ДВИЖЕНИЯ САМОЛЕТА

В общем случае уравнения движения самолета могут быть записаны в виде

*i = h (хъ…, хп), і 1, п. (8.1)

Переменные хъ …, хПу представляющие собой величины угловых скоростей, углы атаки и скольжения самолета и т. д., можно рассматривать как координаты точки /г-мерного фазового пространства. Поскольку в правые части уравнений (8.1) не входит в явном виде время, то из системы дифференциальных уравнений его всегда можно исключить и тем самым понизить их порядок при условии, что одновременно не все правые части уравнений обращаются в нуль. В результате такой операции получаются дифференциальные уравнения, не содержащие время, интегралы которых определяют связи между фазовыми координатами (xlt…, хп), выполняющиеся во все время движения. Получающиеся при этом картины движения на фазовой плоскости для уравнений второго порядка либо в фазовом пространстве, если порядок уравнений выше второго, описывают движение, в частности, указывают на области устойчивого и неустойчивого дви­жения, на периодические движения и т. д. Практическое выполнение описанного выше построения траекторий движения в фазовом пространстве в большинстве случаев столь же сложно, как и нахождение решений исходных уравнений в общем виде.

Основные представления о характере фазовых траекторий можно получить, если рассматривать правые части системы уравнений (8.1) как компоненты век­тора f (хі, …, хп), выходящего из точки хи…, хп (рис. 8.1). Таким образом, системе уравнений (8.1) ставится в соответствие некоторое векторное поле. В этом

векторном поле вектор / определяет фазовую скорость, поскольку его компонен­тами являются величины производных от координат. Во всех точках простран-

ства фазовые траектории направлены по касательной к вектору /. На этом осно­ваны некоторые приближенные методы построения фазовых траекторий. Дейст-

о о

вительно, начав в некоторой точке фазового пространства х, …, хп, можно с по-

мощью уравнений (8.1) вычислить компоненты вектора / и передвинуться на не­которое расстояние в направлении этого вектора. Повторяя последовательно эту процедуру при достаточно малых «шагах» изменения параметров (хг, …» хп)г

Особенности анализа пространственного движения самолета

Рис. 8.1. Иллюстрация понятий, связан­ных с анализом фазовых траекторий

можно с необходимой точностью по­строить всю фазовую траекторию.

Как для вопросов устойчивости, так и для общего качественного анализа диф­ференциальных уравнений большое зна­чение имеет исследование особых точек или точек покоя системы уравнений (8.1).

Это те ТОЧКИ х*), для ^которых

одновременно все правые части уравне­ний обращаются в нуль, т. е.

//(*!*, . . ., х*) = 0, (8.2)

Вид движения в окрестности особых точек для рассматриваемых задач ме­ханики может быть получен путем нахождения решения уравнений, линеаризо­ванных относительно параметров движения в этой точке. Основные свойства решения линеаризированных уравнений определяются корнями соответствую­щего характеристического уравнения. В этой связи и сами особые точки опреде­ляются и классифицируются в зависимости от корней характеристических урав­нений, линеаризированных относительно параметров в особой точке уравнений движения. Прежде чем переходить к описанию свойств решений в окрестности особых точек в /г-мерном случае, сузим класс исследуемых динамических систем, а именно, будем учитывать, что рассматриваемые нами механические задачи от­носятся к так называемым «грубым системам». Понятие грубых систем [2, 4, 10, 19] заключается в следующем. Для того чтобы рассматриваемая динамическая модель движения хорошо отражала свойства реального физического процесса, необходимо, чтобы она была устойчива к малым изменениям параметров. Пре­жде всего, у динамических систем, соответствующих физическим задачам, при малых изменениях параметров в правых частях уравнений должна оставаться неизменной качественная структура разбиения на траектории в фазовом прост­ранстве. Системы, для которых это требование выполняется, называются грубыми [2, 4, 19]. В грубых системах возможно конечное число особых точек и любые сочетания корней характеристического уравнения в окрестности особых точек, за исключением чисто мнимых и кратных корней. При определении зависимости вида особых точек от параметров системы уравнений движения могут встречаться особые точки, не удовлетворяющие условию грубой системы. Исследование дви­жения летательного аппарата в окрестности негрубых особых точек практического интереса не представляет, поскольку вероятность такого сочетания параметров самолета в действительности нулевая и на практике такое движение не реализуется.

