Исследование управляемого движения самолета с помощью передаточный функций
При выполнении любой летной операции самолет последовательно осуществляет ряд режимов полета. Для перехода от одного режима к другому и для компенсации возмущений требуется управление самолетом. Следовательно, самолет является объектом управления.
Под управлением самолета понимается процесс формирования управляющих воздействий, обеспечивающий требуемый режим движения.
Управляющие воздействия формируются на основе получения и обработки информации о характере движения самолета и заданной программы полета и осуществляются отклонениями органов управления самолета и двигателя.
-Р* |
Результат управления зависит от реакции самолета на управляющие воздействия, которая определяется его статическими и динамическими характеристиками и законом управления. Поэтому для оценки управляемости различных самолетов принято рассматривать их реакцию на скачкообразное (ступенчатое) отклонение органов управления и на отклонение по гармоническому закону.
При ступенчатом отклонении изучаются переходные или временные характеристики (функции) самолета, а при гармоническом — частотные.
Частотными характеристиками системы (звена) называют зависимость отношения амплитуды выходной величины к амплитуде входного сигнала и сдвига по фазе выходной величины по отношению к входному сигналу от частоты входного воздействия.
f Для самолета выходными величинами могут быть управляемые параметры движения (скорость, углы атаки, тангажа и. другие перегрузки и т. п.), а входными — управляющие или возмущающие воздействия.
При изучении переходных характеристик (процессов) любой динамической системы (звена), описываемой линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, удобно пользоваться передаточными функциями, а частотных характеристик — частотными функциями.
Передаточной функцией называют отношение изображения выходной величины к изображению входной при нулевых начальных условиях
(15.30)
Здесь Y (р) и X (р) — соответственно изображение по Лапласу выходной и входной величины. Двойной индекс WyX (р) указывает, что выходной величиной является у (/), входной — X (/).
Рассмотрим пример определения переходной функции звена с помощью его передаточной функции. Пусть это звено описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами
Дg (/) + 2k Др (0 + со* Ду (Т) = К Ах (/)• (16.31)
Найдем передаточную функцию, соответствующую этому’ уравнению. Для этого определим изображения по Лапласу выходной Ду (Т) и входной. Ад (<) величии при нулевых начальных условиях.
Переходя от оригиналов Ду (0 и Ах (<) к их изображениям по формулам табл. 15.1 получим вспомогательное алгебраическое уравнение
(ра + 2hp + ша) ДК (р) = К ДХ(р). (15.32)
Откуда ДУ (р) = ^’ця > 8 передаточная функция
. Щ+Я—<“■“>.
Передаточную функцию можно рассматривать как удобную форму записи линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которая позволяет сравнительно просто исследовать динамические процессы.
Поскольку знаменатель передаточной функции составляется по левой — части уравнения, то ои является характеристическим полиномом дифференциального уравнения (15.31) с той лишь разницей, что вместо Я стоит параметр р.
Приравнивая нулю знаменатель передаточной функции (15.33), получим
р» + 2Лр + <о* = 0. (15.34)
Корин этого уравнения называются полюсами передаточной функции или корнями характеристического уравнения для системы (15.31).
Если (со* — Л*) > 0, то корни будут комплексными сопряженными
Р1, а = —Л ± 11Лв*^—ft5".
9 А. Ф. Бочкарев и др.
В этом случае будет колебательный процесс изменения выходной величины и звено является колебательным.
Если (ш2 — h2) < 0, то оба корня будут’“действительными р1>2 = — h ± ± h2 — <й2; процесс будет апериодическим, а звено — апериодическим второго порядка.
Выражая А К (р) через передаточную функцию (15.33), получим
ЛК (р) = Wvx (р) АХ (р) г pg — j — 2hp — V (о2 А* (Р)-
Для определения переходной (временной) функции надо за входное воздействие принять единичную ступенчатую функцию х (t) — 1 (<), изображение которой
X (р) = ——. Следовательно,
Р
Переходя при помощи таблиц от изображения к оригиналу для случая (со2—h2) > > 0, получим переходную функцию колебательного звена
„- к [і -+ , (15.37)
где К — передаточный коэффициент; h — коэффициент демпфирования; v = = Vыа — Л® — круговая частота колебаний; со — опорная частота или частота недемпфированных колебаний; сдвиг по фазе —
V (о2 —ha
ф = arctg v—j —. (15.38)
В (15.37) первое слагаемое определяет вынужденное движение, а второе — собственное (свободное) колебательное движение, определяющее переходной процесс.
