Задачи эксплуатации авиационных систем

Рост сложности авиационной техники диктует необ­ходимость многократного резервирования авиационных систем, чтобы исключить неприятные последствия их отказов. Поэтому практически все авиационные систе­мы обладают избыточностью по надежности. Понятие надежности здесь лучше рассматривать в смысле эф­фективности, т. р. полагать, что система при отказе лишь частично теряет возможность выполнять свои функции) Так, полный отказ расходомера на самолете не приводит’ к потере информации об остатке топлива

на борту, поскольку соответствующие сведения дает топливомер. При функциональном резервировании мож­но полагать, что система работоспособна в случае от­клонения ее параметров от номинальных значений, но не в полной мере. Например, расходомер, имеющий большую погрешность в измерениях, показывает оста­ток топлива, но не точно.

Таким образом, для обеспечения надежной работы авиационных систем необходимо поддерживать пара­метры, характеризующие их работоспособность, в ка­ком-то допуске, смирившись иногда с потерями, обус­ловленными отказами. Стремиться любой ценой к тому, чтобы параметры х’, характеризующие надежность, имели наилучшие значения, не нужно. Следовательно, необходимо изучить потери, которые обусловлены под­держанием надежности авиационных систем в эксплуа­тации. Потери складываются с учетом стоимости конт­роля состояния системы С2, стоимости регулирования определяющего параметра Сз или в общем случае вос­становления свойства авиационной системы после про­филактической проверки, показавшей ухудшение техни­ческого состояния системы; с4— стоимости восстанов­ления свойств системы, отказавшей в процессе приме­нения (обычно С4>Сз). В этой стоимости учитываются и потери эффективности Сі, вызванные отказом.

Эксплуатация авиационных агрегатов и систем, не оказывающих непосредственное влияние на безопасность полетов, должна быть организована так, чтобы эконо­мически это было наиболее выгодно. Такому требованию соответствует назначение оптимального технического обслуживания по критерию стоимость — эффективность или по критерию обеспечения минимума средних потерь. Минимизируемый функционал — средние потери, часто называемые «риском», по своей сути есть сумма произ­ведений стоимости операций обслуживания на вероят­ность проведения соответствующей операции в процессе эксплуатации.

Поставим задачу оптимизации обслуживания на фор­мальном математическом языке.

Изменение состояния системы во времени задается траекторией случайного процесса Xi, х2,. .., хп. В мо­мент очередного контроля этот процесс можно остано­вить и перестроить в соответствии с некоторым прави­лом d (х … хп). В зависимости от операций обслужи­вания и состояния системы х … хп будет реализовать­ся суммарный убыток c(d, Х . .. хп). Правило d необ­ходимо назначить так, чтобы минимизировать условное математическое ожидание с при условии, что результа­ты контроля системы Х, х2,…, хп известны.

Рассмотрим случай, когда наблюдаемый процесс Х,

Л’2….. хп задается нестационарной цепью Маркова со

стационарными вероятностями перехода qrs и простран­ством состояний г = 0, 1, 2, , F. После проверки в мо­

мент ti=iAt можно принять решение drs о переводе экс­плуатируемой системы из состояния г, которое выявлено в результате контроля, в состояние s. Например, реше­ние о том, чтобы не вмешиваться в работу системы, обо­значается drr — Если необходимо отрегулировать пара­метр, чтобы он принял наилучшее значение, то реали­зуется решение dr0. Затраты в этом случае равны сз, если r=f=F, и с4, если г=/Описать возможное решение удобно с помощью матрицы {ПГ8}, у которой в строке с номером г на местах s=0, 1, 2 … F стоят вероятности принятия решения drs о переводе процесса в состояние S. Ясно, что HO, s=l. Управляемый марковский процесс.

