СЛУЧАЙНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ
Перейдем теперь к рассмотрению случайных погрешностей. Напомним вкратце основные положения теории случайных погрешностей, разработанной применительно к совокупности погрешностей, возникающих при повторном многократном измерении одной и той же величины.
Случайным погрешностям приписывают следующие два свойства:
1. При большом числе измерений одинаково часто встречаются погрешности равные по величине, но противоположные по знаку, т. е. число положительных и отрицательных погрешностей одинаково.
2. Малые погрешности встречаются чаще, чем большие.
При большом числе измерений применим так называемый з а-
кон нормального распределения случайных погрешностей, заключающийся в следующем. Обозначим через dP вероятность появления погрешности, значение которой заключается в интервале 8 и 8+d8. Тогда по закону нормального распределения
dP=y d8,
где
82 |
Величина у называется частотой появления случайных погрешностей, а с — средней квадратичной погрешностью ряда измерений. На фиг. 3. 1 приведена так называемая кривая вероятности у=/(8), соответствующая уравнению (3. 1) для трех значений о.
Для того чтобы определить величину о для рассматриваемой серии измерений, поступают следующим образом. Пусть при измерении, произведенном п раз в одинаковых условиях одним и тем же прибором, были получены следующие результаты:
Вероятнейшее значение L измеряемой величины равно среднему арифметическому из полученных значений, т. е.
^ . .4-/я
П
Если истинное значение измеряемой величины равно X, a U — каждое из п значений, полученных при измерении, то величина
Si = U—X
является случайной погрешностью измерения, а величина
Vi —U—L
называется остаточной погрешностью.
Средняя квадратичная погрешность п измерений определяется формулой
j
■у
В курсах теории вероятности доказывается, что при неограниченном увеличении числа измерений п величина о, определяемая по формуле (3. 3), стремится к значению средней квадратичной ошибки с, фигурирующей в законе нормального распределения [формула (3.1)].
Средняя квадратичная погрешность ряда измерений х а — рактеризует точность измерений. Из фиг. 3. 1 видно, что меньшему значению с соответствует преобладание малых случайных погрешностей и, следовательно, большая точность измерения данной величины; наоборот, при большом значении о большие случайные погрешности встречаются чаще, а значит точность измерения ниже.
Для определения средней квадратичной погрешности с по формуле (3. 3) нужно знать истинное значение измеряемой величины X. Так как обычно оно неизвестно, а на основе измерений определяется среднее арифметическое L и могут быть определены только остаточные погрешности каждого измерения vif то для определения а пользуются формулами, в которых подсчет С ведется через Vi — В случае ограниченного числа измерений [4]
приближенное значение средней квадратичной погрешности о может быть найдено по формуле Бесселя через остаточные погрешности Vi, значения которых просто определяются по экспериментальным данным измерений
(3.4)
Кроме величины о, точность многократного эксперимента характеризуется так называемой вероятной погрешностью ряда измерений р, имеющей такую величину, что половина всех случайных погрешностей при повторных измерениях меньше р, а половина больше.
Из теории вероятностей известно, что вероятная и средняя квадратичная погрешности связаны простой зависимостью
р * 4-с — (3-5)
о
Наконец, точность измерений характеризуют еще предельной погрешностью ряда измерений $Um, причем
511т = 3з»4,5р. (3.6)
Теоретически доказывается, что при 370 повторных измерениях
вероятно, что только одна погрешность по абсолютной величине больше Bllm.
Как средняя квадратичная, так и вероятная и предельная погрешности могут служить для характеристики точности измерений.
Мы до сих пор рассматривали параметры с, о и 3Ига, характеризующие точность процесса измерений. В теории случайных ошибок показывается, что точность результа-
т а измерений (т. е. арифметического среднего) может быть оценена одним из следующих параметров:
1) средней квадратичной погрешностью результата среднего арифметического S, равной
(3.7)
где п — число измерении;
2) вероятной погрешностью результата/?
0,6745сг г
у п у п’
3) предельной погрешностью результата ilim:
(3.9)
Для вычисления погрешностей результата S и R по величине остаточных погрешностей применяются следующие формулы:
Необходимо точно уяснить себе разницу между точностью процесса измерений и точностью результата измерений. Точность процесса измерений характеризует степень достоверности результата отдельного (единичного) измерения, в то время как точность результата измерений характеризует точность, с которой определена измеряемая величина, полученная как среднее арифметическое из нескольких измерений. Предположим, например, что нам нужно определить максимальную скорость полета на какой-либо заданной высоте, причем вероятная погрешность процесса измерений равна р = 1%>. Последнее означает, что если в качестве величины максимальной скорости мы примем величину, определенную из отдельного (единичного’) эксперимента, то равновероятно, что погрешность будет как меньше, так и больше 1%. Если же для определения величины максимальной скорости мы произведем четыре замера и примем в качестве величины скорости среднее арифметическое из этих четырех замеров, то вероятная погрешность полученного результата равна по формуле (3. 8)
0,5%.
Следовательно, в этом случае равновероятно, ‘что погрешность найденной величины Етах будет как больше, так и меньше 0,5% (а не 1°/о, как это мы имели бы для единичного измерения).