Для определения реакции самолета на гармоническое воздействие рассматриваются линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами, правые части которых изменяются по гармоническому закону.
Входное гармоническое воздействие вызовет выходной процесс (возмущенное движение), состоящий из собственной и вынужденной составляющих.
В устойчивой системе собственная составляющая, определяемая из решения однородных уравнений, с течением времени затухает. Поэтому при изучении выходных процессов, вызванных гармоническим воздействием, ограничиваются только вынужденной составляющей, предполагая, что система устойчива.
Вынужденная составляющая определяется как частное решение неоднородной системы уравнений. Если на вход системы (звена) подается гармонический сигнал Ах (() = Ах sin со(, то на выходе вынужденная составляющая будет изменяться по гармоническому закону с той же частотой со, но с другой амплитудой и со смещением по фазе
Ay (t) = Ai sin (to(+ у), (15.39)
где А2 и to — амплитуда и частота вынужденных колебаний выходной величины; у — сдвиг по фазе.
Величины А2 и у весьма просто определяются по частотной функции W (ito), представляющей собою комплексную величину.
Можно показать, что W (itо) получается из передаточной функции W (р) (15.30) путем замены р = itо, где to— частота вынужденных колебаний.
Частотную функцию можно представить в виде
W (itо) = Re (to) — f — і Іш (to) — A (to) е(т, (15.40)
где Re (to), Im (to) — соответственно вещественная и мнимая часть частотной функции; A (to) = — | W (ito) | — модуль частотной
функции, называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ); v (to) — arg W (ito) — аргумент частотной функции, называется фазовой частотной характеристикой (ФЧХ).
Для определения модуля и аргумента частотной функции изобразим W (itо) на комплексной плоскости для одного значения to (рис. 15.2).
Из рис. 15.2 видно, что
A (to) = = /Re2 (to) + Іш2 (to), (15.41)
?=агсі£тШг (15-42)
С помощью этих выражений можно строить амплитудную и фазовую частотные характеристики системы (звена) при изменении частоты вынужденных колебаний to от 0 до +оо..
Кроме этих характеристик можно построить амплитудио-фазовую частотную характеристику (АФЧХ), представляющую собой кривую на комплексной плоскости, по которой перемещается конец вектора частотной функции W (ito) при изменении частоты входного сигнала to от 0 до оо.
Для построения АФЧХ надо для каждого значения частоты вычислить по формулам (15.41) и (15.42) A (to) и у (to). Затем иа комплексной плоскости под углом у из начала координат провести луч, на котором отложить значение A (to). Совокупность точек образует АФЧХ системы (звена) — рис. 15.3.
АФЧХ так же как передаточная функция W (р) и дифференциальное уравнение системы (звена) определяет ее динамические свойства, но обладает тем преимуществом, что может быть построена экспериментально.
Частотный метод анализа для линейных систем широко применяется в теории автоматического управления и динамике управляемого движения самолета. В дальнейшем при изучении реакции
самолета на управляющие и возмущающие воздействия будем использовать передаточные функции и частотные характеристики самолета.
До сих пор рассматривались системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
В случае неустановившегося опорного движения системы линейных дифференциальных уравнений (15.9) и (15.10) будут с переменными коэффициентами. Интегрирование таких систем можно проводить численными методами на ЭВМ. Для получения аналитического решения задачи в инженерной практике иногда пользуются приближенным методом «замороженных коэффициентов». Сущность этого метода состоит в том, что отрезок времени t, в течение которого происходит исследуемое движение, разбивается на отдельные интервалы. На этих интервалах коэффициенты уравнений принимаются постоянными и равными их значениям в начале интервала. Тогда математически задача будет описываться совокупностью систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Число таких систем равно числу интервалов времени. Однако о допустимости этого метода с достаточной для практики достоверностью можно судить только после анализа конкретных характеристик летательного аппарата и систем стабилизации на основании численного интегрирования уравнений с переменными коэффициентами с помощью вычислительной техники.
Дополнительная литература
191 с. 228, [И ] с. 180-209, [8І с. 234-246.
Контрольные вопросы
1.Какова методика линеаризации нелинейных уравнений возмущенного движения? Проведите линеаризацию одного цз нелинейных уравнений возмущенного движения самолета.
2. При каких условиях возможно разделение линейных уравнений возмущенного движения самолета?
3. Каковы метематические методы исследования динамики возмущенного движения самолета?
4. Когда линейные уравнения полностью решают задачу об устойчивости и неустойчивости иевозмущеииого движения?
5. Сформулируйте алгебраический критерий устойчивости.