реализующийся при принятии решения drs по наблюде­ниям Х, х2,.. . , хп, описывается’вероятностями перехо­дов, образующими матрицу (v7S}, элементы которой по­лучаются перемножением матриц {qrs} и {Drs}. Управ­ляемый процесс в отличие от исходного становится эрго — дическим марковским процессом со стационарными веро­ятностями нахождения в любом из состояний /’ = 0, 1, 2. . . F. Эти вероятности я,- могут быть вычислены из уравнений:

F F

— 2 it*v*r+rcr=lO; r—Q, 1, 2… F; 2 z<s=l. (1.14) k =o r=о

Интересующее нас математическое ожидание потерь на каждом шаге контроля

F— 1 F— 1 F-1

М(с)=с2+с4 S nFDFs + cl 2j 2 nrDrs. (1.15)

^=0 «s=0 r — 0

Оптимальным следует признать такое правило выбо­ра решений ‘(т. е. назначение таких вероятностей Drs), которое обеспечивает минимум выражения (1.16) при выполнении условий ‘(1.14). Для отыскания наилучших значений Drs можно применить методику линейного

программирования. Действительно, обозначив zrs=n. rDrSt сведем задачу к минимизации линейного функционала

F~1 F-1 F-1

М(с) —C2~-Ci 2 2fs—C$ 2 2 ^rs (іІЛб.)

5=0 5 = 0 r=0

при выполнении следующих ограничений на отыскивае­мые переменные zrs:

F F F

2 %is 2 2 =fQ; і—О, Л, 2… F

5 = 0 r = 0 5=0

Р р 0-17)

2 2zis=n.

. i = 0 i = о

Ограничения (1.17) получены из (1.14) подстановкой

F

Jtj1 == 2 Zrs с учетом правил расчета Vn-

5=0

Решив задачу (1.16), (1.17), получим вероятности Drs. Эти вероятности задают так называемые рандоми­зированные решения drSj при которых, если в результате контроля выявлено, что эксплуатируемая система нахо­дится в состоянии г, можно принять с некоторыми ве­роятностями Д-s любое из s возможных решений. Есте­ственно, что гораздо легче организовать эксплуатацию, если решение принимается более определенно — указы­вается, н какое одно состояние s надо перевести систему, находящуюся в состоянии г, т. е. все Д-s равны 0 или 1. В общей теории управляемых случайных процессов по­казано, что при ограничениях типа (1.14) такое неран­домизированное решение всегда есть. Это позволяет рас­сматривать (1.16) и (1.17) как постановку целочислен­ной задачи линейного программирования, искать только такие zrs, которые принимают значения 0 или 1.

Нерандомизированные решения практически (под­робное описание есть в ‘[2]) сведутся к тому, что при некоторых значениях г=1, 2… L—1 не следует вме­шиваться в работу системы, т. е. для этих г все Д8 = О при s=l, 2… F, кроме Дг=і1. При г=Д L+l… F следует восстановить свойства эксплуатируемой систе­мы, переводя ее в состояние s = 0 ;(До = 1, а при вф0 все Д-s = 0). Граница г = Ь является упрежденным до­пуском. При достижении определяющим параметром этой границы (L^.F) следует отрегулировать его зна­чение, не дожидаясь, пока система откажет, т. е. выйдет на значение неработоспособного состояния r = F.

При принятии такого правила эксплуатации по уп­режденному допуску средние эксплуатационные затра­ты, приходящиеся на единицу полезного времени исполь­зования авиационной системы, будут минимальны. Если под полезным временем понимать налет летательного аппарата, то коэффициент его технического использова­ния будет максимальным.

Расположение упрежденного допуска L внутри обла­сти г= 1, 2 . . . F зависит от свойств случайного процесса х и соотношений между разными видами затрат сь с2„ с3, с4. Ясно, что проведение профилактической проверки имеет смысл только, если отношение с3/с4< 1. Если это отношение ‘близко К единице И Сз не отличается от Сі,, то оптимальной будет эксплуатация авиационной систе­мы при упрежденном допуске L=F, т. е. до тех пор,, пока не будет зафиксирован отказ при применении. Та­кой метод организации обслуживания носит название эксплуатации по уровню надежности. Никакого контро­ля состояния эксплуатируемой системы он не преду­сматривает. Практически эксплуатация по уровню на­дежности целесообразна только для хорошо зарезерви­рованных агрегатов и систем, что обеспечивает отсут­ствие сколько-нибудь заметных последствий их отказа в полете (с3«с4).