В работах [2, 4, 19] приводится классификация возможных в грубых си­стемах видовособых точек для уравнений второго порядка в зависимости от корней Аь А2 характеристического уравнения:

1) Аь А2 — действительные отрицательные (положительные). Состояние рав­новесия, соответствующее этому условию, называется устойчивым (неустойчи­вым) узлом. Характер фазовых траекторий виден из рис. 8.2;

2) Aj, А2— комплексные с отрицательной (положительной) действительной частью. Состояние равновесия называется устойчивым (неустойчивым) фокусом (рис. 8.3);

3) Aj, А2— действительные, разных знаков. Состояние равновесия назы­вается седлом (рис. 8.4).

При увеличении порядка уравнений до третьего количество возможных ва­риантов возрастает. Классификация и определения особых точек в зависимости

Рис. 8.2. Фазовые траектории в окрестности особой точки на плоскости: а — устойчивый узел; б — неустойчивый узел

Рис. 8.3. Фазовые траектории в ок­рестности особой точки на плоско­сти:

а — устойчивый фокус; б — неустой­чивый фокус

Рис. 8.4. Фазовые траектории в ок­рестности седловой особой точки на плоскости

от корней характеристического уравнения для этого случая предложены в моно­графии [19].

В соответствии с этой работой при анализе уравнений третьего порядка будем пользоваться следующей классификацией и наименованием особых точек;

1) Я2, Х3 — действительные отрицательные (положительные). Состояние равновесия, отвечающее этому случаю, называется устойчивым (неустойчивым) узлом и изображено на рис. 8.5;

2) один из корней — действительный, два других — комплексные, причем все корни имеют отрицательные (положительные) действительные части. Соот­ветствующее этому случаю состояние равновесия называется устойчивым (не­устойчивым) фокусом (рис. 8.6);

3) один из корней — действительный, два других — комплексные, причем знаки действительного корня и действительной части комплексно сопряженных корней разные. Этот случай соответствует состоянию равновесия, называемому седлофокус (рис. 8.7, а> 6V,

4) все корни — действительные разных знаков, что соответствует двум типам состояний равновесия, называемым седлоузлом (рис. 8.8. а и б).

Далее будут рассматриваться нелинейные уравнения пятого порядка. Для таких уравнений можно ввести понятия и определения особых точек по аналогии с работой [19]. Классификация и наименование особых точек для уравнений пя­того порядка, по-видимому, может быть принята и для общего я-мерного случая» поскольку в ней фактически учтены все возможные сочетания действительных и комплексных корней. Фазовое пространство пятого порядка уже не поддается наглядному графическому представлению. В связи с этим, иллюстрации, которые будут приведены ниже для этого случая, представляют из себя условные схема­тические изображения функций пяти переменных на плоскости или в трехмер­ном пространстве.

Итак, при анализе уравнений пятого порядка будем пользоваться следующей классификацией и наименованием особых точек в зависимости от корней (Аь…, …, Х5) характеристического уравнения.

1. Корни…, Я5 — действительные отрицательные (положительные). Со­стояние равновесия, соответствующее этому случаю, будем называть устойчивым (неустойчивым) узлом. Характер фазовых траекторий аналогичен изображенному на рис. 8.5, а, б.

