Г Мм На Щ’ М ^

( Кинематические уравнения связщвают между собой кине­матические и геометрические характеристики поступательного дви­жения центра масс самолета и вращения его относительно центра масс, Сэ также угловые скорости подвижных систем координат с па­раметрами движения самолета?}

Кинематическое —————

(1.18)

где г, — радиус-вектор и вектор скорости центра масс самолета относительно рассматриваемой системы отсчета.

Для получения скалярных кинематических уравнений движения центра масс найдем проекции вектора скорости центра масс само­лета на оси координат, относительно которых рассматривается дви — ( жение самолета.

При изучении движения самолетов, совершающих полет вблизи * поверхности Земли со скоростями, малыми по сравнению с косми­ческими, можно пренебречь кривизной поверхности Земли. При этом оси нормальной системы координат OXgYgZg будут параллельны

осям стартовой системы координат OXcYcZc. Проектируя вектор

скорости Ук на нормальные оси координаті и используя таблицу направляющих косинусов,([получим кинематические уравнения дви­жения центра масс самолета

§ = yKcos0cos¥; ^ = ^’== sin 0;

^ = —VuCosOslnY,’ (1.19)

где хс, ус, гс — координаты самолета в стартовых осях; Я — вы­сота полета.

При изучении движения со скоростями полета, сравнимыми с первой космиче­ской, удобно использовать земную сферическую (географическую) систему ко­ординат Я, ф, г.

Для определения проекций вектора скорости в нормальной системе коорди­нат можно использовать кинематические соотношения, связывающие их с изме-

—►

пением географических координат и радиуса г.

V^-r% H-y-rcoscp-^, (1.20)

где Vxg, Vyg и Vzg — проекции вектора скорости центра масс самолета VK на нормальные оси.

Учитывая формулы (1.20) и определяя проекции вектора скорости иа нормаль­ные оси по формулам (1.19), получим кинематические уравнения движения центра масс самолета в следующем виде

dq> VK cos 6 cos dH.. . . dX

~dt ^ Vk Sln 6’ =

где R3 H ~ r, R3 — радиус Земли; H — высота полета.

Кинематические уравнения, описывающие вращение самолета

относительно нормальной системы координат, устанавливают связь

между производными углов ф, О, у по времени и проекциями на

, —►

связанные оси вектора угловой скорости со самолета относительно нормальных осей.

Поскольку при вращении самолета изменяются углы ф, ft и у, определяющие положение самолета относительно нормальных осей,

вектор угловой скорости самолета со относительно этих осей равен геометрической сумме угловых скоростей элементарных поворотов:

со’= ф -)- 0 — у. (1.22)

Это уравнение является кинематическим уравнением вращатель­ного движения самолета в векторной форме. Проектируя векторы

—>■ ч— —►

ф, Ъ, у на направление связанных осей OX, OY и OZ (см. рис. 1.5), получим

0)Л. = ф sin О + у; ту — ф cos 0 cos у 0 sin у, сог — — ф COS 0 Sill у — f- 0 COS У-

Решая эти уравнения относительно,6ф, у, запишем искомые кинематические уравнения:

ф = sec ‘& (cOj! cos у — (o2 sin у); ft = соy sin у + ^ cos y;

у = aeK — tg ‘0- (co^ cosy — cousin y). (1-24)

Кинематические уравнения, описывающие вращение траектор­ией и скоростной систем координат относительно нормальной могут быть легко получены по аналогии с соотношениями (1.23), поскольку углы ф, ft, у и фи, ft„, у„ введены одинаково, а при отсутствии ветра ф„ == ¥, fta = 0. •

Обозначая через ыха, со;/„, со2а проекции на’ скоростные оси

—►

вектора со„ угловой скорости скоростной системы координат от­носительно нормальной и заменяя в (1.23) углы ф, ft, у на фа, fta, Yu, получим аналогичные соотношения для скоростной системы

Ыха = Фа Sill fta + У а, “до = Фа COS fta COS уа — ftu Sin уа;

“га = — "Фа COS fta Siny„ — f ftu COS y0. (1.25)

Положение траекторной системы координат относительно нор­мальных осей определяется только двумя углами f и 0. Обозначая

_>

через со*,,, содо, coZK проекции на траекторные оси вектора со„ угловой скорости вращения траекторной системы координат отно­сительно нормальной, можно записать кинематические соотноше­ния для траекторной системы

“кк = ^ sin 6; содо = Ф — cos-0; со2„ — 0. (1-26)

Напомним, что в (1.25) и (1.26) при отсутствии ветра ¥ ==фи,

fta (== 0.