Выявление старения авиационной техники по данным эксплуатационного контроля

В настоящее время техническое обслуживание ЛА организуется. в зависимости от их налета. Поэтому про­грамму обслуживания следует назначать так, чтобы она была оправдана для всего парка эксплуатируемых объ­ектов авиационной техники с одинаковым налетом (на­работкой). Такая программа может обосновываться с учетом только средних изменений характеристик для всех объектов, т. е. с учетом общего для всего парка старения.

Таким образом, работы на авиационной технике при принятой сейчас системе обслуживания назначаются на основе изучения течения во времени математического ожидания xi=Mixh и дисперсии (оі)2=Мі(хі — щ)2 зна­чений контролируемого параметра х по всем объектам, находящимся в эксплуатации. Здесь и далее обозначе­ние Мі (.) означает математическое ожидание случай­ной величины (.) при переменном индексе ■/, а М‘(.) — то же математическое ожидание, но при переменном индексе І.’ •

При изучении случайных процессов Xi, описывающих техническое состояние ЛА, удобно использовать следую­щую математическую модель их структуры:

(2.8)

где ці—математическое ожидание множества реализаций; —случайная составляющая с нулевым математическим ожидани­ем по /; i=il, 2,…, Tp/At — индекс дискретного времени; /= 1, 2,…, —индекс (номер) объекта авиатехники; At — интервалы

времени между проверками; Гр— ресурс.

‘Выражение (2.8) —просто форма записи введенной ранее модели (2.1). В этой форме записи существенно лишь то, что. МЩ,^ = 0, по = необязательно равно нулю.

Чтобы подобрать функцию, лучше всего сглаживаю­щую неслучайную составляющую щ, воспользуемся сле­дующим приемом. О характере изменения во времени ц и о і выдвинем ряд гипотез Но, И і. . . и проверим ста­тистически их согласуемость с имеющимися исходными данными. ‘Проверку справедливости гипотез Я0, Н ■ . ■ будем проводить по тем исходным данным, которые реально собираются в эксплуатирующих предприятиях МГА, т. е. по матрице {xh} результатов эксплуатацион­ного контроля. Эта матрица состоит из N строк и L = = TPlAt — столбцов.

Практически матрица {х^}, образованная результа­тами измерений на объектах с номерами / при наработ­ке >t=4>At, полученными в процессе эксплуатационного контроля, имеет много пропусков из-за неизбежных на­рушений ритма проверок. Число ненулевых элементов в столбцах матрицы с номером і будет падать с ростом і от Ni = N до небольшого NL, соответствующего числу объектов, имеющих наибольшую наработку. Суммарное число элементов матрицы {а:^} может выражаться сот­нями, но число Nl обычно невелико (около десятка). Предлагаемая методика определения характеристик старения Ці и си учитывает указанные особенности ре­альных исходных данных.

По имеющимся исходным данным {хh} строим выбо­рочные оценки математических ожиданий: mi, т2,. . ■ , mL и дисперсий Si, S2, . . . , SL для моментов времени ti, t2,.. ., Ач, где соответственно:

Ni

2 {xU — mi)2; i=l, % …, L.

О 250 500 і, Ч

О 250 500 І, Ч

Рис. 2Л. Сглаживание изменения среднего ква-дрэтического откло-
нения (а) и математического ожидания (б) частоты вращения ро-
тора авиадвигателя

Полученные выборочные оденки ті и 5, независимы по І, если значения случайного процесса £* = 4— р; статистически не связаны. Приводимая в этом парагра­фе ВЫЧИСЛИТеЛЬНаЯ Процедура ДЛЯ Определения Щ И справедлива именно в случае независимых ‘gh (в § 3.2 дано ее обобщение без этого ограничения).

Для аппроксимации изменения во времени матема­тического ожидания и дисперсии на основании сведений об mt и St естественно применить многочлен некоторой степени. Вопрос о выборе степени многочлена решится статистически, если окажется, что гипотеза Нф состоя­щая в том, что сглаживание нужно проводить много­членом степени q, может быть принята с заранее вы­бранным уровнем доверия.

Если кривые ті и Si аппроксимировать с помощью системы ортогональных полиномов (например, системы полиномов Чебышева), то статистический критерий про­верки гипотезы Hq можно сформулировать по методике, приводимой в книге [18].

Будем аппроксимировать изменение по времени дис­персии (рис. 2.1, а) полиномами до степени g включи­тельно и изучать неточность (невязки) этого прибли­жения.

