ОСОБЕННОСТИ ОЦЕНКИ

ЭКСПЛУАТАЦИОННОЙ НАДЕЖНОСТИ ПЛАНЕРА

ведливы только для случаев однократного приложения’ нагруз­ки. В основу расчетов надежности планера положено представ­ление о том, что каждый элемент и конструкция в целом обла­дают определенной прочностью по отношению к нагрузкам. Традиционные способы расчетов надежности с использованием коэффициентов надежности (безопасности) и запасов прочности не позволяют судить о вероятностях отказов и использовать ве­роятностные методы оценки надежности. Использование коэф­фициентов оправдано лишь в том случае, если их значения по­лучены на основе достаточного опыта эксплуатации конструк­ций, аналогичных вновь создаваемым. Такой подход неприем­лем для оригинальных конструкций, которые требуют учета ве­роятностного характера конструктивных параметров i[ 13]. Ис­пользование этих параметров в явном виде позволяет выявить — распределения (рис. 1.7) напряжения fs(s) (1) и прочности fS(S) (2), а затем вычислять вероятность безотказной работы. Основными факторами, которые необходимо учитывать при ис­пользовании вероятностных методов расчета прочности конст­рукций, являются условия ок — ; ‘

ружающей среды, свойства ис­пользуемых материалов, на­грузки, концентрация напряже­ний и температуры.

Определение напряжения и прочности для каждого крити­ческого вида отказа элемента конструкции, а затем выбор распределения напряжения и прочности, обусловливающих появление этого отказа, позво — 17_ 3ависимость вероятности безот — ляет рассчитывать показатели казной работы от распределений на-

1.8. Схема использования статистических данных при анализе надежности планера’

Схема этапов анализа надежности конструкции планера при­ведена на рис. 1.8.

Рассмотрим один из способов определения вероятности бе­зотказной работы элемента или конструкции, когда действую­щие напряжения превышают прочность. Пусть U и v случайные величины, обозначающие прочность и напряжение соответствен­но. Тогда условия неразрушения можно записать в виде

Q = U — v> 0. (1.40)

Отметим, что если прочность и напряжение описываются нормальным распределением, то случайная величина Q также имеет нормальное распределение.

В работах (13, 9] даются обоснования законов распределения, позволяющих рассчитать вероятность безотказной работы эле­мента, если распределения известны. Обозначим через fv плот­ность распределения напряжения ц, а через fu — плотность распределения прочности U. Тогда, используя (1.40), вероят­ность безотказной работы

Q = P(U>v) =P(U — v> 0).

Область перекрытия распределений напряжения fv и проч­ности fu будет характеризовать определенную вероятность от­каза (см. рис. 1.7). Рассмотрим более подробно указанную об­ласть в зоне некоторого напряжения у0. Вероятность события, при котором некоторое значение напряжения находится в ма — 28

лом интервале шириной dv, равна площади элемента с основа­нием dv:

Тогда вероятность того, что прочность U превышает некото­рое значение v0,

P(U>v0) = f f„ (U)dU. (1.41)

Do

Принимаем условие независимости U и v и, следовательно, независимости ifv и fu-

Вероятность, того, что значение v находится в малом интер­вале dv, а прочность U превышает напряжение, задаваемое этим интервалом, определяется выражением

Mo„)dt>? fu(U)dU. (1.42)

Do

Отсюда вероятность безотказной работы

<х> со _

Q = / h(v)Uh(U)du]dv. (1.43)

— ОО V

Вероятность того, что значение прочности U находится в ма­лом интервале dU,

I dU dU „

Л U о —— < U < U о +—)= fu(U0)dU.

Отсюда по аналогии с (1.41) вероятность того, что напря­жение v не превышает некоторого Uо,

и0

Р(да < Uа) = f fv(tv)dv.

Подобно (1.42)

Uo

fu(Uo)dU ; fv(v)dv.

Следовательно, по аналогии с (1.43) вероятность безотказ­ной работы для всех возможных значений прочности іU:

Q= ] fv(U) [j fv(v)dv]dU. (1.44)

Вероятность отказа

Q = 1 — Q = P(U-v).

Подставив (1.44), получим

Q = 1 — ГП fu(U)dU]dv = 1 —

— СО V

‘ со со

— [fv(v)[-Fu{v)]dv^J Pu(v)fv(v)dv. : (1.45)

Использовав (1.45), получим

_____________ со U со

Q = 1 —_ [ fu{U) [ J fv(v)dv]dU ■= 1 — (U) X. i" .

X Fv{U)dU = J [1 — Fv(U)]fv(U)dU. ■ (1.46)

Рассмотрим теперь без подробных выкладок некоторые част­ные случаи (нормальное и экспоненциальное распределение) вычисления вероятности безотказной работы.

Для нормального распределения прочности и напряжения

(1.47)

где [Xu —■ математическре ожидание прочности; |ла — математическое ожида­ние напряжения; Ои — среднее квадратическое отклонение прочности; av — среднее квадратическое отклонение напряжения; z -— нормированная случай­ная величина, распределенная по нормальному закону.

