УПРОЩЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ОСНОВНЫХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ДВИЖЕНИЯ САМОЛЕТА

Уравнения пространственного движения самолета в об­щем виде являются чрезмерно сложными для аналитических исследований. Необходимость выполнения аналитических и приближенных, качественных исследований динамики самолета и свойств его движения в рассматриваемых задачах чрезвычайно существенна. Это обусловлено, в первую очередь, нелинейным характером пространственного движения самолета, когда вид движения существенно зависит от предыстории движения, после­довательности и амплитуд отклонений органов управления и т. д.

В этих условиях только знание свойств движения позволяет правильно построить расчеты на ЦВМ. В связи с этим можно предложить следующую последовательность выполнения анализа:

— приближенный качественный анализ свойств движения, выявление основных расчетных или характерных случаев;

— выполнение точных расчетов на ЭВМ для подтверждения сделанных выводов;

— сопоставление с материалами летных испытаний и уточне­ние расчетов.

С учетом сделанных замечаний можно сформулировать цели настоящего параграфа как определение возможных упрощений уравнений движения путем пренебрежения второстепенными чле­нами и оценка влияния отброшенных членов. Еще раз отметим, что такие упрощения делаются для получения качественного

представления о свойствах движения, которое в дальнейшем уточняется расчетом по полным уравнениям. Иногда становятся допустимыми даже достаточно грубые упрощения, которые поз­воляют в наглядном виде получить результаты, тогда как выпол­нение более точных исследований часто приводит к труднообозри­мым результатам.

Для многих задач динамики самолета влияние гравитацион­ных сил на возмущенное движение самолета относительно центра масс мало, и они обычно определяют медленно изменяющиеся составляющие типа спирального движения. Это часто позволяет пренебречь влиянием гравитационных сил, что существенно упро­щает анализ быстрых составляющих возмущенного движения самолета.

Оценим влияние гравитационных сил на динамику самолета при вращении относительно продольной оси как основного вида пространственного движения.

Рассмотрим полные уравнения пространственного движения самолета в предположении, что V = const, Н = const и С —

= nix = Шху — 0, фг = 0. В этом случае при т*э6э = const, получим, что о* = Q = const. Ограничив рассмотрение несколь­кими переворотами, можно принять, что cos *0 ^ 1. При Q = = const уравнения движения являются линейными и гравита­ционные члены входят в них как возмущения:

а’ — иыг + р, рй — f ~2~ = cosy; со2 + ЛрПо^ — тг ба — = т2бф;

Р’ — к — цйа — 4-Р= -^isln у;

(о’у — Ярй о)2 — — rhyv(Oy = туябн,

(о* — mxxQ = бэ;

у’ = цЙ.

Влияние гравитационных сил и влияние управляющих моментов на динамику самолета может быть оценено по отдельности.

Решение системы уравнений (3.1) состоит из установившегося решения и решения, соответствующего переходному процессу. Например,

В свою очередь, решение ДЛЯ аУс1 (Т) является суммой некоторой постоянной составляющей решения и периодической составля­ющей, вызванной воздействием гравитационных членов о часто­той pQ:

ауст (т) = аУст + ауС1 (т, pQ).

Составляющая изменения угла атаки в переходном процессе зависит как от начальных условий, так и от изменений отклонений органов управления. Для оценки амплитуды колебательной со­ставляющей решения | аУст (т, pQ) | необходимо рассматривать гравитационные члены в уравнениях движения как периодиче­ское возмущение, определить из уравнения (3.1) передаточную функцию для угла атаки и найти ее модуль:

где Re Д и Im Д—действительная и мнимая части числителя, a Re Д0 и 1ш Д0 —действительная и мнимая части знаменателя передаточной функции при частоте со = р£2.