2. Три корня — действительные, два — комплексные, причем знаки дей­ствительных корней и действительной части комплексно-сопряженных корней

Рис. 8.5. Фазовые траектории в окрестности особой точки в трехмерном про­странстве: а ~~ устойчивый узел; б—[неустойчивый узел

Рис. 8.6. Фазовые траектории в окрестности особой точки в трехмерном прост­ранстве: о — устойчивый фокус; б — неустойчивый фокус

Рис. 8.7. Фазовые траектории в окрестности особой точки в трехмерном про­странстве типа седлофокус: а — % >0, £ <0; б — Я, <0, £ > 0

отрицательные (положительные). Особую точку в этом случае будем называть устойчивым (неустойчивым) узлом фокусом. Характер фазовых траекторий анало­гичен изображенному на рис. 8.6, ау б с учетом усложнения картины при пере­ходе к пятимерному пространству.

3. Один корень — действительный (Я), две пары комплексных корней (Si dh ± fr)i, ± іТІ2)> причем знаки действительного корня и действительных частей комплексно-сопряженных корней отрицательны (положительны). Особую точку в этом случае будем называть устойчивым (неустойчивым) фокусом. Харак­тер фазовых траекторий иллюстрируется на рис. 8.9.

4. Один корень — действительный (Я), две пары комплексных корней (Si ± ± /»li, S2 ± причем знаки действительной части одной или обеих пар комп­лексно-сопряженных корней противоположны знаку действительного корня. Состояние равновесия (особою точку) в этом случае будем называть седлофоку — сом. Характер фазовых траекторий в окрестности особой точки иллюстрируется на рнс. 8.10.

5. Три корня — действительные (Ях, Я2, Я3), два — комплексные (S ± in). причем действительные корни имеют различные знаки. Состояние равновесия (особую точку) в этом случае будем называть седло-узел-фокус. Характер фазовых траекторий в окрестности особой точки показан на рис. 8.11.

6. Три корня — действительные, два — комплексные, причем действитель­ные корни имеют одинаковые знаки, отличные от знака действительной части комплексно-сопряженной пары корней. Особую точку в этом случае будем на­зывать седлофокусом.

Характер фазовых тракеторий для этого случая аначогичен изображенному на рис. 8.7.

7. Все корни — действительные, разных знаков. Особую точку в этом слу­чае будем называеть седлоузлом. Характер фазовых траекторий для этого случая аналогичен изображенному на рис. 8.8.

На всех рисунках стрелками показано направление движения фигуративной точки по фазовой траектории при возрастании времени.

Характерным для движения в окрестности особых точек типа седло является тот факт, что почти все фазовые траектории приближаются на некоторое мини­мальное расстояние к особой точке при 0< /< оо, но не достигают ее, т. е. все интегральные кривые являются седловыми. Исключение составляют фазовые траектории, лежащие на некоторых особых поверхностях, которые могут либо «входить» в особую точку, либо «выходить» из нее. Особые поверхности, которые пересекаются в седловой особой точке, имеют большое значение при анализе фазового пространства решений. Эго обусловлено тем, что при наличии несколь­ких устойчивых особых точек, такие поверхности часто разграничивают области их притяжения, т. е. области, из которых фазовые траектории стремятся к соот­ветствующим особым точкам. В связи с этим, такие поверхности называются сепарагприсными.

Анализ свойств решений уравнении движения с использованием методов ка­чественной теории дифференциальных уравнений может быть разделен на сле­дующее основные этапы (рис. 8.12). Сначала из системы уравнений (8.1) находятся все возможные состояния равновесия, т. е. координаты особых точек. После на­хождения особых точек исследуются движения в их малой окрестности. Эта за­дача значительно более простая, чем первая. Действительно, для определения движения в малой окрестности особой точки необходимо линеаризовать уравне­ния движения относительно фазовых координат, соответствующих особой точке, и исследовать характеристическое уравнение полученной системы линейных уравнений. Все отмеченные операции — линеаризация и нахождение корней характеристического уравнения — легко выполняются на ЦВМ. Однако иссле­дование траекторий в фазовом пространстве на этом не заканчивается. Необхо­димо получить представление о фазовых траекториях вдали от особых точек, т. е. о движении «в большом». Решение этой задачи значительно более сложно, чем рассмотренные ранее, и может идти двумя путями — путем расчета конкрет-

