ЗЛО. Потоки отказов

При эксплуатации восстанавливаемых систем наблюдает­ся поток отказов. Под потоком отказов понимается последова­тельность отказов, происходящих один за другим в случайные моменты времени.

Поток отказов называется входным потоком, а поток вос­становлений (моменты устранений отказов) называется вы­ходным потоком.

Математическое описание реальных потоков отказов яв­ляется весьма сложной задачей. Однако многие из них можно заменить потоками, которые обладают свойствами, позволяю­щими найти более простые способы их изучения. Рассмотрим потоки, обладающие этими интересными свойствами.

1. Поток отказов называется стационарным, если вероят­ность появления того или иного числа отказов на интервале времени длиной “ зависит только от длины интервала и не

imuiau or того, где именно на оси 0—f расположен этот ин — Iецннл (рнс. 3.17).

2. Поток отказов называется потоком без последействия, ли для любых неперекрывающнхся интервалов времени чис — ‘ю отказов, появляющихся на одном из них (т), не зависит 1,1 числа отказов, появляющихся на других (х, у), (рис. 3.18).

г

Рис. 3.18. К определению потока отказов без после-
действия

3. Поток отказов называется ординарным, если вероят­ность появления на элементарном интервале At двух и более ні пазов пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью по­явления одного отказа (рис. 3.19). Наиболее важной характе­ристикой потока отказов является параметр потока to (t), рас — могренный выше.

"•у— * о о О" ‘Hot " ** **

Рис. 3.19. К определению ординарности потока от- . казов

Для расчета и анализа надежности авиационной техники Ипн’рес представляет рассмотрение, в какой мере условия гициопарности, беспоследействия н ординарности соответст — Нюг реальным потокам отказов, а также за счет каких фак — fripoB они могут быть нарушены.

1. Условию стационарности удовлетворяет поток отка — п н (повреждений), вероятностные характеристики которого їв — ипщеят от времени В частности, для стационарного пото­ки но параметр остается постоянным па всем стационарном ншервале со —const. Это значит, что вероятность безотказной |щ1юп»! на данном интервале t, t + t не зависит от времени

предшествующей работы t7 а зависит только от длины шпор вала т. Наличие свойства стационарности значительно обли­чает изучение потока отказов. Действительно, если известен характер потока отказов, появляющихся в данной системе с некоторого начального момента /=0, то для того, чтобы полу­чить характеристики потока, начиная с момента t~xy нет не­обходимости изучать этот поток заново. Можно’ воспользо­ваться характеристиками потока, полученными ранее. Свойст­вом стационарности обладают реальные потоки внезапных от­казов, если система прошла хорошую приработку, ио еще нс выработала межремонтного ресурса. В этом интервале, как было рассмотрено выше, проявляется эргодическое свойство стационарных потоков. В потоках отказов, которые появляют­ся в период, продолжающийся с момента изготовления систе­мы до момента ее полного физическою износа, нарушение ус­ловия стационарности наблюдается в начале эксплуатации, когда силен поток приработочных отказов, а также за преде­лами технического ресурса, когда усиливается поток отказов по износу.

В период технического ресурса наблюдаются случаи нару­шения стационарности. Так, в некоторых сложных автомати­ческих системах, таких, как, например, топливная автоматика ТРД или ТВД, отдельные ее элементы работают неодновре­менно в течение полета. Это означает, что вероятность вне­запного отказа зависит от места расположения интервала ра­боты элементов на оси времени. Условие стационарности мо­жет также нарушаться при эксплуатации систем на нерасчет­ных режимах. Таким образом, в действительности все «ста­ционарные» потоки полностью стационарны лишь’ на ограни­ченном интервале времени, а распространение этого интерва­ла до бесконечности — это лишь прием, применяемый в це­лях упрощения анализа и расчета. Более того, как видно из рис. 3.6, даже на ограниченных интервалах стационарности в реальных потоках наблюдается колебание со. Поэтому — при анализе характеристики P(t) для соблюдения условия стацио­нарности приходится исходить из среднего значения парамет­ра потока отказов

П

где п — число интервалов

2. Условие отсутствия последействия является наиболее ) явственным для возможности упрощения математического

описання потоков.

Полное соблюдение условия беспоследействия встречается, і’.тример, в потоках внезапных отказов восстанавливаемых петом, элементы которых соединены одиночно, а устранение внезапных отказов организовано таким образом, что система никогда не функционирует с отказавшими элементами.

Случаев нарушений этого условия можно привести доста — пятое количество. Например, при постепенном изменении па­раметров, определяющих работоспособность одних элементов, ■■ «меняется режим работы соседних с ними элементов, и отказ одних элементов вызывает снижение вероятности безотказной работы других. Отказы из-за износа или старения до опреде­ленного момента’ их развития никак внешне не проявляются, н заметить их можно только после частичной нлн полной раз­борки системы, что в условиях эксплуатации самолетов за­частую делать невозможно. Поэтому весь период развития по­добных отказов до их обнаружения является периодом вред­ного влияния изношенного элемента на другие элементы. Это нежелательное влияние может, в частности, выражаться в том, что остальные элементы работают на режимах, превыша­ющих расчетные. Таким образом, поток отказов сложной сн — исмы, еелн в нем преобладают постепенные отказы, является потоком с последействием.