Пусть

5;=(ст;)2+ДЧ=2 s ¥?+ Д?. 8=0

где Si—выборочные — дисперсии; (оі)2 —сглаженные значения дисперсии в t-й точке; срг6 — значения полиномов Чебышева поряд­ка 0 — в t-й точке; g — максимальная степень приближающего поли­нома; Asi — невязка приближения дисперсии в t-й точке; і — индекс

L I L

текущего времени; 2 ¥t 9?“ коэффициенты аппроксима-

£=1 I 1 =

ции дисперсии, соответствующие приближению по методу наимень­ших квадратов.

распределено по %2 с числом степеней свободы v = Ni — — ё—1 ![11]- Приходится отнимать от Ni число (g+1) в силу того, что используемое здесь-значение (си)2 опре­делено сглаживанием по исходной статистике.

Если степень g аппроксимирующих полиномов вы­брана правильно и закономерная составляющая во всех Si, равная (щ)2, учтена, то невязки Asi становятся независимыми случайными величинами. Это позволяет построить статистический критерий для проверки гипо­тезы Hg, так как если g выбрана верно, то выписанные отношения (2.10) для всех і независимы и, следователь­но, частное от деления их при разных і=і и І — І2 опре­деляет нужную статистику:

Nk ~ g ~ 1 1-А fJSti

Mi-g-X ‘ 1-А fjsh

Статистика us подчинена распределению Фишера F [11]

С ЧИСЛОМ Степеней СВОбоДЫ Знаменателя V2 = AА2—g—1 И ЧИСЛОМ степеней свободы числителя Vi—Ni^—g—1. Если при всех вариантах перебора пар і, І2 статистика (2.11) укладывается в пределы, определяемые по таб­лицам F — распределения: Fа, V|, v2P> Mg>,l/Ea, Va, то с вероятностью (1 — а) можно считать число ug незна­чимо отличающимся от единицы, т. е. невязка Asi неза­висимыми по І. Чтобы не перебирать все сечения попар­но, можно считать отношение ug для всех і с одним опорным (например, первым) сечением, т. е. полагать 4 = 1, £2 = 1, 2,…, L. Тогда в качестве границы для «Ч необходимо принимать У Рл, v„ „а.

Итак, гипотеза Нё о том, что сглаживание кривой из­менения ст; во времени необходимо проводить с помо­й

щью полиномов степени не выше g, — верна, если стати — етика ug укладывается в — заданные пределы с заранее выбранным уровнем значимости 1-а. Эту гипотезу необходимо проверять последовательно для 0, 1, 2, . . . и принимать при наименьшем удовлетворительном числе g. Сглаживание (2.9) при таком g в дальнейшем используется для расчета а,-.

Получив а,-, можно преобразовать исходные данный {xh} так, чтобы среднее квадратическое отклонение в любом сечении было постоянно и равно осредненно’му — 1

значению ® =—2 at. Это обычное преобразование мас-

L ;=і

ХІ’і — ttli -= . . „

штаба yh=———- or+m;, переводящее xh в случайные

Oi

величины yh, позволит легче проверять гипотезы о сглаживании изменения во времени математического ожидания рф

Перейдем к выбору аппроксимации для рф И здесь необходимо проверить гипотезу О ТОМ, ЧТО ДЛЯ СГЛаЖИ’ вания изменения р* во времени ПОДХОДЯТ ПОЛИНОМЫ,- имеющие порядок не выше q, т. е. о том, что представ­ление

Q

OTi = Pi + Ami= 2 ^N2+ АГ С2Л.2)

0 = 0

соответствует имеющимся исходным данньїмі (рис. 2.1,6),

где nit — выборочное математическое ожидание в і-й точке; Рг — сглаженное значение математического ожидания в І-й точке; q—- максимальная степень приближающего полинома; Дг"‘ — невязка при­ближения математического ожидания в i-й точке; Ав ^-коэффициен­ты аппроксимации, соответствующие приближению по методу наи-

меньших квадратов: Ле = 2 <Р? ті / 2 Тг •

г=1 / i=i

По доказанной в работе [18] теореме, если испы­туемая гипотеза о том, что степень q подобрана пра­вильно, верна, случайные величины {yh—тг) и (А™;) независимы. Это дает возможность построить критерий для подбора степени полинома регрессии q. Действи­тельно, независимые случайные погрешности Дт; имеют нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и дисперсией (ш)2/ЛД Следовательно, вели­чина [11]

L

2 Аі(Дті)2/а2 і= і

имеет распределение %2 с числом степеней свободы V = = £ — Ц—1. Приходится отнимать от L число (<7+1) в силу того, что используемое значение щ определяется сглаживанием по исходной статистике.