3 Бюшгенс Г. С-

О, Oj А»2, Л>д ^ Oj б ^li ^2 ^ О

Рис. 8.9. Фазовые траектории в окрестности особой точки в пятимерном про­странстве:

а — устойчивый фокус; б — неустойчивый фокус

Рис. 8.10. Фазовые траектории в окрестности особой точки типа седлофокус в пятимерном пространстве:

а — > 0; І! < 0; 12 zi 0; б — <0, "> 0; і2 г. 0

Рис. 8.11. Фазовые траектории в окрестности особой точки типа седлофокус в пятимерном пространстве: а — Kit К <0, К ^ 0 егО; б — А, <0; %2, %3 > 0 ^z0 3*

 

Нахождение координат особых точек

Определение типа особой точки

Линеаризация уравнений в —^ окрестности особых точек

Определение корней характеристического уравнения

Определение бифуркацион­ного значения параметров управления

Определение уравнений сепаратрисных плоско­стей в окрестности особых точек

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ x=f(x, uj

Определение сепаратрис — кых поверхностей

Определение изоклинных поверхностей

Определение предельных циклов

 

Рис. 8.12. Структурная схема расчетов при анализе свойств решений в фазовом пространстве ных фазовых траекторий и путем нахождения и построения изоклин, т. е. линий, на которых касательные к фазовым траекториям имеют постоянный наклон к ко­ординатным осям.

Для получения представления о структуре разбиения фазового пространства кроме нахождения особых точек и анализа движения в их окрестности необходимо определить сепаратрисньте поверхности, разделяющие области фазового про­странства с различным характером движения, и найти предельные циклы, если они существуют. Для задач определения сеператрисных поверхностей и предель­ных циклов не существует регулярных методов решения, даже для движения на плоскости. В связи с этим большой интерес представчяют различные приближен­ные методы с привлечением численных расчетов.

Остановимся на возможности приближенного нахождения сепаратрисных поверхностей. Сепаратрисные поверхности выходят из особых точек, когда в со­ответствующем характеристическом уравнении имеются действительные корни, в частности, из седловых особых точек. Для < грубых» систем и уравнений рас­сматриваемого нами типа таких поверхностей конечное число. В непосредствен­ной окрестности особой точки сепаратрисные поверхности являются плоскостями. Основным свойством сепаратрисной поверхности является то, что решения для фазовых координат, лежащих на этой поверхности в окрестности особой точки, не зависят от одного из действительных корней характеристического уравнения, например, положительного. Благодаря этому на сепаратрисной поверхности могут, в частности, существовать устойчивые решения, хотя во всем остальном пространстве они будут апериодически неустойчивы.

Решение для произвольной переменной хі в окрестности особой точки может быть представлено в виде

хі = — f — Лгіе^-* (8.3)

где Xlt…, Кп — корни характеристического уравнения, в общем случае ком­плексные.

Пусть — действительный корень. Покажем, что для обращения всех ко­эффициентов Агі в нуль, обычно достаточно обращения в нуль коэффициента Агі в решении хотя бы для одной из переменных, например, для хг. Действительно, рассмотрим систему линейных уравнений, описывающих движение летательного аппарата в окрестности особой точки:

п

хі = (lijXjу і 1» . • • j ft. (8.4)

Если подставить в систему уравнений (8.4) у^шение х^ = А*( ехр (Я^/), то харак­теристический определитель обратиться в нул^, что говорит о том, что одно из уравнений системы (8.4) является следствием остальных уравнений. Исключая одно из уравнений, например первое, из системы уравнений (8.4) получим систему линейных алгебраических уравнений для нахождения составляющих решений х2, …» хп при члене ехр (Лх/) в функции решения х±. Поскольку корень Я-! не имеет кратного, то всегда можно так исключить из системы (8.4) одно уравнение, чтобы оставшиеся уравнения имели характеристический определитель, не равный нулю, откуда в силу линейности уравнений следует, что существует решение