(3.6)

Выражения для коэффициентов Оі приведены в табл. 3.1. В соответствие с (3.5) и (3.6) получим:

c“«r n Vh(Ц&)4 — Ьл(цй)8 + fro]2 + [- f>3 (nQ)8 + b(nQ)]2

(3.7)

Оценим влияние параметров самолета на амплитуду колебаний по углу атаки, обусловленных влиянием гравитационных сил, при малых угловых скоростях вращения самолета по крену. Из соотношения (3.7), производя необходимые упрощения, получим

т. є. изменение угла атаки обычно значительно меньше угла атаки

Выражение в знаменателе (3.7) будет иметь минимальное зна­чение при угловой скорости крена, приближенно определяемой из соотношения

Это значение угловой скорости крена соответствует приближен­ному значению резонансной частоты воздействия гравитационных сил на вращающийся самолет. Подставив выражение (3.9) в (3.7), можно определить амплитуду колебаний по углу атаки при резо­нансной частоте Q*:

Анализ полученных выражений и расчеты, выполняемые с исполь­зованием полных уравнений движения, показывают, что влияние гравитационных членов на режимах полета, где самолет обладает удовлетворительной с позиций ручного управления продольной и боковой устойчивостью, является малым (рис. 3.1, 3.2). Измене­ния перегрузки от воздействия гравитационных сил достаточно малы. Из приведенных материалов следует, что для приближен­ных исследований можно отбросить в уравнениях движения гра­витационные члены, сохранив члены, обеспечивающие баланси­ровку самолета в горизонтальном полете. Следует отметить, что полученные таким образом уравнения неточно описывают гори­зонтальный полет самолета, так как подъемная сила не сбаланси­рована составляющей силы тяжести.

Рассмотрим несколько иной подход к анализу системы урав­нений (3.1). Произведем предварительно линеаризацию этих уравнений относительно условий горизонтального полета, т. е.

Рис. 3.1. Влияние различных упрощений уравнений движения на переходные процессы по а и Р при вращении самолета с угловой скоростью сох:

—————- точное решение;————————- решение уравнений (3.11); __ ———- решение уравнений (3.1) при с г^ п = О

2 Бюшгенс Г. С.

 

примем, что а = аг. п + Да. Отбросив в уравнении продольных

саа

сил выражение Ч—9Г’ п — (cos у — 1), а в уравнении боковых

саа I

сил———— п— sin 7, получим приближенную систему уравне­

ний

— _

Аа’ — ficoz -f — pio>vp -|—- — = 0;

сйг + ЛрсоАсог/ — гПгбЫ — іЩ6&Z = Аср;

_

Р рСО^ АО’ Р’ф* (аг. п ~}“ Фг) 2 Р ^ (^* ^)

■■ / —■ ■ Л (і) — ^

— Вцылыг — /п]$ — myv(i>y = /п^ бн; to* — fflt — m*p = т/бэ.

В этих уравнениях Аср — дополнительное отклонение органов продольного управления к отклонению, необходимому для обес­печения горизонтального полета. Уравнения (3.11) приближенно описывают движение самолета, в частности правильно описывают условия горизонтального полета. Проведем сопоставление урав­нений, записанных в форме (3.11), с позиций точности при пренеб­режении влиянием гравитационных сил, с уравнениями (3.1), в которых принято аГжП — 0:

— в обоих случаях пренебрежение гравитационными членами приводит к получению приближенных результатов;

— отбрасывание гравитационных членов в (3.1) приводит к тому, что не выполняются условия для исходного горизонтального по­лета, так как Amz приводит к появлению угла атаки и сог; си­стема уравнений (3.11) ли­шена этого недостатка;

— отбрасывая гравита­ционные члены в (3.1), полу­чаем установившиеся реше­ния с точностью до перио­дических членов;

Рис. 3.2. Переходные процессы по сЪх, соответствующие изменениям параметров а, Р на рис. 3.1

Упрощение уравнений движения

— рассматривая уравнения (3.11), получаем установившееся решение с ошибкой, состоящей как из периодического, так и из постоянного члена;

(3.12)

где А0 (о*) — свободный член характеристического уравнения системы (3.11). Оценка величины этого члена показывает, что он обычно мал; система уравнений в виде (3.11) хороша тем, что она переходит в приближенные уравнения бокового движения с учетом продольной балансировки и заведомо верна при умеренных углах крена (| у | < 45°).

