МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ СОСТОЯНИЯ АВИАЦИОННОЙ ТЕХНИКИ 1.1. Основные понятия и определения

С ростом сложности авиационных систем и повыше­нием требований к регулярности перевозок, т. е. с уве­личением значимости потерь времени при подготовке к полетам, стали выдвигаться «а первый план вопросы организации технического обслуживания самолетов гражданской авиации. Ключевыми здесь являются за­дачи правильного назначения программ обслуживания в зависимости от технического состояния самолета. Сформировавшаяся в последние годы наука об эксплуа­тации, призванная дать решения этих задач, есть по сути своей наука об управлении техническим состояни­ем. Ее цель — обеспечить заданную эффективность применения самолетного парка.

Исследования в области сложных систем (например, самолеты) все более сосредоточиваются на так называе­мых апостериорных моделях. Вытекающие из них про­граммы технического обслуживания могут дать суще­ственный экономический эффект вследствие более пол­ного использования информации о техническом состоя­нии самолетов, накапливаемой в эксплуатирующих под­разделениях гражданской авиации (апостериорной информации). Такие программы принято сейчас объе­динять в понятие «эксплуатации по состоянию».

Обоснование программы технического обслуживания всегда сводится к поиску оптимального решения в зада­че, у которой в качестве исходных данных используются оценки технического состояния эксплуатируемых объек­тов. Эти исходные данные обычно содержат ошибки. Поэтому оптимальное решение можно выбирать или с учетом ошибок в оценке технического состояния или по данным, подвергнутым специальной предварительной обработке, уменьшающей влияние ошибок. Методы предварительной обработки собираемых в процессе эксплуатации самолетов данных об их техническом состоянии и составляют основное содержание книги.

Решения, принимаемые на основании уже обработан­ных сведений, могут строиться так, как будто ошибок: в исходных данных нет.

Каким бы способом ни задавались оценки техниче­ского состояния, им принято придавать вероятностный смысл. Прежде всего это объясняется неизбежными ошибками измерений. Другая причина состоит в том„ что событие, состоящее в появлении отказа, необходимо! считать случайным. Собственно из изучения вероятност­ных характеристик случайных моментов появления, отказов и выросла современная теория надежности. Для описания состояния технического объекта иногда доста­точно использовать всего один бинарный признак. При; этом считается, что объект или исправен (состояние 5 = 1), или отказал (состояние 5 = 0). При такой моде­ли описания реального явления поиск способов управ­ления техническим состоянием базируется на теории восстановления.

Можно описывать состояние объекта числовым зна­чением параметра, характеризующего качество его> функционирования. Такой параметр х, часто называемый «определяющим», может быть одно — или многомерным.. Число х иногда удобно считать переменным по t — дли­тельности эксплуатации объекта, и тогда состояние объекта характеризуется значением случайного процес­са x(t). При такой модели описания реального явления поиск способов управления техническим состоянием; базируется на теории управляемых случайных про­цессов.

Двум приведенным моделям описания работы техни­ческих объектов соответствует известное в теории надеж­ности разбиение отказов на два класса — внезапные — и постепенные.

Считается, что в момент отказа состояние S меняется скачком с 1 на 0 иля процесс x(t) пересекает некоторый задаваемый уровень хНоМ±Д ‘(здесь xHOM — номинальное значение определяющего параметра, а А — допустимое его отклонение). И в том, и в другом случае вся инфор­мация о техническом состоянии объекта содержится в величине Pj(‘t) — вероятности того, что к моменту t объект с номером j работает исправно. Эту характери­стику иногда имеет смысл детализировать, если хотим как-то использовать результаты эксплуатационного^ контроля. Тогда состояние объекта описывают величи — .6

ной Pi (tlx) — условной вероятностью того, что объект будет исправен в момент t при условии, что значение определяющего его работу параметра известно и равно х. Получение оценок Pi (tlx) с учетом собираемых в экс­плуатации данных и является нашей задачей. Далее в соответствии’ с’принципом разделения [21] по сведени­ям о Pi(t/x) может быть обоснована программа техни­ческого обслуживания, оптимальная по любому крите­рию, выдвигаемому потребностями практики. Методика такого обоснования приведена, например, в работах 13; 2].