Xj = A°1gj () еЯі/, = 2……………………. (8.5)

т. е. решение представляется в виде произведения коэффициента А{ на константу, которая зависит от номера параметра движения /, при котором она вычисляется, и от коэффициента характеристического уравнения. Величина А°{ в решении для хх является функцией начальных условий. Поскольку уравнения линейны и однородны, то константа А представляется в виде

^=Ил(0). (8-6)

і=1

где хі (0) — значения параметров движения в начальный момент времени.

Как следует из выражения (8.5) в том случае, когда А[ — 0, в нуль обра­щаются коэффициенты при соответствующих членах ехр (Лх/) в решениях для всех параметров движения.

Из выражения (8.6) следует, что областью начальных значений параметров движения Xit при которых в решении отсутствует член ехр (X, t)t является ги­перплоскость размерности (п — 1) в «-мерном пространстве, проходящая через особую точку. Уравнение ^той гиперплоскости можно получить, если приравнять нулю выражение для А°{ (8.6):;

п

Ьіхі = 0- (8*7)

i=l

В силу единственности решения системы дифференциальных уравнений (8.4) все интегральные кривые, имеющие хотя бы одну точку, отличную от особой, общую с точками плоскости (8.7), целиком лежат в ней. Отсюда следует, что ни, одна интегральная кривая не пересекает эту плоскость, т. е. плоскость является сепаратрисной и разделяет фазовое пространство на области. Число сепаратрисных плоскостей, проходящих через особую точку, равно числу действительных кор­ней. Если характеристическое уравнение системы имеет только один положитель­ный действительный корень, то интегральные кривые во всем фазовом простран­стве, за исключением интегральных кривых, лежащих на сепаратрисной плоскости, приближаются на некоторое минимальное расстояние к особой точке, после чего от нее удаляются (см. рис. 8.7, 8.8). Исключение составляют интегральные кри­вые, лежащие на сепаратрисной плоскости, которые, если действительные части

всех остальных корней отрицательны, приближаются сколь угодно близко к осо­бой точке. Рассмотрим метод определения уравнения сепаратрисной плоскости в окрестности особой ТОЧКИ. Пусть решение ДЛЯ Произвольной переменной XI в окрестности особой точки представляется в виде (8.3), где ^ — действительный корень. Определим уравнение сепаратрисной плоскости, для которой решение фазовых траекторий не зависит от этого корня. Для нахождения зависимости коэффициента Ахі от начальных условий по фазовым координатам рассмотрим производные хі (8.3) по времени, вплоть до (п—1)-го порядка в начальный момент времени t = 0:

хі (0) = A±i — f — А21 — f — • . .*

хі (0) = Аіікі + A2ik2 + • • •; /о

……………………………………………………………………………………. (8-8)

1 №) = A j.7^ 1 — f — А21Щ 1 4" • • ••

Из системы линейных уравнений (8.8) найдем выражение для коэффициента Ахі

Лі

где

В соотношении (8.9) выражения для производных по времени от t-й коорди­наты могут быть преобразованы с использованием уравнений движения в зави­симости от фазовых координат, которые будут входить в (8.9) линейно. Посколь­ку уравнения сепаратрисных плоскостей получаются путем приравнивания вы­ражений для Ахі к нулю, то практически необходимо вычислять только опре­делитель Дх. Соответствующие иллюстрации описанной процедуры приводятся в гл. 5 книги.

