ОБЩИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭФФЕКТИВНОСТИ. СЛОЖНЫХ СИСТЕМ ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА

2.1. ПРИНЦИПЫ ФОРМИРОВАНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ

Воздушный транспорт представляет собой сложную систему, поэтому формирование показателей и математических моделей еп> эффективности должно базироваться на основных положениях и принципах формирования показателей и математических моделей эффективности сложных систем.

Показатели эффективности должны удовлетворять сформулиро­ванным в § 1.5 требованиям, обеспечивать формирование целевых функций и ограничений в оптимизационных моделях (§ 1.6), выра­жаться через переменные управления, которые контролируются (регулируются), и быть устойчивыми в статистическом отношении, т. е. обладать минимальной дисперсией.

Выбор показателей эффективности системы и построение мате­матических моделей производится на основе анализа ее структуры и функционирования, а также в соответствии с целями и задачами исследования эффективности. При этом эффективность рассматри­вается как свойство системы выполнять заданные функции при ми­нимальных затратах ресурсов и сохранении характеристик состоя­ния в заданных пределах в течение заданного периода времени. Исходя из этого определения можно предложить следующую мо­дель:

W=(M, R, S), (2.1>

где W—обобщенный показатель эффективности системы; М — комплексный по­казатель целевой производительности системы; R—комплексный показатель це­левой надежности системы; S — комплексный показатель целевой экономичности системы.

Показателем целевой производительности сис­темы М условимся называть числовую характеристику конечного результата ее функционирования

Г = Фх (U, X, V), (2.2)

где U — вектор ресурсов; X — вектор состояния системы; V — вектор воздейст­вия на систему внешней среды.

Если система детерминирована, то показатель М равен конеч­ному результату У. В этом случае применяются обычные стандарт^

ные методы вычисления детерминированных функций. Для стохас­тической системы конечный результат У является случайной вели­чиной, поэтому принять его в качестве показателя целевой произво­дительности системы не представляется возможным. В этом случае возникает проблема расчета показателя М, который является ма­тематическим ожиданием величины Y, т. е.

M = E[Y], (2.3)

Математическое ожидание конечного результата функциониро­вания системы

со

Е [У] = J ydFв (.У)*

о

где F3(y)—функция распределения конечного результата функционирования системы.

Показатель М-характеризует среднее значение конечного ре­зультата функционирования системы при многократном ее приме­нении в данных условиях. Что же касается значений величины У в отдельных операциях, то они могут отклоняться от величины У, т. е. распределяться около величины М при повторении операций. В ка­честве характеристики распределения возможных значений конеч­ного результата функционирования системы У около математи­ческого ожидания М может быть использовано среднее квадратич­ное отклонение

ау= +утуу. (2.4) Дисперсия конечного результата функционирования системы

. со

£>(У)= f {у-му-dFAy). о

Среднее квадратичное отклонение aY является характеристикой качества процесса функционирования системы (его стабильности, устойчивости). Если 0<У<1, то среднее квадратичное отклоне­ние

ау = УМ( 1 —му, 0 > М < 1. (2.5)

Как показывает опыт оценки эффективности систем, значение двух характеристик М, <тг достаточно для оценки целевой произво­дительности сложных систем гражданской авиации.

Показателем целевой надежности системы R условимся называть вероятность выполнения системой заданных функций, т. с. вероятность получения заданного конечного резуль­тата функционирования системы. В общем виде математическая модель показателя

R — Вер{ г/! <У <г/г} > (2.6)

Где у і, У2 — заданные границы конечного результата функционирования системы; Вер — оператор вероятности. >

Модель (2.6) может быть записана так:

Л = Ев(г/2) — Ув(іУі).

В том случае, когда необходимый конечный результат функци­онирования задается неравенством У^г/ь модель показателя

R = Вер [Y > у) или R=-FB(yi). . (2.8)

Если необходимый конечный результат функционирования за­дается неравенством У<г/2, то

R — Вер (Е < г/г} или R = FB(y2). (2.9)

«

В моделях (2.8) — (2.9) предполагается, что границы необходи­мого конечного результата функционирования системы задаются точно.

Однако в практике оценки эффективности систем воздушного транспорта имеют место случаи, когда границы необходимого ко — . печного результата функционирования системы являются случай­ными величинами. В этих случаях модели (2.6), (2.8) и (2.9) пред­ставляются в следующем виде:

/? = Вер{У! < У < У2У, (2.10)

R = Вер [Y >Yi}; (2.11)

R = Вер {Y < У’2), (2.12)

где Уі и У2—случайные величины, определяющие границы необходимого ко­нечного результата функционирования системы.