При использовании модели внезапных отказов рабо­тоспособность объекта описывается величиной Pi (t) = =F(t), где F(t) — функция распределения времени до отказа (F(t) — функция надежности). Ту нее информа­цию, но в более удобном для приложений виде, несет интенсивность отказов X(t) = {—lnl[l — F($)]}’. Под ин­тенсивностью отказов элементов или невосстанавливае — мых объектов понимается условная вероятность отказов за единицу времени при условии, что до этого момента •отказов не было. По изменению X (t) можно судить о распределении времени до отказа к моменту t, если известно, что объект еще не отказал. Это хорошая ха­рактеристика динамики надежности. Так, например, эле­мент считается стареющим, если интенсивность его от­казов возрастает по времени. Возрастание X(t) свиде­тельствует о том, что в элементе накапливаются повреж­дения, которые впоследствии приведут к отказам. Ко­нечно, эти повреждения можно было бы обнаружить в процессе эксплуатации, но для многих агрегатов и эле­ментов авиационной техники пока не существует инстру­мента, позволяющего обнаружить процесс накопления повреждений. Тем не менее, есть широкий класс объек­тов авиатехники, у которых контроль параметров в про­цессе эксплуатации позволяет своевременно выявлять отказы. Так, в [1] показано, что подавляющее число ■отказов высотного оборудования самолетов относится к постепенным. Соотношение между этими типами отка­зов видно из сопоставления цифр в числителе и знаме­нателе второй графы табл. 1. В числителе приводятся данные для постепенных отказов, в знаменателе — для внезапных.

Укажем в качестве примера несколько измеряемых количественно параметров, характеризующих состояние

Агрегаты	Всего, % от	Распределение отказов ■выявления, 1°,	по местам
общего числа
	отказов	В — полете	Оперативное обслуживание	Профилакти­ческое обслу­живание

Датчики И соединительные линии	23—40/2—J2		16—22/1—11	6—’ 18/1—2
Вычислитель­ные устройства и пульты уп­равления	318—<66/2—5	0,5 2/0,5—Ч	36—00/2—4	1 -112/—
Устройства индикации	1—2/6—10	—./3—6	—/2—5	1-27—
По топливо­измерительным системам в це­лом	52/48	4—7	СЛ СО 1 -0	17—25

наиболее ответственных объектов авиатехники в процес­се эксплуатации: частоту вращения вала авиадвигателя на номинальном режиме я; температуру газов за тур­биной газотурбинного двигателя Т4; уход гироскопа авиагоризонта с выключенной коррекцией — уь уход гиро­датчика инерциальной навигационной системы у2- Все эти параметры должны отклоняться от паспортного (номинального значения) хн не более, чем на допусти­мые значения вниз Ан или вверх Дв. Поскольку мощность двигателя на максимальных режимах сильно зависит от частоты вращения его вала, нельзя допускать сниже­ния ее за уровень ян — Ан. Но при переходе частоты за уровень Ab4-x„ нагрузки на некоторые детали двигателя: будут выше расчетных, что может привести к их разру­шению. Для современных двигателей точность регули­рования частоты их вращения должна составлять 0,5%,. т. е. Ан=Ав = 0,005 {19]. Примерно так же обосновывают и задают допустимые границы изменения температуры, газов за Трубиной 1. Снижение температуры Т4 на несколько градусов ухудшает экономичность двигателя* а перегрев приводит к прогоранию деталей его горячей части. Уходы гироскопов, используемых в навигацион­ном оборудовании, обусловливают основные составляю­щие ошибки определения местоположения самолета, 8

Нельзя допускать, чтобы их значение превысило фикси­рованный уровень А.

Для оценки состояния авиационной техники иногда используют обобщенные параметры. Под термином обобщенный параметр понимают существующий или искусственно синтезируемый сигнал, определяемый тех­ническим состоянием функциональных элементов объек­та, связями между ними и структурой стимулирующего сигнала 1[2]. Например, состояние плат электронных блоков при их ремонте оценивают на основании контро­ля теплового поля, генерируемого ими при включении. Б качестве обобщенного параметра здесь используется сигнал тепловизора, фиксирующего температуру ряда точек на плате. Другим примером обобщенного парамет­ра является функция нескольких контролируемых пара­метров. Так, прочностное состояние двигателя определя­ется сочетанием параметров п и 74.