С удалением от особой точки точность представления уравнений движе­ния линейными ухудшается, и сепаратрисные (п—1)-мерные гиперплоскости переходят в поверхности более сложного вида, разделяющие фазовое простран­ство на несколько подпространств, в каждом из которых могут быть различные виды интегральных кривых. Приближенные представления о положении сепарат­рисных поверхностей могут быть получены численными методами. Для этого на сепаратрисной плоскости, вблизи от особой точки, выбирается произвольная точка, координаты которой принимаются в качестве начальных значений, и на­ходится решение уравнений движения. Найденная фазовая траектория в пер­вом приближении лежит на сепаратрисной поверхности. Производя последова­тельное «передвижение» по сепаратрисной плоскости в окрестности особой точки и анализируя получаемые фазовые траектории можно «воссоздать» положение. сепаратрисной поверхности в фазовом пространстве. Такой метод, однако, яв­ляется приближенным, и, по-видимому, далеко не во всех случаях позволяет достаточно точно найти решения для сепаратрисных поверхностей.

Как отмечалось ранее, основными элементами, определяющими качественную картину расположения интегральных кривых в фазовом пространстве для гру­бых динамических систем, являются особые точки, предельные циклы и сепа­ратрисные поверхности. Если известно положение и типы особых точек, предель­ные циклы и сепаратрисные поверхности, то можно в общих чертах представить качественную картину расположения интегральных кривых в фазовом простран­стве и определить картину движения в зависимости от начальных условий.

71

Изменения параметров уравнений движения, в нашем случае при исследо­вании динамики самолета таковыми, в частности, являются величины отклонений органов управления самолетом <р, 6Э, 6Н, приводит к изменению фазовой картины движения. При этом общий вид расположения интегральных кривых может претерпевать либо некоторые количественные изменения, когда так называемая топологическая структура разбиения фазового пространства — число и характер особых точек, предельных циклов и сепаратрисных поверхностей — не изменя­ется, либо качественные изменения, что происходит при некоторых особых, так называемых «бифуркационных», значениях параметров. Это может выразиться в изменении типа особых точек (например, превращение особой точки типа ус­тойчивого узла в седловую), в изменении числа особых точек, в исчезновении либо появлении предельного цикла и т. д. Очевидно, что такие значения парамет­ров уравнения представляют особый интерес, так как они определяют границы, на которых происходит качественное изменение характеристик управляемого движения самолета, например, появляются области неустойчивого движения, нарушения управляемости и т. д.

Рассмотрим зависимость свойств фазового пространства решений от пара­метров динамической системы, используя результаты работы [10]. Основой рас­сматриваемого в этой работе метода является локальное исследование биф} рка — ций с последующим выяснением их роли в глобальной структуре с отбрасыванием особых случаев. Рассматриваемая в настоящей работе механическая задача поз­воляет существенно ограничить круг исследуемых вопросов, поскольку она от­носится к классу динамических систем с конечным числом состояний равновесия и периодических движений. В таких системах в фазовом пространстве имеется конечное число состояний равновесия и периодических движений и все остальные движения асимптотически приближаются к ним как при возрастании, так и при убывании вреімени. Этот класс динамических систем бьп выделен Смейлом и получил название систем Морса-Смейла [10, 19].

Рассмотрим возможные в таких системах типы бифуркаций. Будем рассма­тривать динамические системы, описываемые уравнениями

=/i 0*i, . ■ Хп), 1 = 1,…, п. (8.11)

Пусть правые части уравнений гладко зависят от некоторого параметра v. Тогда состояния равновесия уравнений (8.11) определяются как корни системы урав­нений

U (х* (v), v) = 0, (8.12)

а тип состояния равновесия определяется корнями соответствующего характери­стического уравнения

X (К V) = 0. (8.13)

При непрерывном изменении параметра v исчезновение корня х* (v) в урав­нении (8.12) возможно лишь в случае обращения в нуль его Якобиана, который совпадает со значением характеристического полинома (8.13) при К = 0, т. е. при обращении в нуть свободного члена характеристического уравнения. В силу этого, граница области существования состояния равновесия х* (v) состоит из точек, удовлетворяющих уравнению

г (о, v) = о. (8.1«

В более общем случае потеря устойчивости может иметь колебательный характер, о тку та следует, что любая точка границы области устойчивости состоя­ния равновесия данного типа удовлетворяет уравнению

Х(/ш, v) = 0 (8.15)

при каком-либо действительном значении со. Разделяя в (8.15) действительную и мнимю части, получим:

Хі (со, v) = 0; х2 (со, v) = 0.