Приведенные соображения позволяют сделать тот вывод, что при анализе длительных вращений самолета правильнее пользо­ваться уравнениями движения в форме (3.1), приняв в них аг. п = = 0, а при анализе разворотов по крену на относительно малые углы крена (| у | < 45°) правильнее пользоваться уравнениями в форме (3.11). Следует отметить, что уравнения в форме (3.11) достаточно хорошо описывают основные закономерности движения самолета и при вращении, приводят только к некоторым коли­чественным ошибкам (рис. 3.1), в связи с чем в ряде случаев можно использовать и их. Анализ влияния гравитационных членов

в общем случае, когда Шх Ф 0, приводит к необходимости иссле­дования нелинейных уравнений, что возможно только путем вы­полнения расчетов. Такие расчеты показывают, что и в этом случае пренебрежение гравитационными членами в уравнениях движения не изменяет качественного характера движения при условии, что самолет обладает аэродинамической устойчивостью. В общем случае аэродинамических характеристик самолета при­ближенно также можно считать, что гравитационные члены дают дополнительную периодическую составляющую в решении. По­скольку нас обычно интересует ограниченный интервал времени, то наличие этих членов проявляется в некотором изменении ам­плитуд параметров движения, но не оказывает влияния на каче­ственные, существенные свойства движения. Это позволяет от­бросить в уравнениях гравитационные члены, что значительно упрощает исследование динамики. При выполнении конкретных расчетов движения гравитационные члены, естественно, необхо­димо учитывать, что не затрудняет расчеты.

Влияние изменения скорости и высоты полета. Влияние изме­нения скорости полета самолета в процессе пространственного движения может быть оценено с помощью уравнений (2.9), из которых следует, что нестационарность движения эквивалентна изменению характеристик демпфирования самолета.

Предполагая, что в процессе движения летчик не изменяет режим работы двигателя (т. е. сР ^ const), оценим возможные порядки величины изменения коэффициента лобового сопротивле­ния сха при пространственном движении маневренного самолета. Изменение угла атаки самолета в процессе пространственного движения даже в 3…4 раза приводит на дозвуковых скоростях полета к изменению Дсха < 0,03, а на сверхзвуковых скоростях Асха < 0,08. Влияние такого изменения сха эквивалентно изме­нению демпфирования менее чем на 1 % как на дозвуковых, так и на сверхзвуковых скоростях. Из этих оценок следует, что обычно допустимо пренебрегать изменением скорости полета при прибли­женном анализе, ошибки в этом случае невелики и не могут изме­нить количественный характер решения. Учитывая это, в даль­нейшем будем полагать V = const.

Изменение высоты полета при маневрах вращения по крену, выполняемых из условий горизонтального полета, учитывая кратковременность таких маневров (/^10…15 с), обычно мало (АН < 500 м) и им также можно пренебречь, т. е. полагать р = = const в процессе исследуемого движения.

Упрощение аэродинамической модели самолета. Приведенная выше аэродинамическая модель самолета достаточно полно опи­сывает его свойства, однако для аналитических оценок может быть упрощена. В дальнейшем аэродинамические коэффициенты

Су, тух> тху будут обычно приниматься равными нулю, кроме специально оговариваемых случаев. При выполнении численных расчетов учет этих членов не представляет труда. При анализе управления самолетом иногда будет предполагаться, что элероны создают только момент Дга^, а руль направления — только мо­мент Дга„, т. е. будут отбрасываться члены туд6Э и т*нбн. В тех. случаях, когда перекрестные моменты управления оказывают существенное влияние, они будут учитываться. Во всех случаях представление моментов от элеронов и руля направления в виде Д тХУ Д ту облегчает понимание существа рассматриваемых явлений.

Учитывая, что в рассматриваемых движениях изменения углов а и Р малы и угловые скорости со2 и со,, также малы | coz ~ 0 (со*а), СО,, ~ 0 (С0*Р) |, получим, ЧТО член С(Оу(дг в уравнении моментов

крена имеет второй порядок малости Ссо„со2 ~ 0 (ар), а так как и С обычно невелико, то для рассматриваемых задач эти члены можно принять равными нулю.

С учетом сделанных замечаний получим упрощенную систему уравнений движения, которая в дальнейшем будет основной для выполнения приближенных и качественных оценок динамики самолета:

с06

а’ — pcoz — f pfko* + — у — а = 0;

— _• / сог-(- А\йхйу — — ftizi&z — ^гб~т— ^гФ» И С? Р’- is 2 — ptOy — |Ю)Л (а + сгГ) 2 Р = 0; (3.13) — В[ла>х(Ьг — mjjр — = Д (Ь’х — т% — thxxG>x = Д тх.

При выполнении конкретных расчетов используются системы уравнений (2.2), (2.3), (1.8).

ГЛАВА 2