Если отношение с3/с4 составляет 0,1—0,2, то чаще всего l<L<i Это означает, что оптимальной является: эксплуатация системы до какого-то состояния, когда она еще не отказала, но уже требует восстановительных работ. Такой метод организации обслуживания назы­вается эксплуатацией по состоянию. Он предусматрива­ет периодический контроль состояния системы и прове­дение работ, программа которых зависит от выявленно­го контролем состояния (т. е. от того, достигло ли оно установленного упрежденного допуска). Эксплуатация по состоянию обеспечивает увеличение надежности сис­темы. Если среднее время до отказа неуправляемого марковского процесса {qrs} принять за единицу, то у управляемого процесса {vrs} оно может быть в несколько — раз больше. Конкретно оценить выигрыш МОЖНО, ТОЛЬКО’ задав численные значения {yrs} и решив задачу (1.16) —

(1.17) . Пример такого решения дан в [2], где показано,, что среднее время между отказами за счет работ, про­водимых по состоянию, может быть увеличено в 3 раза,, 38 и проведение работ по упрежденному допуску (т. е. за­дание L<F) имеет смысл при c3/c4sC0,2.

Итак, если описано изменение состояния авиацион­ной системы с помощью {qrs}, то поиск оптимального технического обслуживания становится вполне опреде­ленной задачей е хорошо отработанными методами ре­шения. Выражение (1.15), являющееся основным кри­терием поиска оптимального режима эксплуатации, можно усложнить с щелью учета различных практически очень важных особенностей использования и обслужи­вания авиационных систем. Так, можно учесть, что в результате контроля состояние оценивается не точно, а е некоторой не равной единице достоверностью [2]. Это приводит к модификации постановки задачи (1.16),

(1.17) и небольшим изменениям решения.

Если Ci^c3, то в ограничения (1.17) нужно доба­вить еще одно условие:

F Г-1 г=ох=о

отражающее требования, чтобы на любом шаге вероят­ность отказа была обязательно меньше наперед задан­ного уровня q0. Оптимальное значение допуска получит­ся теперь как решение задачи линейного программиро­вания (1.16), (1.17), (1.18). Аналогично, добавляя огра­ничения в задачу (1.16), (1.17), можно учесть, что вос­становление свойств авиационной системы происходит не до состояния г=0, а до любого из состояний г—1 . . . L—1 с какой-то вероятностью. Этот случай неполного восстановления имеет место в практике, если на регули­ровку отводятся ограниченное время и средства.

■Минимизация средних удельных потерь является ос­новой выбора оптимальных правил остановки и в случае наблюдения за непрерывно меняющимся параметром х, характеризующим состоящие системы. Одно из первых решений в этой области получено для случая, когда контролируемый параметр меняется монотонно {3]. Обозначим приращение его, замеренное в момент А = = і At, через А Хі. Будем считать, что все Ах і имеют одно и то же распределение Ф (Ах). Отказ системы наступает,

І

если X=F, т. е. Р{х, t) =P{Axi+i>F — 2 Ахч }. Средние

v=l

потери за все і шагов:

Ш(с)=саР(х,’0+С4Г1-Р(*, 0-Ь С1—19)

39

Условие монотонного возрастания процесса х позволяет утверждать, что средние удельные потери будут мини­мальны, если за счет выбора упрежденного допуска L

І

для процесса Xi= S Ах., добиться соотношения:

v tr 1

P{&.x(+1<F — *,-}<!

Взяв от обеих частей этого равенства функцию, обрат­ную распределению величины Ах, получим формулу для оптимального упрежденного допуска:

Из этого примера ясно, что определение оптимальной программы обслуживания не составит труда при извест­ной условной вероятности Р(х, it) выхода определяюще­го параметра за поле допуска до момента следующего — контроля, если в момент контроля ti он принял значение Xi. От требования монотонности изменения х во времени можно и отказаться, ограничившись условием, что ра­ботоспособность системы в данный момент определяет­ся только значением х в тот же момент, т. е., если пара­метр х выходил за допуск, но сейчас в допуске, то авиа­ционная система исправна. При этом условии рассмот­рим режим эксплуатации авиационной системы на осно-

д

ва-нии допуска на прогноз х изменения определяющего л

параметра. Если х меньше упрежденного допуска L, то принимается решение о допустимости дальнейшей экс-

л

плуатации. Потери при этом составят с41[1 — Р (х, IIх < <,L)]. Если прогноз вышел за пределы упрежденного!