В дальнейшем при изложении общих вопросов определения по­казателя R будем рассматривать только модель (2.11), выражаю­щую вероятность того, что возможный конечный результат функци­онирования системы будет не мепее необходимого. Этот случай является наиболее типичным для’ сложных систем воздушного транспорта. Другие модели, т. е. модели (2.10) и (2.12), встреча­ются реже, и к тому же, как показывает опыт, расчетные модели, построенные для (2.11), легко трансформируются на случаи (2.10) и (2.12).

Модель (2.11) может быть представлена как

где Fu (у) — функция распределения необходимого конечного результата функ­ционирования системы У,; /•’„ (у) — функция распределения возможного конеч­ного результата функционирования системы У; гц—переменная, являющаяся реализацией случайной величины Уі (ОдСгц ^ оо).

Показатель R дает информацию о степени объективной возмож­ности получения требуемого конечного результата функционирова­ния системы, характеризуемого функцией распределения Ен(у). Если, например, R = 0,9, то это означает, что среди полного, мно-‘ жества элементарных факторов, определяющих конечный резуль­тат функционирования системы, 90% факторов благоприятствуют получению необходимого конечного результата, а 10% не благо­приятствуют. ■ •

На практике показатель R реализуется через частоту R *, т. е. с помощью R мы можем определить частоту наступления события

,A = (Y>Y В. (2.14)

Точность прогноза с помощью R частоты R* характеризуется сред­ним квадратичным отклонением «■’а.

“* = /*(1 Наиболее точную информацию о возможности получения необходимо­го конечного результата функцио­нирования системы показатель R дает тогда, когда его значение близ­ко к нулю пли к единице (рис.. 2.1). При R = 0 можно утверждать, что событие А (2.14) невозможно, при R— 1, что оно достоверно. При R-—1,5 имеет место наибольшая степень неопределенности информации о возможности появления интересующегй нас собы­тия А. Это. свойство показателя R должно непременно учитывать­ся при выработке с его помощью управленческих решений. Показателем целевой экономичности системы 5 условимся называть числовую характеристику расхода ресурсов на получение заданного конечного результата функционирования системы и= Ф2(Г, X, V). (2.16)

-*)■

0,15

Рис. 2.1. Характеристика точности прогноза события A=(Y^Yi)

При исследовании эффективности детерминированной системы S — U, т. е. расчет экономичности сводится к расчету затрат ресур­сов с помощью обычных детерминированных моделей. Если же про­изводится исследование эффективности стохастической системы, то расход ресурсов на получение заданного конечного результата является случайной величиной и показатель целевой экономично­сти системы:

S = £[(/]. (2.17)

Математическое ожидание случайной величины U определяется как

Е [U] = С udF(a), . (2.18)

о

где F(u) — функция распределения случайной величины U.

Показатель 5 характеризует среднее значение расхода ресур­сов на получение заданного конечного результата функционирова­ния системы. С помощью этого показателя прогнозируют средний расход ресурсов S* на достижение заданного конечного результа­та. Точность такого прогноза в единичной операции характеризу­ется среднеквадратичным отклонением

ац^уГЩЕГ]. (2.19)

Дисперсия расхода ресурсов на получение заданного конечного результата функционирования системы

оо ‘

D[U] = j(u — SfdF (а). (2.20)

Если выбрать масштаб измерения U так, чтобы то

среднеквадратичное отклонение

0£/ = 1/5(1— 5), 0<S<1. (2.21)

Каждый из рассмотренных показателей характеризует лишь от­дельные стороны эффективности системы. При решении практи­ческих задач часто бывает необходима комплексная оценка эффек­тивности. Это обстоятельство ставит задачу объединения показа­телей М, R, S в виде единого критерия.

Общаяформа критерия эффективности пока явля­ется проблемой. Используемые на практике конкретные модели отражают специфику решаемых задач. На основе анализа слож­ных систем воздушного транспорта и задач исследования их эф­фективности приходим к выводу, что в практике выбора показа­телей эффективности имеют место следующие три типичных случая:

Случай 1. Рассматривается стохастическая система, цель функционирования которой в данной операции — получение конеч­ного результата У не менее заданного Ун при выделенных ресурсах £/н. Ставится вопрос: будет ли достигнута указанная цель? Для до­стижения цели необходимо наступление случайного события А — = (Уг^Ун), вероятность которого R является показателем надеж­ности выполнения поставленной задачи, т. е. комплексным показа­телем целевой надежности (2.13). Показатель целевой экономич­ности системы

S = UJR. (2.22)

Следовательно, в данном случае основным показателем эффек­тивности системы является комплексный показатель целевой на­дежности системы R (2.13) и вспомогательным — комплексный по­казатель целевой экономичности системы 5 (2.22). Математичес­кая модель управления эффективностью системы

z-^-R^mах; Un < (7°, (2.23)

где U°H — ограничение по ресурсу UH.

