Математическая модель деформирования кольца из упругопористого материала МР в режиме прецессионного деформирования
Широкое распространение в технике получили упругодемпфи — рующие устройства из материала МР [74] в виде цилиндрических втулок, устанавливаемых в коаксиальное пространство между корпусом опоры и цилиндрической цапфой, трубопроводом или вибратором ротора. Конструктивно эти устройства мшуг быть выполнены самой различной формы с разъемными или неразъемными корпусами, с цельноцилиндрическими или многосегментными упругодемп — фирующими элементами.
На рис. 2.46 показаны типовые конструкции хомутов для крепления трубопроводов, применяемых в аэрокосмической технике. На рис. 2.47 и 2.48 показаны конструкции упругодемпфирующих опор ротора судовой газотурбинной установки с кольцевыми демпфирующими элементами из материала МР.
|
Упругодемпфирующие элементы указанных устройств могут работать как в режиме однонаправленного (одноосного) деформирования, так и в режиме прецессионного деформирования, когда вектор перемещения центра цапфы совершает вращательное движение вокруг оси опоры.
Весьма интересным является то, что уиругогистерезисиые характеристики цилиндрических демпфирующих опор при однонаправленном и прецессионном нагружениях различны [131J.
Для создания методик расчета характеристик цилиндрических опор из материала МР, сеток, тканого металлического и стеклонластикового унругодемнфирую — щего материала необходимо знать характеристики элементов указанных материалов, работающих на сжатие в координатах G— в, где а = N/{ab) — напряжения сжатия па элемент демпфера в радиальном направлении, є =ДЯ/Я— радиальная (пор-
|
мальная) деформация элемента, а Н— первоначальная толщина демпфера в радиальном направлении в иепагружеппом состоянии, b — размеры поперечного сечения элемента.
Известные теоретические методики расчета материала МР па сжатие далеки от совершенства [118, 67J. Кроме того, они требуют для расчета определенное число экспериментальных поправочных коэф
фициентов, что сводит на пет указанные методики при их практическом использовании.
Поскольку без эксперимента обойтись пока что не удается, в настоящей работе делается попытка создания полуэмни — рической методики расчета упругогистерезисных характеристик материала МР па сжатие с последующим их использованием в методиках расчета цилиндрических опор на одноосное и прецессионное нагружение.
Для эксперимента были использованы элементы из материала МР в виде параллелепипеда (рис. 2.49), изготовленные но технологии СГАУ с вы-
сотой Н и размерами основания axb. Материал проволоки — 1Х18Н9Т.
Очень важным является изготовление образца по той же технологии, что и упругодемпфирующий цилиндрический элемент опоры. Это требование было выполнено.
Элементы подвергались нагружению пульсирующего типа (рис. 2.50, а). Далее поле нетель перестраивалось в координатах о—е (рис. 2.50, б). При этом вначале деформирование осуществлялось на максимально возможную величину, а затем — от заданною натяга в стороны нагружения и разгружения до тех пор, пока частичный процесс загружения не вливался в соответствующий граничный процесс.
О 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 ДА/, мм 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3
Рис. 2.50. Упругогистерезисные циклы образца из материала МР:
а — исходные, 6 — в координатах о—є
Затем было проведено тщательное исследование подробностей гистерезиса с помощью специально созданной программы расчетов на языке пакета MathCad-2001. Обозначим верхний граничный процесс петли гистерезиса через а нижний — через а2-
Тогда среднециклическое напряжение можно рассчитать по формуле
°ср = (°2 + CTiV2- (2-54)
Зависимость среднециклического напряжения о от деформации е, рассчитанная по формуле (2.54), показана на рис. 2.51.
Эта зависимость (рис. 2.51) была аппроксимирована полиномиальной кривой в виде:
= 0,819є — 10,01є2 + 123,07є3 — 539,05е4 + 904,76є5. (2.55)
Обозначим неупругую составляющую гистерезиса, равную толщи — не петли в направлении напряжений через <тг Ее можно найти по формуле
от = о, — о2. (2.56)
Исследование показало, что неупругая составляющая о пропор — циональна среднециклическому напряжению ст с коэффициентом пропорциональности k = 0,42:
от = 0,42а (2.57)
«№
Эта зависимость показана на рис. 2.52. Ее характер хорошо согласуется с упоминанием о соответствующей величине в работе А. М. Сой — фера [118].
Имея аналитические зависимости а = оср(е) и от = ат(е), можно рассчитать внешние контуры гистерезиса материала МР, работающего на сжатие при пульсирующем цикле
а(е) = аср(е) ± от(е)/2. (2.58)
Для описания любых внутренних процессов нагружения и разгрузки, начало которых расположено при произвольном значении деформации £q было проведено дополнительное исследование. Его смысл состоял в следующем.
Пусть в общем случае деформирование элемента из материала МР осуществляется из некоторой точки (о0, е0) пространства ст—е, лежащей на граничном процессе. В работе доказано, что существуют некоторые критериальные координаты
(2.60)
v — 1,2, в которых безразмерная функция А(£) изображается единственной кривой (рис. 2.53). Ее удалось аппроксимировать функцией
А© = ехр(-5£). (2.61)
В выражениях (2.59) и (2.60) в качестве базовых величин взяты неупругая составляющая напряжений (2.58) и остаточная деформация Oq, определенная в виде отрезка, отсекаемого граничными процессами at(e) и а2(е). Зависимость остаточной деформации а0= я0(є) показана на рис. 2.54 и аппроксимирована функцией
а0(е) = 0,000001 + 1,083е-19Д62е2 +185,264е3 —
874,8е4 +1924,4е5 -1591,1е6.
