СОБСТВЕННОЕ (СВОБОДНОЕ) ПРОДОЛЬНОЕ ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ САМОЛЕТА. УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ОПОРНОГО ДВИЖЕНИЯ

Собственное возмущенное движение описывается системой однородных дифференциальных уравнений (см. § 15.3), анализ ко­торых позволяет оценить устойчивость опорного движения.

Система (16.3) будет описывать собственное движение, если ор­ганы управления самолетом и двигателем зафиксированы в балан­сировочном положении (Д60. у = 0 и АР = 0) и отсутствуют внеш­ние возмущения /у = = /8 = 0. В этом случае из (16.3) получим

следующую систему однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

AV + ои AV + С] 2 Да — f — аи А О = 0;

Да -1- а. п Д1/ -{- агг Да |- а28 До)г = 0; (16.5)

Д®г -1 «зі AV h а32 Да щл До^ = 0;

АЬ — о43 Дог = 0.

s

Эта система описывает собственное продольное возмущенное движение самолета, возникновение которого обусловлено началь­ными возмущениями ДУ0, Да0, Дсог0 и Д’&о’..

Так как коэффициенты <од уравнений (16.5) постоянные, то будем искать частные решения в виде

ДР —- А^*, Да = BtM, Дсог = Се** и ДО = Z)e**.

Подставляя эти решения в (16.5) и сокращая иа общий множитель еМ, по­лучим систему однородных алгебраических уравнений: * .

(Я 4- Пц) А + апВ 4- оцй = 0;

Я2іА 4 (^4 Я22) ^ 4“ fla8& “ (16,6)

язіА 4 О32В 4- (Я 4" flee) С — 0; о43С 4“ hD ~ 0.

Характеристический определитель имеет вид|

К 4 °ii	fll8	0	fll«
°21	Я 4 Я22	fl28	0
Яяі	АЯ2	Я 4 АяЯ	0
0	0	А4Я	%

Раскрывая определитель и приравнивая его нулю, получим характеристиче­ское уравнение

№ 4- Аз^я 4- я2^а 4“ fljX 4- flo = 0, (16.7)

где ад = од (а. па82 — Я22азі)> fli = йи (А22А38 4 aaa) — аї (°яі 4 йеіа88) — Ац08і!

fl2 = flu (fl22 4 Язя) — Ol2fl21 4 Я22«33 4 Язг! (16.8)S

aa = flu 4 fl22 4 взз-

Характеристическое уравнение (1ё.?) имеет четыре корня. Ёсли они все дей­ствительные и простые, то общее решение системы (16.5) будет иметь вид

AV = AjJ-‘* + Aaew + AS^J + А, ех‘(;

Да = BjeM + В2е’=/ + В„е?-8< + В_,ег‘(;

Atoz Сіе?1′ — f C2tUi + Сяе? зі + С^‘* (16.9)

АгЧ = D1e>‘‘< -f D2^’* + D3e’^ + A, e?v.

Постоянные А*, В*, Ch и О* (k — 1, …,4) находятся из решения системы (16.6) с использованием начальных условий: при t = t0 = О, A V = A V0, Да = Дао, Дсог = Дсо20, АЬ = Д^о-

Из (16.9) видно, что когда все Я* действительные и простые, возмущенное дви­жение представляет собой наложение четырех апериодических частных движений.

Рассмотрим случай, когда характеристическое уравнение. имеет две пары ком­плексно-сопряженных корней Я1>8 = х ± tv и Я34 = |х ± ft). В этом случае общее решение системы (16.5) имеет вид

А К = А’ех< sin (vt + ■*|51) + A’ t^1 sin (r)f 4- Vj) ;

Да = В’еи< sin (v< 4- ‘Фг) 4" В"е^‘ sin (r]t 4- ys); (16.10)

Дю2 — С’еи< sin (vt 4- <p8) 4- CV1* sin (r]/ 4- y3);

A© = D’t*‘ sin (vt 4- ^4) + DtP* sin (t)< 4- yt).

Постоянные A’, A"………… D’, D", …. Tj>4, Yi> • Y« определяются из ре­

шения системы (16.6) с использованием начальных условий.

Как видно из (16.10) возмущенное движение самолета в рассматриваемом слу­чае будет представлять собой наложение двух колебательных движений. Величины

А’ь**……. D’t**, A"………………. D"^* представляют собой амплитуды колебаний; v

и rf—круговые частоты; ф1( …, ф4, …. у4 — сдвиг фаз. Периоды колебаний

будут равны T-і = 2nlv, Тг — 2я/т).

Продольное иевозмущениое движение будетустойчивнм, если все Я*< 0 (в слу­чае действительных корней) или х<0 И (1<0 (в случае комплексных. сопря­женных корней).

Условия Я* < 0 или Х< 0 Я (1< 0 будут иметь место, если выполняются условия Рауса—Гурвица [см. (15.24) Т

во > 0, й! > 0, а2 > 0, а8 > 0, (16.11)

R = ata2a3 — а* — а3а >0.

В области продольной устойчивости должны выполняться условия (16,11). Апе­риодической границей области устойчивости является уравнение Од = 0, а коле­бательной R — а&аз — а — a, fll = 0 (см. § 15.3).

Об устойчивости опорной траектории в собственном продольном возмущенном движении можно судить по изменению линейных отклонений ДL и АН, которые описываются двумя последними уравнениями системы (16.1). Если опорным дви­жением будет установившийся горизонтальный полет, то эти уравнения прини­мают вид

AL = Д V АН = V ДЄ = V (Д0 — Да).

Подставляя в них найденные из решения системы (16.5) величины Д V (t), Д© (<) и Аа (<) и интегрируя, получим

AL = | АР (<) dt 4- Сх; АН = V j А© (t) dt—V j Да (t> dt 4- С2.

Если все Я* < 0, то при t-*-oo А V (t)-*- 6, Ай (t) -> 0, Да (<) -> 0 (см. (16.9)) -и тогда Д<.-»-Сі, а ДН-> С2.

Следовательно, самолет по отношению к опорной траектории будет устойчив, ио не асимптотически. Для возвращения самолета на исходную траекторию требуется вмешательство летчика или подключение автопилота.