Случай 2. Рассматривается стохастическая система, целью функционирования которой в данной операции является получение максимально возможного значения конечного результата У при за­данном расходе ресурсов UH. Поскольку У — случайная величина,, то ее основными количественными характеристиками являются ма­тематическое ожидание М (2.3) и cry (2.5). Характеристика М яв­ляется в данном случае комплексным показателем, а оу—дополни­тельным показателем целевой эффективности системы. Комплекс­ным показателем целевой экономичности системы может служить.

5 = U-ц/М, 0<М<1. (2.24)

Математическая модель управления эффективностью системы в данном случае ‘ —

z=M-+ max; Ua < (7°; <ху < ау , (2.25)

где ау — нормативное значение ау.

Случай 3. Рассматривается стохастическая система, цель функционирования которой. в данной операции — обязательное по­лучение конечного результата Y не менее Ун при минимально воз­можном но неограниченном расходе ресурсов U. Система прекра­щает функционирование только после достижения цели.

В данном случае очевидно, что показатели М и R не могут слу­жить показателями эффективности системы, так как по условиям задачи 7И = УН и R = 1. Переменной величиной, подлежащей оценке,, в данном случае является расход ресурсов U. Полной ее характе — > ристикой является функция распределения F(u). Параметры функ­ции распределения F(u) могут служить числовыми характеристи­ками случайной величины U. Поскольку требуется достижение це­ли функционирования системы при минимальном расходе ресурсов,, необходимо в качестве основного показателя эффективности систе­мы выбрать такой, который мог бы быть целевой функцией в оп­тимизационной модели управления эффективностью. Очевидно, чта таким показателем является комплексный показатель целевой эко­номичности системы S, определяемый в соответствии с формулой (2.17). В качестве дополнительного показателя эффективности си­стемы в данном случае может быть использовано среднее квадра­тичное отклонение ау (2.19). Математическая модель управления: эффективностью системы запишется как:

2, = S->-min; M = YnjR = 1. (2.26)

Рассмотренные три случая являются вершинами некоторого, «треугольника эффективности», внутри которого находятся все другие возможные встречающиеся в практике случаи исследования эффективности систем воздушного транспорта. Поэтому можно предполагать, что построенная на основе изложенных принципов и моделей теория эффективности будет достаточно универсальна и обеспечит решение основных задач управления эффективностью воздушного транспорта.

Отметим, что из всех трех комплексных показателей эффектив­ности системы (М, R и S) только один R может служить критери­ем эффективности, поскольку он имеет границы Osgff<l. Причем верхняя его граница = 1 является целевым нормативом. Осталь­ные два показателя М и 5 не могут быть критериями, так как имеют границы О^ЛЇ^оо, O^S^oo и не содержат информации о целевых нормативах. Таким образом, комплексный показатель, целевой надежности R является в то же время и критерием целе­вой надежности системы. Для построения критериев целевой про­изводительности и экономичности необходимо установить соответ­ствующие нормативы на показатели М и S.

Модели комплексных критериев целевой производительности и. экономичности системы могут быть представлены так:

М0 = М/МН И S0 = S„/S, (2.27)

где Ми — нормативное значение комплексного’ показателя целевой производи­тельности системы; SH — нормативное значение комплексного показателя целевой экономичности.

Выбор нормативов Мн и SH следует производить таким обра­зом, чтобы выполнялись неравенства:

О < М0 < I и 0 < 50 < 1. (2.28)

Тогда на основе системы показателей эффективности (2.1) мо­жет быть построен обобщенный критерий эффективности

Г0 = (М0, Ло, So), (2.29

где Ra — комплексный критерий целевой надежности системы, численно равный комплексному показателю R, т. е. R0=R.

С использованием критериев эффективности системы (2.29) мо­гут быть построены математические модели принятия управленче­ских решений, аналогичные моделям (2.23), (2.25) и (2.26).

В экономической литературе в качестве обобщенного показа­теля эффективности системы используется показатель экономичес­кой эффективности, представляющий собой отношение конечного результата к полным затратам на его производство:

W3~M (S)/S, (2/ЗО)

где Af(S)—конечный результат функционирования системы; S — полные затра­ты ресурсов на получение конечного результата M(S).

При формировании показателя (2.30) предполагается, что цель функционирования системы достигается с достоверностью, т. е. что Al(S) =MH(S), где Мн(5) —норматив конечного результата. Сле­довательно, имеется в виду только третий из рассмотренных выше случай исследования эффективности системы.

В технической литературе высказывается возражение против построения обобщенного показателя эффективности системы в форме (2.30)] Отмечается, что органическим пороком обобщенного показателя типа (2.30) «является то, что недостаток эффективнос­ти по одному показателю всегда можно скомпенсировать за счет другого» [14, с. 26]. Нам представляется такая критика обобщенно­го показателя эффективности системы в форме (2.30) недостаточно убедительной. Не следует забывать, что числитель обобщенного показателя (2.30) является функцией знаменателя, поэтому недо­статок эффективности по показателю AlfS) не может быть в дей­ствительности скомпенсирован за счет показателя 5. Обобщенный показатель эффективности (2.30) не приведет, к недоразумениям, если при его использовании будут строго соблюдаться условия и ограничения, при которых он построен. Важнейшие из них состоят в следующем.