Внезапные отказы одних элементов также могут изменить режим работы других элементов. Однако внезапные отказы в іімоке могут хорошо проявляться в виде внешних признаков ненормальной работы при функционировании системы. Если ісхник самолета сразу обнаружит и устранит отказ элемента, к» последующие отказы будут появляться в потоке без после­действия. Это очень важный момент в построении всего комп­лекса технического обслуживания самолетов, поскольку вся­кне отклонения от него делают невозможным обоснованное планирование периодических проверок технического состоя­ния и профнлактик авиационной техники.

3. Условие ординарности потока отказов означает невоз — Мпжность появлення в один н тот же момент времени более и того отказа.

Простейший поток. Простейшим потоком отказов иазыва — і і си поток, одновременно обладающий свойствами стационар — ногтн, ординарности н отсутствия последействия. Простейший ннтк отказов вызывает особый интерес, поскольку близкие

97

к нему нс структуре потоки отказов встречаются в реальных условиях эксплуатации авиационной техники.

Простейший поток обладает следующими важными свой­ствами:

1. Отказы, образующие простейший поток, распределены по закону Пуассона, т. е.

где Qn(t) — вероятность возникновения в течение времени t ровно п-отказов; со — параметр потока отказов.

2. Закон распределения интервалов времени между сосед­ними отказами является показательным, т. е.

Q(0= 1-е-‘.

3. Плотность распределения интервалов времени между соседними отказами определяется выражением

/(О-

4. Плотность распределения интервалов времени от нача­ла наблюдения за эксплуатацией элемента до его к-го отказа определяется формулой

т. е. представляет собой гамма-распределение.

Нестационарный пуассоновский поток. Поток отказов, кото­рый обладает свойством ординарности и беспоследействия, но не обладает свойством стационарности, называется нестацио­нарным пуассоновским потоком.

Для такого потока число отказов п, появляющихся на ин­тервале времени і, который начинается в момент /, подчиня­ется закону Пуассона:

0. (*.«) =

і iccb П(/,т) —среднее число отказов на интервале от і до І т, равное

/-f-T

Q(t,~) = J і» (t)lit, (3.27)

О

где 0,(/)—среднее число отказов в единицу времени (параметр иогока).

Величина П(/, г) зависит не только от длины интервала по и от его положения на оси Ctf.

Поток с ограниченным последействием (поток Пальма). Поток отказов называется потоком с ограниченным после­действием, если интервалы времени между последовательны­ми отказами в моменты t, /2, ..tt (рис. 3.20) представляют собой независимые случайные величины.

х г Рис. 3.20. Поток отказов с ограниченным последействием

Потоки с ограниченным последействием представляют большой интерес, так как выходные потоки систем массо­вого обслуживания обладают в различной степени свой­ством последействия. Например, поток восстановлений отка — ыгшшх элементов авиационной техники представляет собой поток с ограниченным последействием.

Интерес к структуре выходных потоков объясняется в пер­вую очередь тем, что выходные потоки являются потоками моментов окончаний обслуживания требований (восстановле­нии работоспособности, окончаний подготовок к полету

Я I. л.).

Па примере потока отказов однотипных элементов восста — н. шливаемой системы можно объяснить, почему именно вы — чочпые потоки характеризуются ограниченным последействи­ем. Допустим, что с момента /о = 0 (см. рис. 3.20) работает •лемент, который отказывает в момент U н мгновенно заме­няется на новый, работоспособный элемент, который отказы­вает в момент t2 и также мгновенно заменяется. Затем при е іедуюших отказах в моменты t3, th…, U . th ti A вновь rip изводится мгновенная замена отказавших элементов на новые и т. д. При этих условиях рассмотрим произвольный пнгервал времени между двумя отказами —равный

"с. Пусть последний отказ до этого интервала имел место в момент tt-1 (следовательно, внутри интервала t,— ti-1, рав­ного х, отказов не было). Предыдущие отказы были в момен­ты 4-2, 4-з, …, t„ h, tv Найдем вероятность Q (т) появ­лення отказа в интервале 4-м —

Обозначим через Р{х) вероятность безотказной работы элемента в течение времени х. Тогда по теореме умножения вероятностей имеем

P(* + t)~P(jc)/>(*), но P(T)-1-Q(T),

Р(х •+• т)

Отсюда видно, что вероятность появления отказа после мо­мента 4 зависит от расстояния х до последнего отказа (в мо­мент 4-і)» но не зависит от того, в какие моменты /4, 4, 4, t были другие отказы. Здесь последействие ограничено влия­нием лишь одного последнего отказа (в момент 4-і).