В качестве параметра, характеризующего работу сложной системы с резервированными блоками, можно использовать число блоков-, которые работоспособны к заданному моменту времени. Система отказывает, когда этот параметр пересекает границу я„+Д=1.

Параметр названного вида меняется монотонно (па­дает), что позволяет обосновать четкую программу обслуживания на основе его контроля.

В общем с-лучае считаем, что x>(t) — параметр оцен­ки состояния авиационной техники, получаемый при контроле на земле и в воздухе. В настоящее время для сбора сведений о таких. параметрах и запоминания их широко используют системы встроенного контроля, бор­товые регистраторы, контрольно-поверочную .аппаратуру и комплексные автоматизированные системы контроля. Результаты контроля наиболее жизненно важных систем ■самолетов обрабатываются централизованно. В процес­се обработки оценивается величина Pi(tjx), содержа­щая наиболее полную характеристику технического со­стояния объекта. Однако иногда молено ограничиться •оценками не для конкретного объекта, а средними по всему парку эксплуатируемых систем. Конечно, они бо­лее грубы, но зато и их получение связано с меньшими затратами ресурсов и времени.

Состояние всего парка эксплуатируемых объектов хорошо характеризуют показатели надежности. По дей­ствующему стандарту показателем называется количе­

ственная характеристика одного или нескольких свойств надежности. Примером их может служить налет на отказ в воздухе Та или налет на неисправность авиатех­ники, выявленную как в полете, так и на земле Тс. По своей сути такие показатели надежности являются сред­ними значениями случайной величины — наработки менаду отказами. Естественно, что они содержат меньше информации, чем распределение этой величины F(t) или интенсивность отказов K{t). Однако систематическое их изучение позволяет анализировать тенденции изменения надежности эксплуатируемых ‘Систем, оценивать эффек­тивность мероприятий, проводимых для повышения на­дежности, и изучать качество работы персонала, экс­плуатирующего авиационную технику.

Преимущество показателей надежности типа средний налет на отказ состоит в том, что они могут быть досто­верно определены по относительно малому числу сооб­щений об отказах. Это происходит из-за того, что такие, в некотором смысле интегральные оценки, как средние величины при определении их по опытным данным име­ют меньший разброс, чем оценки плотности вероятно­стей. Поэтому для определения, например, налета на один отказ авиационной системы требуется гораздо меньше времени для наблюдения за работой ее в экс­плуатации, чем для определения интенсивности отказов этой системы.

Аналогичные соображения заставляют и при изуче­нии случайного процесса изменения параметров авиа­ционных систем x(t) переходить к упрощенным моделям для их описания. Наиболее широко распространена модель марковского случайного процесса. Примером марковских случайных процессов, встречающихся при эксплуатации авиационных систем, может быть изме­нение во времени частоты передающего устройства или длительности импульсов.

Для пояснения существа марковской модели рас­смотрим параметр с заданным полем допуска А, которое разделено на непересекающиеся отрезки — состояния г= 1, 2… F. Предполагается, что состояние с номером 1 наилучшее с точки зрения функционирования авиаци­онной системы — значение контролируемого параметра в этом состоянии равно номинальному. При попадании параметра в состояние F (т. е. на границу поля допуска) фиксируется отказ системы. В процессе эксплуатации Ю

в моменты t=О, At, 2At, 3At. . . ‘параметр контролирует­ся и становятся известны его состояния x(t)^l, F. При­мем, что во времени переход из одного состояния в дру­гое описывается стационарными вероятностями пере­хода qrs, т. е.