допуска, то производится регулировка системы в началь-

л

ное состояние х=0. Потери составят с3 + c4i[ 1 —Р-(х, t/x = = 0)].

В среднем при любом значении потери

М(с)= f Сі[1 — Р{х, t/x)]d®(x) + f {c3+c4fl —Р(х, 1/х=0)]}с1Ф(х)., о L

л л

где Ф(д;) — функция распределения случайной величины х..

Минимум это выражение имеет при таком L, для кото­рого

dM(c) л

——— =0= (с4 pi — Р (х, t]’x=L) ] — с3 —

т. е., котда

л

—Сз + СцР(х, tjx= О)

с4

л

Условная вероятность Рх, tlx) вполне определяется

Л

прогнозом х и точностью этого прогноза ае:

Р(х, t/x=iL) =®([L — Р]/ав);

л

Р(л:, t/x=0) =Ф(Р/огв),
где Ф—функция нормального распределения с М=|0 и а=1.

Таким образом, оптимальный допуск на прогноз х зада­ется формулой

В зависимости от отно — ^ шения потерь с3/с4 допуск

-меняется (рис. 1.4). Если ■с3 слабо отличается от с4, то никакого оптимума по L нет и, следовательно, надо прекращать эксплуа­тацию лишь тех систем, у которых прогноз вышел за допустимый уровень F. С помощью (1.21)’ упреж­денный допуск может ■быть рассчитан заранее

Рис. .1,4. Зависимость относи-
тельного допуска на прогноз
от затрат на регулировку С3
и восстановление С4

до получения апостериорной информации о состоянии системы. Эксплуатация строится здесь тем не менее по-

апостериорной информации, так как ‘основа принятия /

решения — прогноз х, построенный с учетом результа — тов контроля параметра хи х2,.. . , хп. Рассмотрим поэтому один вариант организации эксплуатации ни основе только априорной информации, называемый иног­да эксплуатацией по ресурсу.

Будем понимать Р (t„, t) как вероятность в произ­вольный момент t застать эксплуатируемую авиацион­ную систему исправной и способной далее безотказно проработать в течение полета tn. Эту величину -принято — называть коэффициентом оперативной готовности. Каю и ранее, полагаем, что восстановление свойств системы (здесь за-мена ее на исправную) приводит к потерям с3, если замена проводилась в плановом порядке (напри­мер, при выработке заданного ресурса (тг)), и к потерям; с4, если заменялась отказавшая в процессе эксплуата­ции система.

Заменять до отказа в момент % имеет смысл такие — элементы или системы, интенсивность ОТКа-ЗОіВ которых X(£) = К'(£)/1—F(t) возрастает, -здесь F.(t) — функция, распределения времени от момента установки системы до ее отказа. Если — система эксплуатируется достаточно — долго, то критерием правильной организации ее обслу­живания следует выбрать предельное значение коэффи­циента оперативной — готовности P(£n)= Km P(t„, £),.

которая -определяется надежностью F (t) и ресурсом т. Такой критерий определяет и способ измерения потерь. с3 = Г3 — время, необходимое для замены исправного элемента, выработавшего расчетный ресурс т; с4=Т4 — время, необходимое для замены элемента, отказавшего в процессе работы. Естественно считать Г4>Г3.

На основании узловой теоремы восстановления мож­но написать [10]:

1 ^

P{tn, £) = — / [Ч — F(t+tu)]dt. (1.22)-

Г — 0

Математическое ожидание интервала между заменами системы либо из-за отказа, либо по ресурсу

|х=П1-£7(£)]Л+Тз[1-Х'(т)]+7’4Х'(г). (1.23>

о

В -(1.23) .первое слагаемое математическое ожидание времени работы без отказов до момента замены, вто­рое — среднее время, затраченное на замены по ресур­су, и третье — среднее время, затраченное на замены вследствие отказов.