В свою очередь, и величина

L Nt

2 2 (yji — ті)Уа* (2.14)

c-i /=і

имеет распределение %2 с числом степеней свободы

■v=S(JVf —1). 1=1

Частное от деления (2.13) на (2.14) подчинено рас­пределению F с числом степеней свободы числителя ‘Vi = L — q—1 и числом степеней свободы знаменателя

-V2 = 2 (Ni — 1).

i — l

Таким образом, гипотеза Hq о том, что регрессия р4 :может быть сглажена с помощью полиномов степени не выше, чем q, верна, если статистика

принимает значение, меньшее, чем квантиль Fa, v„ с заранее выбранным уровнем доверия 1—а. Гипотезу необходимо проверить последовательно для q = 0, 1,2,… и остановиться на наименьшем удовлетворительном числе q. При этом числе q сглаживание (2.12) хорошо соответствует имеющимся исходным данным. Статисти­ка. (2.15) имеет хорошо понятную инженерную интер­претацию. Значение vq уменьшается с увеличением сте­пени приближения q из-за того, что невязки приближе­ния Ami делаются все меньше. Когда эти невязки доста­точно малы, степень q выбрана верно.

Вычисленные по реальным статистическим данным аналитические выражения для сглаживания математи­ческого ожидания рг и среднего квадратического откло­нения со позволяют назначить интервал времени, через который необходимо проводить контрольные измерения параметров авиационной техники, если статистическая

связь отдельных измерений на одной реализации несу­щественна. Покажем решение этой задачи.

Вероятность постепенного отказа, т. е. выхода пара­метра за п-оле допуска,

хп Дн 00

Q= J ft(x)dx+ J fi(x)dx, (2.16)

— ДСн + Дв

где fi(x)—плотность распределения значения параметра в мо­мент t=iAt при условии, что контроль этого параметра проводился в момент (і—Л)At.

Задача может быть решена, если будет найдено вы­ражение плотности fi(x). Эта плотность для параметра, имеющего нормальное распределение в сечении, полно­стью определяется математическим ожиданием щ й ■средним квадратическим отклонением оь Поскольку ре­гулировка в момент ‘(г—1)Д£ влияет на среднее значе­ние контролируемого параметра, можно считать, что в; среднем для всех объектов после регулировки значение контролируемого параметра делается равным номиналь­ному, Т. е. [Хг—1 =0.

При этом условии нетрудно составить номограмму (рис. 2.2) для вычисления вероятности отказов в зави­симости от поля допуска Дн, Дв и значений Дц, щ (здесь А, и — среднее изменение математического ожидания за время At). На рис. 2.2 введены следующие обозначения: б = Д/сГг — относительное значение поля допуска в без­размерных единицах, масштабом которых является среднее квадратическое отклонение в очередной момент контроля; Дjit~Дц/оt — относительное приращение конт­ролируемого параметра в среднем для всех эксплуати­руемых объектов.

Для составления номограмм подобного вида удобно пользоваться таблицами нормального распределения.

И

Рис. ‘2.’2. Номограмма для оп — 0,08 ределения вероятности выхода параметра за поле допуска в среднем по всем — эксплуатируе — Oflt мым объектам

При Л[х=0 первое ‘слагаемое в (2.16) равно второму, и его значение 1 ~Ри берется из таблицы при и = 6. При Лц=А0 первое слагаемое берется из таблиц при ы = б + + Ар, а второе при и = б — Ар,. Применение номограмм покажем на примере анализа изменения частоты враще­ния ротора авиационного двигателя.

По результатам измерения частоты вращения ротора через At=25 ч получено 30 значений тг (для i= 1, 2,. . ., 30), которые соединены сплошной ломаной- линией на рис. 2.1,6. На рис. 2.1, а приведена такая же ломаная для экспериментальной статистической оценки среднего квадратического отклонения УЗ*. Экспериментальный материал содержал сведения о результатах измерения параметров 53 двигателей (# = 53). Число результатов контроля для фиксированной наработки двигателя iAt с ростом номера измерений і уменьшилось и в конце ресурса составило #30 = 8-^-9. При сглаживании экспе­риментальной ломаной линии ~jSi полиномом нулевой степени и0і = 0,784-1,43. Граничное значение для этой статистики при уровне доверия 0,9 для разных сечений составляет 0,82—1,2. При сглаживании полиномом пер­вой степени uli принимает значение от 0,91 до 1,15. Эти Значения допустимы и, таким образом, можно считать, что среднее квадратическое отклонение частоты враще­ния ротора в процессе эксплуатации меняется в соответ­ствии с законом а; =0,156+ 0,0042* (в процентах от но­минального значения).