P{x(t+.l)=slx(t)=r} = qTS, r, sel, F, (1.1)

для которых выполняются естественные условия норми-

S

ровки: qrs^0, 2<7™= 1. >С учетом физического смысла

Г-1

функционирования авиационных систем возникают еще

дополнительные условия qrj?>0 для г— 1, F— 1 и <7*4?= 1. Первое из них означает, что, в каком бы работоспособ­ном состоянии ни находилась система в момент t, в сле­дующий момент t+At она может отказать, т, е. перейти в неработоспособное состояние F. Второе условие озна­чает, что если отказ наступил, то самоустраниться он не может. Можно также полагать, что Р{х(0) = 1 =хн}= 1, т. е. у нового изделия параметр находится в наилучшем состоянии.

При сделанных предположениях последовательность измеряемых величин x(t), t=0, At, 2At. . . , отражаю­щая процесс изменения состояния авиационной системы во времени, описывается нестационарной цепью Марко­ва первого порядка со стационарными вероятностями

перехода (1.1) и пространством состояний 1 ,F. Все изменения состояния в этой цепи определяются одной матрицей перехода {qrs}- Такая модель относится к не­прерывной работающей системе. Однако авиационным системам присущи. перерывы в работе и возможность появления отказов во время нахождения в неработаю­щем состоянии. Для учета этого следует использовать модель полумарковских процессов. Полу марковский процесс задается не только матрицей переходов, но и функцией распределения времени пребывания исследуе­мого процесса в каждом из состояний.

Изменение состояния авиационной системы, при лю­бой избранной для его описания математической модели может задаваться как априорными, так и апостериорны­ми характеристиками. В связи с повышенным интересом в настоящее время к апостериорным моделям остано­

вимся на этом вопросе более подробно. При назначении и обосновании программы технического обслуживания можно основываться на данных, собранных до момента принятия решения об операциях по обслуживанию (априорная информация), а можно учитывать и сведе­ния, полученные в момент принятия решения (апосте­риорная информация). Если используется только апри­орная информация, то объем операций обслуживания и их периодичность неизменны. На основе такого. принци­па строится планово-предупредительная система техни­ческого обслуживания и ремонта самолетов. Учет апо­стериорной информации делает правила обслуживания более гибкими, внося корректировку в объем и перио­дичность обслуживания в зависимости от технического, состояния самолетов. Система эксплуатации с такими правилами относится к классу систем эксплуатации па состоянию.

Сведения о распределении случайного времени да отказа F(t), как и данные об изменении интенсивности отказов h(t), чаще всего относятся к априорной инфор­мации. Можно представить себе, что с получением дан­ных контроля состояния конкретного объекта эти сведе­ния будут систематически уточняться. Однако такое уточнение не может быть существенным (статистически значимым), так как для получения поправки к столь «тонким» вероятностным характеристикам надо иметь большой объем данных. Другой вид априорной инфор­мации приведен в табл. 1. Показатели надежности типа средних налетов на отказ часто выступают в виде апостериорной информации. Их достаточно точное опре­деление возможно периодически через малые промежут­ки времени (например, ежеквартально). Поэтому харак­теристики типа Т„, Тс иногда называют показателями оперативной оценки надежности. Анализ таких показа­телей позволяет выработать мероприятия для повыше­ния надежности, которые нужно проводить только на тех типах самолетов, у которых показатели ниже нор­матива. Здесь решение принимается после обработки результатов наблюдений, т. е. апостериори.

— Аналогично и вычисление вероятности выхода пара­метров авиационных систем за поле допуска РЦі/х) может строиться на априорных или апостериорных дан­ных. Действительно, если считать, что результаты изме­рения параметра х распределены нормально, и рассмат — 12

ривать авиационную систему, работоспособность кото­рой определяется одним параметром, то

где ц, а — математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение параметра х на /-м объекте в момент t.

Чтобы подчеркнуть, что цист меняются (ВО времени, будем в дальнейшем писать их с индексами текущего времени: цг и стг. Поскольку хн, Ан и Лв заданы, вероят­ность работоспособного состояния Pi(t) целиком опре­деляется по таблицам, если параметры ц, и а і известны. Именно эти два параметра необходимо оценить по ре­зультатам эксплуатационного контроля.