1. Показатель (2.30) построен в предположении, что целевой норматив функционирования системы всегда достигается с досто­верностью и что с его помощью можно сравнивать только такие системы, для которых установлены одинаковые целевые нормати­вы. Следовательно, обобщенный показатель эффективности W3 (2.30) не может применяться в тех случаях, когда достижение це­левого эффекта не является достоверным событием или когда воз­никает необходимость производить сравнительную оценку эффек­тивности объектов с разными целевыми эффектами.

Пусть имеются два варианта достижения намеченной цели производства. Требуемый целевой эффект 200 ед. Первый вариант обеспечивает получение це — левого эффекта 90 ед. при затратах 100 ед., а второй — целевого эффекта 180 ед. при затратах 200 ед. С точки зрения показателя эффективности Wa (2.30) эти варианты /обладают одинаковой эффективностью (отношение эффекта к затра­там выражается числом 0,9). Если же оценивать эти варианты с точки зрения, достижения заданного целевого эффекта, то эффективность первого равна 0,45„ а второго—0,90. Недостатки экономического подхода в рассматриваемом случае очевидны.

2. В оптимизационных моделях показатель (2.30) не отражает сути задачи, если отсутствуют ограничения на числитель или зна­менатель. Оптимизационную модель следует строить в виде

Z = Wa-+ шах; УИ (5) > Ма (S), (2.31)

где jWh(S) — норматив целевого эффекта.

Без ограничений на M(S) максимизация показателя W3 (2.30) может привести к недопустимым с точки зрения практики выводам. Например, при оптимизации параметров самолета по величине W9 без ограничений может оказаться оптимальным такой самолет, у которого недопустимо мал показатель производительности M(S).

Модель /(2.30) обобщенного критерия эффективности далеко — не единственная. Для ряда задач более подходящими могут ока­заться так называемые модели пересечения и объединения эффек­тов. Модель обобщенного критерия пересечения эффектов

W0 = MoSq и lF0 = y? oSo — (2.32)*

Эта модель с учетом (2.27) и равенства 7?l0=lR, где R определя­ется в соответствии с (2.13), может быть записана так:

W’0 = (М (Sj/S) (Sh/Лін) и W’0=R(S) SJS. (2.33>

Обобщенный критерий ‘(2.33) характеризует степень объектив­ной возможности достижения дели функционирования системы в. условиях, когда установлены нормативы Мя, R=l, 5Н, а конечный: результат функционирования системы У и расход ресурсов U — случайные величины. При оптимизации системы по этому крите­рию должны выполняться условия O^Mo^l И O^So^l.

Модель обобщенного критерия объединения эффектов может быть представлена в виде:

+ asS0)/( ам + а3) или W"0 = (aRP0 + asS0)/(aR — f as),’(2.34> где ам, ап и ая — весовые коэффициенты критериев М0> R0 и S0.

Применительно к рассмотренным выше трем случаях исследо­вания эффективности систем критерий Wo" будет иметь следую­щий вид:

в первом случае (а^ = 1, as = 0):

W о~ R

, ‘ во втором случае (аЛ = 1, = 0):

W’0=MQ

в третьем случае (0^ = 0, ам = 0, а3

w; = s0.

В промежуточных случаях встает вопрос о назначении весовых коэффициентов «м> ая и as, который обычно решается экспертным способом.

Таким образом, формирование обобщенного показателя эффек­тивности W (2.1) и обобщенного критерия эффективности (2.30) с точки зрения теории эффективности является проблемой, которая пока еще не имеет общего решения. Однако могут быть получены частные решения этой проблемы и предложены матема­тические модели Для показателя W и критерия Wo, позволяющее при определенных условиях оценивать и оптимизировать общую эффективность систем воздушного транспорта.

На основании анализа рассмотренных моделей можно устано­вить, что для расчета показателей и критериев эффективности не­обходимо иметь множество следующих данных:

{Л. 00. Fa (У), F{u), Мп, SH}, , , (2.36)

где F*(y) — функция распределения возможного конечного результата функцио­нирования системы; F„(у) — функция распределения необходимого конечного результата функционирования системы; F (и) — функция распределения необхо­димого расхода ресурсов; Мн и Ss—-целевой •норматив и — норматив расхода ре­сурсов.

Прежде чем рассматривать принципы и методы построения ма­тематических моделей для расчета комплексных показателей и кри­териев эффективности систем, необходимо остановиться на прин­ципах определения функций распределения FB(y), FH(y), F(u), а также нормативов Мн и SH,