Из формул для S и R видно-, что, увеличивая число измерений, мы повышаем точность результата. Однако для существенного повышения точности результата число измерений должно быть увеличено во много раз. Таким образом повышение точности результата путем увеличения числа измерений сопряжено* с большой дополнительной затратой труда и времени.
В технической практике для оценки точности результата измерений, а также процесса измерений обычно применяют предельную погрешность. Однако в ряде случаев применяются как средняя квадратичная погрешность (особенно для оценки точности процесса измерений), так и вероятная погрешность (особенно для оценки точности результата измерений). Вследствие этого во — избежание недоразумений нужно всегда, говоря о точности эксперимента или прибора, указывать, какой параметр принят для ее оценки.
4І:
Результат измерения обычна принято представлять в виде записи следующего вида:
X — CL~~b,
где а — результат измерения, а b — погрешность результата (вероятная или предельная). Если написано
V=752+9 км/час,
где 9 км/час=ит— предельная погрешность, то эту запись мы должны понимать так: приняв в качестве значения скорости самолета 752 км/час, мы допускаем при этом погрешность, едва ли превышающую 9 км/час. Если
V=752+2 км/час,
где 2 км/час^Я — вероятная погрешность, то такую запись нужно понимать следующим образом: приняв в качестве значения скорости самолета 752 км/час, мы допускаем погрешность, которая в равной степени может быть по абсолютной величине как больше», так и меньше 2 км/час, но едва ли превысит Х1ітя^4,5R = = 4,5 -2 = 9 км/час в соответствии с формулой (3.9).
При округлении результатов измерений следует руководствоваться их погрешностями. Обычно округление производится таким образом, чтобы только последняя значащая цифра была сомнительна. Так, в приведенном выше примере, получив при обработке 752,4 км/час, мы округляем до ближайшего целого числа и пишем 752 км/час. Если принять при определении центровки самолета предельную погрешность в 0,8% средней аэродинамической хорды, то результат центровки имеет смысл записывать лишь с одним десятичным знаком, например, 23,6% САХ вместо 23,57% САХ.
Приведенные вами выше формулы относятся к случаю непосредственного (прямого) измерения величины. Рассмотрим теперь случай косвенного измерения величин, с которым обычно приходится иметь дело в практике испытаний. Пусть нам необходимо определить величину
и = и(х, у, г),
где х, у, z — величины, измеряемые непосредственно. В теории случайных погрешностей доказывается, что средняя квадратичная погрешность ряда косвенных измерений равна
где сх, су, оz — соответствующие средние квадратичные погрешности ряда прямых измерений величин х, у и z. Аналогичные формулы могут быть написаны и для вероятной или предельной погрешности ряда косвенных измерений. Эти формулы называют законом сложения средних погрешностей.
Часто вместо абсолютной погрешности, выраженной в единицах измеряемой величины, пользуются относительной погрешностью, выраженной в долях значения измеряемой величины. Относительные погрешности, являющиеся отвлеченными числами, мы будем обозначать теми же буквами, что и абсолютные, но с индексом 0 внизу:
Guo=-f> = и т. д.
Закон сложения средних погрешностей в случае применения относительных погрешностей можно написать в следующем виде:
Gu0—^ u‘iGlo+uy°lo + ul~lo’ (3.13)
где
_ х ди _ у ди z dz
х и дх ’ у и ду “ и ди
(в дальнейшем величины этого вида будем называть показателями). Выражения вида ихсх о называются частными погрешностями косвенного измерения.
Для часто встречающейся на практике степенной зависимости измеряемой величины от нескольких аргументов вида
и — kxaybz°, (3.14)
получаем
°а0 = + ^2ау0 + c2°z0 * (3. 15)
Применим формулу (3. 15) для определения средней квадратичной погрешности измерения истинной скорости, определяемой при летных испытаниях по формуле вида (3. 14)
Пусть средние квадратичные относительные погрешности измерений Vi, р и Т равны соответственно 0,5%; 0,1%; 0,3%. По формуле (3.15) получим
аКо=| f 0,52+-Г-0ЛЧ -Г-0,32 ж 0,524%.
Этот пример показывает, что если одна из частных погрешностей косвенного измерения значительно превышает остальные, то результирующая точность близка к этой частной погрешности. Поэтому для повышения точности особое внимание следует уделять уменьшению погрешности того измерения, котор О’е обладает наибольшей частной погрешностью. Так, в приведенном примере для повышения точности измерения истинной скорости следует существенно повысить точность измерения индикаторной скорости, повышение же точности измерения давления или температуры мало скажется на точности результата.
Если точность определения величины и обусловлена несколькими не зависимыми друг от друга источниками случайных погрешностей, причем известны соответствующие этим источникам средние погрешности о і, о 2, с3, то средняя погрешность величины и определяется по квадратичному закону
Так, например, точность измерения давления воздуха в полете обусловлена точностью барографа (сі), точностью поправки на искажение статического давления в месте установки приемника давления на самолете ( а2), точностью поправки на запаздывание показаний самописца (а3) и т. п. Учитывая, что перечисленные источники погрешностей не зависят друг от друга, точность измерения давления воздуха можно оценить по формуле (3. 16).