Очевидно что вероятность безотказной работы зависит от нижнего предела интеграла в формуле (1.47). Снижая этот пре­дел, мы повышаем вероятность безотказной работы. Выраже­ние (1.47) молено записать в виде

Ни — Ца

Уа2!/ — <т2а /

Используя таблицы нормального распределения, найдем Q. Рассмотрим еще один частный случай, когда прочность и напрялеение имеют экспоненциальное распределение [ІЗ], В этом случае плотность распределения прочности

fu{U) = ‘kvZT^-UU, 0 < U < оо;

плотность распределения напряжения

fv(v) — v, 0 < V < ОО.

Вероятность безотказной работы Q = Jfs(v) [ ffu{U)dU]dv = [e-Xf/]rfw = flve-(K+^u)vdu =

0 v 0 0

%v

%U + kv

Для упрощения обозначим среднее значение прочности че — рез V = l/Xjj, а среднее значение напряжения через v = 1 /Kv. Тогда

Q=U/(U + v).

Динамические модели надежности, учитывающие многократ­ное нагружение конструкции. Практический интерес к динами­ческим моделям надежности конструкции планера обусловлен возможностью описания процесса снижения прочности вследст­вие старения и накопления повреждений. Эти модели описыва­ют случаи многократного приложения нагрузки. В условиях экс­плуатации напряжение и прочность изменяются во времени вследствие изменения нагрузок и ухудшения свойств материа­лов.

В данном подразделе предлагается рассмотреть модели мно­гократного приложения нагрузки с детерминированной продол­жительностью циклов и случайной продолжительностью циклов по закону Пуассона.

Степени неопределенности напряжения и нагрузки могут быть трех видов )[ 13]:

детерминированные напряжения и нагрузки, когда они при­нимают значения, которые заранее известны с достаточной точ­ностью;

фиксированные случайные величины, когда прочность зави­сит от числа циклов приложения нагрузки. В начальный мо­мент прочность — случайная величина, которая после реализа­ции в процессе нагружения изменяется во времени известным образом;

независимая случайная величина. В этом случае последова­тельные значения случайной величины во времени статистиче­ски независимы. Обычно последовательные значения напряже­ния независимы. Прочность, наоборот, зависит от числа циклов приложения нагрузки, ее значения и продолжительности. Неза­висимость прочности от цикла к циклу может проявляться толь­ко при воздействии и других факторов, например вибрации.

Наличие трех степеней неопределенности напряжения и прочности порождает девять моделей (расчетных случаев).

Рассмотрим два случая: самый простой и самый общий. В самом простом случае напряжение и прочность — постоянные

величины. Положим, что Хі и Уі (где і=1, 2, …, п) — напряже­ние и прочность соответственно в і-m цикле. Тогда

Qn = Р[іь І2, … In],

где Qn — вероятность безотказной работы после п циклов; — событие, за­ключающееся в том, что в £-м цикле отказ не возникает.

Тогда

1, если Хі с г/,-, для всех І;

О, если Хі > Уі, для некоторых і, где 1 < і < п.

Теперь рассмотрим случай, когда напряжение и прочность — независимые случайные величины. Положим, что >fi(x) и gi(y) — плотность распределения напряжения и у* в і-м цикле (t=l, 2, …, я). Учитывая, что х, и уі — независимые случайные вели­чины, получим

Qn — in — .. ii —

= P(ln)P(In-i) ■ … — P(Ii) = П P{h)r

i=1

где P [Іі) = P(Xi < Уі) = J fi(x) f gi(y) dydx.

о 0

В частном случае, когда f и у — не меняются во времени,

Qn= П P(h) = [P{h)]n.

І = 1 :

Здесь Р(Іі) целесообразно находить с использованием стати­ческих моделей, рассмотренных в предыдущем разделе. Теперь, имея модели для Qn, можем перейти к рассмотрению моделей Q(tf), когда циклы появляются (продолжаются) в случайные моменты времени. В наших вероятностных моделях будет ес­тественно рассматривать эти случайные моменты времени как вероятностные величины.

Тогда

<2(0 = 2 0;(О<2г, (1.48)

г = 0

где 0,- (0 — вероятность появления і циклов в промежутках времени [0, 0; Qi — вероятность безотказной работы во всех і циклах.

Для пуассоновского распределения

a —at ( Ґ//Л ti

Quit) = P(N t = К) = ■’ (1.49)

k

где a. — параметр, который вычисляется как среднее число циклов за еди­ницу времени.

Теперь, имея (1.48) и (1.49), можно выделить те же случаи для выражения безотказной работы Q{t), которые были рас­смотрены ранее для Qn. …

1. Напряжение и прочность — постоянные величины. Пусть напряжение Хі — известная неубывающая величина; прочность у і — известная невозрастающая величина; т ■— такое число,, что Qni=l, a Qto+i = 0. Тогда Qj=l для i = 0, 1, 2, …, т и Qi = 0 для і = m+1, т + 2, … .