Самая простая оценка величин ц* и ср может быть получена, если обработать данные эксплуатационного контроля тех объектов, которые уже имели наработку і At, и вычислить среднее значение и дисперсию этих данных. Подставив-в (1.2) вычисленные параметры ц,- и Сті, получим оценку вероятности исправной работы /-го объекта, справедливую для всех номеров /. Она опреде­лена на основе априорной информации, т. е. без учета результатов контроля /-го объекта. Соответственно па­раметры ц; и Сті — априорная информация. Оценка Pi (і) тоже является априорной. Это, по существу, веро­ятность того, что объект будет исправен в момент і, если его не контролировать до этого момента. Ее, по-ви­димому, можно уточнить, если привлечь дополнительные сведения о результатах предыдущего эксплуатационного контроля /-го объекта.

Более точно P}(t) оценивается, если в качестве ц использовать условное математическое ожидание пара­метра х у /-го объекта при условии, что до момента t=iAt этот параметр на объекте имел значения xh, xi2 xU-і. Такое условное математическое ожидание

будет наилучшим прогнозом xh для параметра х в і-й момент времени на /-м объекте. Истинное значение па­раметра xi-t, конечно, не совпадает с прогнозом яр. Но дисперсия, сте2 отклонения Є = X’ii — ХІі будет минималь­ной, если в качестве xh взять условное математическое

13

ожидание. Такой прогноз называют наилучшим в «сред­нем квадратическом смысле».

Разработанные в современной теории случайных

процессов методы позволяют не только вычислить xh, но указать и среднее-квадратическое отклонение ошиб­ки прогноза ое. Оценка Pj{t), в которой принято ц = .0,- и о= <те, улучшена быть не может. В этом смысле услов­ное математическое ожидание и оценка среднего квад­ратического отклонения от него являются достаточными статистиками для определения вероятности исправного состояния объекта Pi(t), работоспособность которого определяется одним ‘парН’Метр’ОМ. Таким образом, анализ изменения параметров авиационной техники в процессе эксплуатации полностью использует имеющуюся инфор­мацию, если позволяет построить прогноз изменения

контролируемого параметра xh и оценить точность этого

прогноза, вычислив ое. Параметры xh, ае и РДх, t) являются апостериорной информацией.

При описании работы авиационных систем редко ис­пользуется только один параметр. Как правило, работо­способность системы характеризуется комплексом пара­метров Xh, k=, 2… М. Для оценки состояния в этом случае нельзя использовать только систему допусков на каждый параметр. Допустимая область работоспо­собности не представляет здесь гиперпараллелепипеда. Если при контроле каждый параметр сравнивается со своими допусками, то признается исправной система, состояние которой описывается точкой внутри гиперпа­раллелепипеда, вписанного в реальную область работо­способности. Таким образом возникает ошибка типа ложной браковки, так как часть исправных систем будет признаваться негодными. Если допустимой областью считать описанный параллелепипед, то возникнут ошиб­ки другого рода — необнаружение отказа. Лишь приве­дение первоначального комплекса контролируемых па­раметров к совокупности независимых признаков с уста­новлением допусков именно для них решает возникаю­щие тут проблемы. Учет и анализ зависимости между параметрами Xh позволяют извлечь полезную информа­цию для распознавания состояния системы.

В процессе контроля состояния иногда наблюдается не сам параметр Хь, а функция от него Q {xh). Наконец, 14

типичной в практике эксплуатации авиационных систем является ситуация, когда наблюдению доступны лишь некоторые из величин Хи при /г = 1, 2… 5<М. Так по­лучается, когда выбор контролируемых параметров не обеспечивает полного описания функционирования сис­тем или когда наблюдается сигнал в сумме с шумом, а шум отделить не удается. Ситуации такого типа хоро­шо описываются математическими моделями с частично наблюдаемыми параметрами.

Определение состояния объекта в пространстве мно­гих параметров, как и принятие решения в случае час­тично наблюдаемых параметров, строится на основе методов теории распознавания образов. Хотя в настоя­щее время проблема распознавания образов как науч­ное направление не может считаться ясно и окончатель­но сформировавшейся, во многих случаях задачи распо­знавания трактуются как задачи математической стати­стики и теории статистических решений. Именно на та­кой трактовке базируется дальнейшее изложение в кни­ге. Поэтому в 1.2 будут приведены некоторые основные понятия математической статистики, которые понадо­бятся в последующих главах.