Подставив (1.23) в (1.22) и приравняв нулю произ­водную по т от этого выражения, получим уравнение для определения ресурса, который необходимо устано­вить, чтобы авиационная система имела максимально возможный коэффициент оперативной готовности. Это уравнение (его более строгий и подробный вывод мож­но найти в |2]) при условии, что 1—F—F(t) —

—(так как ta<С /(І—F{i)dt) имеет вид:

о

Уравнение (1.24) нетрудно решить на ЭВМ относитель­но т, если известна априорная характеристика надежно­сти эксплуатируемой системы ^{t). ‘Проанализируем его решение для случая возрастающей! k(t) вида

Тогда уравнение (1.24) принимает вид (см. гл. 4)

ГДЄ Imax — ЯоТЯі(Т— 6)‘, %—Хо’Ь ^ ^1 (T

a — oo

При анализе решений этого уравнения следует учи­тывать, что ‘вероятность отказа авиационных систем в полете Рп^Х0іп всегда много меньше единицы, поэтому вторым членом в фигурной скобке можно пренебречь. Поскольку, как правило, Г4>-Т3, последний член в фор­муле (1.25) приблизительно равен Т3/ТА.

Принятая модель изменения X(t) позволяет характе­ризовать ресурс т величиной возрастания интенсивности отказов в ‘период разрешенной эксплуатации K=Xm^xl’ka — Это число задает допустимое увеличение потока отка­зов изделия в конце ресурса относительно потока отка­зов нового изделия. Сумма в показателе степени второ­го члена выражения (1.25) хорошо характеризует веро­ятность отказа авиационной степени до замены ее по ресурсу. Первое слагаемое в ней Р=ХоЬ примерно рав­но относительной доле систем, заменяемых до момента b начала возрастания интенсивности отказов. ‘Второе и третье слагаемые Р2=0,5 (т — Ь) (ДЧ-1) определяют до­лю систем, замененных после начала возрастания пото­ка отказов. С учетом сказанного можно переписать урав­нение ‘(1.24) ‘в виде, более удобном для инженерного анализа результатов его решения,

В этой записи использованы следующие обозначения; X0nlXi=^2PjK2 — 1; Лта х/уХГ = /СУ2Р2//(2 — 1-Дт =

= Pi + P2.

Допустимый уровень возрастания потока отказов К оп­ределяется в основном безотказностью системы Рі и Р2. В практически интересной области, когда ‘(P2 + Pi) <0,2, последнее слагаемое в фигурной скобке мало отличает­ся от нуля, поэтому

Из анализа простой зависимости (1.26) следует:

допустимое увеличение интенсивности отказов в кон­це ресурса тем меньше, чем меньше трудозатраты на замену изделий во время профилактических работ Т3 по сравнению с затратами из-за отказов в процессе приме­нения Г4;

■при фиксированном числе объектов (Pi + P2), кото­рые могут быть (сняты с эксплуатации в течение ресурса, допустимое с точки зрения оптимизации коэффициента оперативной готовности увеличение интенсивности отка­зов — К—ЛшахМо тем больше, чем больше Р2- Так, если до­пустимо снять из-за отказов 20 % эксплуатируемых сис­тем (Pi + P2 = 0,2), то /<=14 при Р2 = 0,15; К = 7 при Рг = 0,1 и К=5 при Р2 —0,6; с уменьшением Pi + P2, что может быть достигнуто увеличением надежности техни­ческих средств в начальный период эксплуатации, допу­стимое значение К растет. Практически (при Pi + P2)< <0,14-0,2 допустимо возрастание интенсивности отка­зов в конце ресурса в 10—15 раз.

Из примеров, приведенных в этом параграфе, следу­ет, что хорошее описание математической моделью про­цесса изменения состояния авиационной техники в экс­плуатации открывает возможность обоснования системы ее обслуживания. Последующий материал книги посвя­щен подбору таких моделей.