Отсюда

В частности, если Хі = х0 и Уі = уо, t = 1, 2, …, то при х’0>^ >г/0 /и = 0, а при Хо^уо т=оо.

Тогда

Q(0 = во(0<2о = е-“!,

или

Q(t) = 2 Qi(t)Q, = 1 2 0,(0 = 1.

і = о / = о

2. Напряжение и прочность — независимые случайные ве­личины. Пусть f(x) и g{y) — плотности распределения напря­жения х и прочности у соответственно. Принимаем, что в каж­дом цикле эти случайные величины независимы. Тогда 1 ■ •

Qn=Qn, п=|1, 2,… и Qo=Q°=’l,

со СО

где Q= / f(x) j g(y)dydx — вероятность безотказной работы при одном

о А

цикле нагружения.

Отсюда

= 0— at+Q at. [ — g— o. t(l~Q)’

Вероятностные методы расчета безопасности полетов прів усталостных повреждениях планера. Влияние усталостных по­вреждений элементов планера на безопасность полета предлага­ется оценить следующим образом. • •;

На первом этапе определяют целевые функции конструкции,, невыполнение которых приводит к функциональному отказу (ФО). Степень опасности ФО оценивается экспертными и рас — четно-аналитическими методами. Определяется перечень эле­ментов, связанных с ФО. Формируют логические условия воз­никновения ФО. Рассчитывают вероятность возникновения ФО из-за отказа конкретного элемента. Под отказом элемента кон — 3—822

етрукции, созданной по принципу твердого ресурса, следует по­нимать образование повреждения (трещин). Для конструкции, созданной по принципу безопасного повреждения, отказом яв­ляется повреждение критической величины (/кр)-

На втором этапе определяют вероятность неразрушения за время существования повреждения

R(t) = QftCO—*нр<0},

где g(£) ■— время существования повреждения; tKр — время достижения по­вреждением критической величины (длина трещины).

Очевидно, что .£(£), являясь случайной величиной, зависит от момента образования усталостного повреждения. Рассматри­вая произвольный момент времени £ и принимая, что за период {О, •£) контроль не проводился, получим i|(£) = £—• £0. Независи­мость случайных величин £кр и £0 позволяет полагать, что слу­чайные величины £Кр и i£(£) также независимы.

Обозначим через ftK$(x), fb{x), Ftltp (х), Ft{x) соответству­ющие плотности вероятностей и функции распределения. Тогда

R{t) = J dzj h (z + т)/ікр (т)d% =

=_/ dx J f(z + x)ftKp (x)dz = ( ftKp (%)Fi{x)dx. (1.50)

К моменту і £ усталостное повреждение не может существо­вать более продолжительный период, чем время £, поэтому

f 1, х>£;

(1-51)

( о, %<0.

Используя (1.50) и (1.51), получим

R(t) = 1 — FiKp (£) + (ftKр (х)Ъ (т)dx. (1.52)

В качестве функции распределения долговечности конструк­ции с усталостным повреждением можно использовать логариф­мически нормальное распределение с плотностью

где оз(£Кр) и ош(/Кр) — соответственно среднее значение и дисперсия наработ­ки со до размера повреждения £Нр.

Наиболее простое выражение Fц (х) получаем при отсутст^ вии контроля:

( 1, *>■£;

-Ft (х) = | (1.54)

{ l—Ft0(t — x), 0 < х < £,

где Fta — функция распределения времени to возникновения повреждений размером 4- 34

Используя (1.52) и (1.54), получаем

R(t) = l— / fiKp (T)Ftc(t — x)dx.

О r

В качестве функции распределения Ft„ (х) можно восполь­зоваться функцией логарифмически нормального распределения

Ft0(x) =Ф

где Ф(х) — функция нормированного распределения Гаусса.

Среднее значение величины а при отсутствии данных о по­вреждениях в эксплуатации можно определить по результатам ресурсных испытаний:

1 » .

а =- ы 2 lg tlо, ‘ № ■

JV / = 1

где V-о ■— долговечность элемента; N — число элементов, подвергнутых ис­пытанию.

Для оценки среднего квадратического отклонения можно ис­пользовать общепринятое значение ц=0,15.

На третьем этапе оценивают надежность при известных функциях распределения времени образования повреждения Ft, [t) и времени достижения повреждением критической велй — чины F*кр (t): ‘ ■

R{t) = 1—Ft, {t) (при отсутствии живучести);

R(t) = 1 — (t) (при наличии живучести).

На четвертом (заключительном) этапе определяют вероят­ность возникновения одной из опасных ситуаций (в том числе катастрофической) при известных вероятностях обнаружения повреждения Q+Kf (/) и неразрушения конструкции R(t):

Q”Vc= [l-Q+Kt(f)][l-«(0] < Ы0-9,

где Q+k; (/) — вероятность обнаружения трещин длиной /.

Пример оценки влияния допустимых повреждений на-.уро­вень безопасности полетов рассматривается в § 5.3.

Оценка влияния усталостных повреждений на безопасность отдельных этапов полета не рассматривается, так как повреж­дения данного типа экипажем не контролируются.