всех
измерений с весовыми коэффициентами, убывающими по геометрической прогрессии.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Так как (1-а)’ = е_,_1п(1~а)> данный алгоритм носит название оператора с экспоненциальной памятью. Дисперсия оценки с экспоненциальной памятью при небольших значениях ос имеет вид:
Возможны и другие модификации метода наименьших квадратов, например число т в методе скользящего среднего может определяться не заранее, а в процессе оценивания из условия адекватности полинома нулевого порядка. Так, при известной дисперсии погрешности измерений о2 случайная величина (її -0Oi)/o имеет нормальное распределение n(o, yj(i+l)/i, поэтому статистика (г,- -0о/)/° может быть использована для текущего выбора числа т: если выполняется неравенство
(г,—0О,)/ст<£/1-а/2,
то точка Zj включается в обычную оценку метода наименьших квадратов, в противном случае происходит переход на алгоритм скользящего среднего.
Для получения рекуррентной формы метода наименьших квадратов дисперсионную матрицу, полученную по /-м измерениям, представляют в виде двух слагаемых: первого, зависящего от измерений
до /-І включительно, и второго, зависящего от /-го измерения:
А = [я/-і + •
Из теории матриц известно следующее матричное соотношение:
(1р + АВ)~1 = Ip-A(lq+ ВА)~1 В,
где А — матрица размера pxq; В — матрица размера —
единичные матрицы размера р х р, q х q соответственно.
Воспользовавшись этим соотношением, получаем рекуррентное уравнение для дисперсионной матрицы:
о
При q = 1 и со=1/а выражение в скобках представляет собой скаляр и дисперсионная матрица имеет вид
Di. lXrXfDf. і
о2 + X, D,.iXj’
Для получения рекуррентного выражения оценок представляем в виде двух слагаемых оценку полученную по / измерениям:
®< — А (■*?Щ-l^i-l+ Xf (HjZj j.
![]() |
![]() |
![]() |
Отсюда с учетом выражения для дисперсионной матрицы имеем:
ИЛИ
0, — 0|-i + AXj©,• (Z, — ).
Рекуррентная форма метода наименьших квадратов совпадает с выражением фильтра Калмана.
В [27] показано, что оценки наименьших квадратов являются состоятельными, несмещенными эффективными оценками параметров линейной модели при произвольном распределении погрешностей измерений, имеющем конечные значения дисперсии.