Зависимости (2.61) и (2.62) позволяют записать окончательное выражение для расчета любого процесса загрузки с началом, лежащим на граничном процессе петли гистерезиса в виде
a(e, e0,v) = ocp(e)+0,5(-l)v+1- ‘ ‘ »v
(2.63)
По своей структуре выражение (2.63) сходно с выражением для определения нормальной силы сопротивления многослойных гофрированных пакетов [107].
Попытаемся наметить путь решения задачи об определении частных гистерезисов в проекциях на оси координат ОХ и OY демпфера постоянных толщины Н в радиальном направлении и ширины Ъ и установленного между корпусом опоры и наружным кольцом подшипника с некоторым натягом А (рис. 2.55).
Допустим, что для той же, что и реализованная в демпфер, схемы прессования, известна упругогистерезисная характеристика элемента демпфера на сжатие в координатах
а—£, подчиняющаяся выражениям (2.55, 2.58, 2.63). Выделим двумя радиусными сечениями малый элемент с угловой протяженностью <йр и шириной Ь. Тогда проекции вектора А на оси координат найдутся в виде
х = A cos ф; у = A sin ф.
Радиальная осадка выделенного элемента при смещении цапфы на величину А на оси координат выражается в виде
^(ф, а) = A+Acos(<p-a). (2.65)
Поскольку упрушдемпфирующий элемент опоры предварительно поджат на некоторую величину Д, то каждый элемент протяженности dcp будет деформироваться из некоторой точки
<г0(ср, а) = Д+А(-1)в'<<р’о), (2.66)
где v =/(ф, а) — параметр загружения. Он равен:
если dq{<*’a) < 0. (2.67) dy |
t dq{<p, Ct). Л _
v = 1, если — —— >0; V = 2,
d<p
С помощью выражений (2.65) и (2.66) можно найти безразмерные величины деформаций
— f(tt rt — ^
Ч ~ /^(ф* Т]
а затем и распределение нормальных напряжений но поверхности цапфы (2.63). Проинтегрировав нормальные напряжения по длине окружности цапфы, спроектировав полученный вектор силы на оси координат и сложив полученное с проекциями распределенных сил трения на границе упругого элемента и цапфы, получим:
2я
Nx = f a(e, Bq, V)M?( sin ф — / cos ф)<Лр; о
2л
Ny = J a(e, Eq, bR(cosф + / sin ф) </ф. (2.68)
о
На рис. 2.56 показаны петли гистерезиса опоры с кольцевым демпфером из материала МР, рассчитанные по разработанной методике.
Отличительной особенностью полученных результатов является то, что, хотя данный демпфер принадлежит к системам конструкционного демпфирования, контуры его гистерезиса при круговых орбитах движения цапфы представляют собой эллипсы, что характерно для гидравлических демпфирующих устройств.
Рис. 2.57. Иллюстрация вклада в полный гистерезис — (-): рассеяния
энергии в материале МР—(———— ) и
сухого трения на границе контакта элемента и вибратора —
Второй особенностью, отличающей рассматриваемый демпфер от гидравлических, является переменность жесткости от амплитуды колебаний: на малых амплитудах жесткость большая; с увеличением амплитуды жесткость сначала падает, а затем снова увеличивается.
Расчеты показывают (рис. 2.57), что рассеяние в материале МР и на границе с вибратором приблизительно одинаковы и соотносятся как (55 % / 45 %).
Этот результат относится к случаю, когда кольцевой демпфер установлен в коаксиальное пространство между двумя втулками без приклеивания к ним (см. рис. 2.48 и 2.49). Если материал МР приклеен к втулкам, то в расчетах необходимо учесть касательные напряжения от сдвига объема элемента в тангенциальном направлении. Эта часть исследований выходит за границы настоящей работы и здесь не приводится.
Для втулок, работающих в опорах в осевом направлении на сжатие расчет гистерезиса сводится к перемножению напряжений (вы-
0 12 z, mm
Рис. 2.58. Упругогистерезисная характеристика кольцевого
демпфера из материала МР
ражение 2.63) на боковую площадь поверхности втулок и определению осевых перемещений цапфы z по формулам:
Nz = a(e, e0,v)
где Н1 — ширина втулки в осевом направлении, £>2 и Dj — ее наруж
ный и внутренний диаметры, а е — осевая деформация втулки.
На рис. 2.58 в качестве примера показана упругогистерезисная характеристика кольцевого демпфера из материала МР, рассчитанная по формулам (2.55—2.62) в осевом направлении с параметрами: Я^-10 мм; Я* “200 мм; £>2=225 мм. Расчет проведен для одного пакета. Если в опоре установлено два пакета с некоторым предварительным натягом, то расчет такой опоры необходимо осуществлять при совместном деформировании двух пакетов. При этом, когда один пакет нагружается, второй — разгружается и наоборот.
Технология составления расчетной схемы гистерезиса для такого случая приведена в работе [131].