Эти уравнения определяют некоторую поверхность описываемую параметри­ческими уравнениями (8.16), где о изменяется от —эо до +оо, и особую поверх­ность N0, точки которой удовлетворяют уравнению

Ул (0, v) = 0. (8.17)

Внутри каждой области, ограничиваемой поверхностями Л^, N0> состояния равновесия зависят от параметра v непрерывно и имеют один и тот же тип, опре­деляемый количеством корней характеристического уравнения, имеющих от­рицательную (р) и положительную (q) действительную части.

Рассмотрим как изменяется фазовая картина движения при прохождении через поверхности Л(1), N0 в процессе изменения параметра v. При прохождении параметров системы через границу N0 происходит исчезновение состояния рав­новесия 0p’q (v). Это исчезновение происходит благодаря слиянию его с другим

состоянием равновесия типа 0Р~д, или типа 0л 1 ’ д^у. В момент слияния возникает сложное состояние равновесия, которое при дальнейшем изменении параметра исчезает. Последовательные стадии изменения фазовой картины иллюстрируются на рис. 8.13.

При прохождении параметров системы через границу состояние равно­весия сохраняется, изменяется только его тип. При этом, если оно ранее было

типа 0Р’ Qу то после прохода точкой v через поверхность становится либо QP—2, q 2^ либ0 qp+2. <7—2 Одновременно с этим изменением состояния равно­весия от него рождается или с ним сливается периодическое движение (Г). Со­ответствующая иллюстрация изменения фазовой картины приведена на рис. 8.14. Описанные основные типы бифуркаций символически могут быть записаны:

0Р’ * + 0р+1, Q~l-+ 0 )

> исчезновение особой точки;

0Р’ 4 + 0Р~]’ 0 )

0Р’ q -+ 0Р~2, <7~^2 + Гр• <7+1 1 появление предельного цикла;

?_|_ гр~У’ q^~2-> 0Р~2, q^~2 / исчезновение предельного цикла;

0Р’ q0Л~*~2, q~~ + гр q ) появление предельного цикла;

0р* <7 fP+2- <7—qP+2, <7 -2 I исчезновение предельного цикла.

Бифуркации (8.19) и (8.20) разделяются в зависимости от знака величины:

где Re — действительная часть выражения; звездочкой обозначено комплексно­сопряженное ЧИСЛО, И производные ВЫЧИСЛЯЮТСЯ при v — Vj и X = /СО, где Vj — бифуркационное значение параметра v.

—®-о—о—*— —*—о—*

Рис. 8.13. Последовательные стадии изменения состояния равновесия при не­прерывном изменении параметра v, приводящем к слиянию особых точек седло и узел

При о > 0 имеет место бифуркация с возрастанием числа р у состояния рав­новесия, а при а< 0 — с его убыванием.

Особый интерес представляют бифуркации устойчивого состояния равнове­сия. Такие бифуркации символически могут быть записаны в виде

(8.22)

(8.23)

При бифуркациях (8.23) состояние равновесия в обоих случаях из устойчи­вого переходит в седловое и при этом одновременно из него рождается или в нем

исчезает устойчивое Гп’ 1 или соответственно седловое Г’1-1, 2, периодическое движение. В первом и последнем случае происходит исчезновение устойчивого установившегося движения, во втором случае такое исчезновение не имеет места, поскольку при этом устойчивое состояние равновесия непрерывно преобразуется в устойчивое же периодическое движение. При этом область притяжения устой­чивого состояния равновесия непрерывно переходит в область притяжения устойчивого периодического движения.

Приведенные в настоящем параграфе факты будут использоваться далее при рассмотрении зависимости фазовой картины движения самолета от параме­тров управления, в первую очередь от величины момента крена от элеронов.