При сглаживании экспериментальной ломаной линии mi полиномом нулевой степени получается значение ста­тистики (2.15) п0 = 3,08. Граничное значение для этой статистики — Го; о,5; 29; 386 при уровне доверия 1—а=0,95 равно 1,54. При сглаживании полиномом первой степени t)1 = 0,67. Это значение является допустимым и можно считать, что математическое ожидание. частоты враще­ния ротора меняется по закону рг = 99,47 — 0,0123£ (в •процентах от номинального значения). Аппроксимация для уц и иг на рис. 2.1 дана прямыми линиями. Допусти­мое отклонение частоты вращения ротора Д=0,5 % от номинального значения составляет в относительных единицах 6 = 2 (за масштаб принимается о = 0,25 в конце ресурса при.1 = 22+25). Если считать допустимым, что после измерения параметров будет регулироваться 5 % эксплуатируемых двигателей (Q = 0,05), то при 6 = 2 по 68

ряс. 2.2 определяем, что допустимое отклонение средне­го значения частоты ©ращения Ац, = 0,05 (Ац=0,2). Та­кое отклонение будет при контроле частоты вращения авиационного двигателя через 100 ч налета.

В этом примере существенно то, что изменение пара­метра не накапливается и может быть сведено к нулю регулировкой в ходе проверки при любой наработке iAt. Поэтому при оценке допустимого интервала между про­верками А/ важно знать не р.,-, а его приращение Ар. Рассмотрим другой пример анализа изменения парамет­ров авиатехники в процессе эксплуатации. На рис. 2.3 показаны результаты статистической обработки измере­ний ухода гироскопа авиагоризонта, которые проводились через At =100 ч. Обрабатывались сведения о результатах контроля 66 гироскопов (А^=66). Максимальное число точек на одной реализации было L = 10. Число измере­ний в одном временном сечении, когда наработка при­ближалась к 2000 ч, составляло N20 = 7. При сглажива­нии экспериментальной ломаной линии для среднего квадратического отклонения yS£ полиномом нулевой сте­пени получаются значения статистики от 1,15 до 2,02. Допустимое значение Д),05; 60-20; 30-70 составляет 1,48—

2,04.

Таким образом, можно считать, что среднее квадра­тическое отклонение ухода гироскопа в процессе экс­

о т 800 то то 2000 г, ч

Рис. 20. Сглаживание ‘измене­ния среднего квадратического отклонения -(а) и Математиче­ского ожидания (б) ухода ги­роскопа авиагоризонта.

паї ©оставляет 5° за 5 мин (измерение ухода проводится гари вьтаялючеино® коррекции). В отличие от предыдуще­го примера в зкошлуатащйи нет возможности отрегулиро — В’ать уход гироскопа. С течением времени он нарастает. Через 1200—1500 ч ‘работы уход пироскопа в среднем составит 2,75°/ч. При этом ‘относителыное значение поля допуска,6='(Д—рн)/аі4 = 3.

■По номограмме на рис. 2.2 получим, что если прира­щение среднего значения ухода гироскопа за время меж­ду проверками Др = 0,6, то при 6 = 3 за время At будет выходить из строя более 1 % гироскопов (Q«0,01). Значению приращения ухода гироскопа Др=0,6 соответ­ствует интервал контроля Д/«350 ч (Др=0,45). Таким образом, допустимое время между проверками ухода гироскопов при наработке их около 1500 ч составляет Д^л;350 ч. В отличие от предыдущего примера здесь нельзя выбирать Q более 1 %, так как последствием выхода параметра х за поле допуска является не регу­лировка объекта авиационной техники, а прекращение его эксплуатации.

Приведенные примеры иллюстрируют оценку изме­нения параметров в среднем для всех эксплуатируемых объектов, т. е. оценку старения всего парка. Более точ­ные оценки вероятности выхода параметра за поле до­пуска могут быть получены, если учитывать не только средние значения контролируемых параметров, но и результаты их измерений на конкретном /-м объекте. Для привлечения этих дополнительных сведений нужно использовать статистическую связь между отдельными измерениями на одном и том же объекте.

Глава 3